復(fù)合材料負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)等效彈性力學(xué)理論建模

趙昌方,GOH Kheng Lim, 樂(lè)貴高, 任 杰, 仲健林*

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094;2.紐卡斯?fàn)栄芯颗c創(chuàng)新研究所(NewRIIS),新加坡 609607;3.英國(guó)紐卡斯?fàn)柎髮W(xué) 科學(xué)、農(nóng)業(yè)和工程學(xué)院,泰恩河畔紐卡斯?fàn)?NE1 7RU)

碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(CFRP)因具有優(yōu)異的力學(xué)性能而被廣泛用作工程結(jié)構(gòu)的成型材料[1-4]。負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)(NPRS)是一類(lèi)具有超力學(xué)性能的新型結(jié)構(gòu)[5-7],也被稱(chēng)為拉脹結(jié)構(gòu)(auxetic structure),具有異于常規(guī)材料的抗壓痕性。許多學(xué)者將CFRP與NPRS進(jìn)行結(jié)合,形成復(fù)合材料輕量化超力學(xué)抗沖擊結(jié)構(gòu),試圖獲得更高的緩沖吸能收益。負(fù)泊松比效應(yīng)或拉脹效應(yīng)需要通過(guò)內(nèi)凹結(jié)構(gòu)或扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn),屬于一類(lèi)異型構(gòu)件,不容易成型。許多研究均基于增材制造技術(shù)來(lái)設(shè)計(jì)CFRP負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)[8-9],但這將會(huì)增加造價(jià)、降低結(jié)構(gòu)性能和限制結(jié)構(gòu)尺寸[10-12]。為此,趙昌方等[7,13-15]基于傳統(tǒng)的高溫?zé)釅撼尚头?采用單層單向預(yù)浸料按照0°/90°的鋪層方式,制備了具有層合板截面屬性的內(nèi)凹六邊形負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)(re-entrant NPRS),并開(kāi)展了一系列實(shí)驗(yàn)研究。然而,這些研究主要通過(guò)實(shí)驗(yàn)和有限元分析開(kāi)展,理論預(yù)測(cè)模型尚未得到解決。

關(guān)于負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)理論建模研究較多,但大多結(jié)構(gòu)的胞壁為各向同性材料,結(jié)構(gòu)的變形容易把握,建模方法相對(duì)容易。文獻(xiàn)[5-6,16]基于歐拉梁理論,針對(duì)各向同性材料制備的內(nèi)凹六邊形和星形負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)進(jìn)行了二維等效彈性力學(xué)建模,并通過(guò)有限元分析討論了模型的有效性。NIRANJAN 等[17]采用3D 打印制備了丙烯腈-丁二烯-苯乙烯材料的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu),并通過(guò)彎曲撓度建立了結(jié)構(gòu)的等效彈性模量理論公式。QUAN 等[18]采用3D 打印制備了凱夫拉纖維增強(qiáng)聚乳酸材料的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu),并基于彎曲梁理論計(jì)算了胞壁變形,進(jìn)而獲得了等效彈性模量和泊松比理論模型。JIANG等[19]通過(guò)增材制造方式制備了聚乳酸基負(fù)泊松比結(jié)構(gòu),并基于各位置的幾何變形給出了結(jié)構(gòu)的泊松比計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式。韓廣等[20]設(shè)計(jì)了鋁制新型斜十字負(fù)泊松比結(jié)構(gòu),并根據(jù)能量法和卡氏第二定理建立了等效彈性模量、等效泊松比解析表達(dá)式。吳秉鴻等[21]基于彈性力學(xué)原理,給出了鋼制星型負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的等效泊松比和等效彈性模量解析表達(dá)式。

為了進(jìn)一步豐富和拓展CFRP-NPRS的研究?jī)?nèi)容,需建立等效彈性力學(xué)理論模型,揭示負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)實(shí)現(xiàn)機(jī)理和力學(xué)行為。本研究結(jié)合歐拉梁理論和材料力學(xué)相關(guān)知識(shí),建立了負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和等效泊松比理論模型,通過(guò)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的幾何尺寸獲取了等效泊松比及彈性模量的曲面響應(yīng),并通過(guò)實(shí)驗(yàn)和仿真討論了模型的適用性。

1 等效彈性力學(xué)建模

1.1 負(fù)泊松比效應(yīng)實(shí)現(xiàn)

負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)通常源自于負(fù)泊松比材料的微觀形貌,例如多孔泡沫、黃鐵礦晶體等等。材料實(shí)現(xiàn)負(fù)泊松比效應(yīng)的機(jī)理是:受拉時(shí),材料微觀孔壁橫向向外傳遞載荷,致使材料橫向膨脹形成拉伸-膨脹的變形特征;受壓時(shí),材料微觀孔壁則橫向向內(nèi)傳遞載荷,致使材料橫向收縮形成壓縮-收縮脹的變形特征。不難發(fā)現(xiàn),負(fù)泊松比效應(yīng)的實(shí)現(xiàn)機(jī)理在于材料內(nèi)部的微觀結(jié)構(gòu),對(duì)于沒(méi)有微觀特征的均質(zhì)材料,例如常見(jiàn)的鋼、鋁、塑料等,很難呈現(xiàn)負(fù)泊松比效應(yīng)。將材料的微觀特征放大制成結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)的變形仍保持著原先的受力變形特性,從而出現(xiàn)了負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)。

常見(jiàn)的雙箭頭結(jié)構(gòu)是負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的經(jīng)典構(gòu)型,如一對(duì)箭頭構(gòu)成的內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)、4個(gè)箭頭的星形結(jié)構(gòu)及其組合/變型結(jié)構(gòu)等。二維內(nèi)凹六邊形的線條簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖1所示,當(dāng)箭頭帽受拉后,會(huì)將2個(gè)箭頭帽組成的“內(nèi)凹V 形”拉直(V 形夾角/內(nèi)凹角α增大),使得箭頭桿向外橫向運(yùn)動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)拉脹現(xiàn)象,即拉脹效應(yīng);同理,當(dāng)箭頭帽受壓后,“內(nèi)凹V 形”會(huì)收縮(V 形夾角/內(nèi)凹角α減小),使得箭頭桿向內(nèi)橫向運(yùn)動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)壓縮-收縮現(xiàn)象,即負(fù)泊松比效應(yīng)。可以看出,負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)通過(guò)其胞壁變形實(shí)現(xiàn),且受一對(duì)力偶作用的彎曲變形占據(jù)主導(dǎo)地位。其中,定義面內(nèi)的內(nèi)凹方向?yàn)閤方向(1#方向)、垂直于內(nèi)凹方向?yàn)閥方向(2#)方向,垂直于平面外的方向則為z方向(3#方向)。

圖1 CFRP內(nèi)凹負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)跨維度演化及部件命名Fig.1 Cross-dimensional evolution and component naming of CFRP concave negative Poisson′s ratio structure

1.2 等效彈性力學(xué)建?；炯僭O(shè)

CFRP層合板由多個(gè)具有方向性的單層構(gòu)成,使得層合板具有明顯的各向異性,造成了CFRP 負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)等效彈性力學(xué)建模的困難。為便于分析,需弱化CFRP 的各向異性特征,故作出以下假設(shè):

1)CFRP層合板可視為正交均質(zhì)材料;

2)層合板的各單層材料等厚,是正交各向異性材料,具有線彈性力學(xué)行為;

3)CFRP層合板的變形增量滿足彈性小變形假設(shè),且面內(nèi)彈性拉/壓小變形可以忽略,僅考慮彎曲變形;

4)彈性彎曲變形過(guò)程中CFRP 層合板未發(fā)生任何失效,例如分層破壞、層間開(kāi)裂等;

5)滿足變形一致性假設(shè),即層合板各層之間為粘接,各層變形一致,沒(méi)有層間相對(duì)變形,且中性面應(yīng)變?yōu)榱?

6)滿足直法線不變假設(shè),即變形前垂直于層合板中性面的橫向法線在變形后也與中性面垂直,且長(zhǎng)度不變;該假設(shè)說(shuō)明面外剪切應(yīng)變?yōu)榱?即γxz=γyz=0,εzz=0;

7)面外z方向的應(yīng)力與面內(nèi)x和y方向相比很小,可以忽略,即σzz=0;

8)滿足平面應(yīng)力假設(shè),即各單層板均處于平面應(yīng)力狀態(tài),且不考慮體積力的影響;

9)CFRP層合板的厚度與其長(zhǎng)度和寬度相比很小,屬于薄板結(jié)構(gòu);

10)CFRP負(fù)泊松比多胞結(jié)構(gòu)等效力學(xué)可由其單胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行表征。

經(jīng)典層合板理論在Kirchhoff-Love平板理論假設(shè)下成立,Kirchhoff假設(shè)等價(jià)于上述假設(shè)5)、6)、7)。分析二維平面結(jié)構(gòu)變形用的Euler-Bernoulli梁理論的前提假設(shè)是不考慮梁橫向的剪切應(yīng)變,即上述假設(shè)中的6)和7)?？紤]梁的橫向剪切應(yīng)變時(shí),需采用Timoshenko梁理論;若是板結(jié)構(gòu),則需采用一階剪切變形層合板理論。由圖1可知,研究對(duì)象(三維內(nèi)凹負(fù)泊松比結(jié)構(gòu))是二維構(gòu)型的面外拉伸,其面內(nèi)方向(1#和2#方向)受載的力學(xué)行為具有二維特征。因此,在不考慮面外剪切時(shí)可采用Euler梁理論來(lái)建立等效彈性力學(xué)模型,推導(dǎo)等效彈性模量和等效泊松比。

1.3 1#方向壓縮等效彈性力學(xué)模型

假設(shè)結(jié)構(gòu)的拉伸和壓縮具有相同的等效彈性力學(xué)行為,若以壓縮加載為例,結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果[13-14],可得1#方向的受力圖示,如圖2。其中,p為載外荷,t為厚度,l為側(cè)壁長(zhǎng)度,α為內(nèi)凹角,L為左、右連接梁(對(duì)于周期性胞結(jié)構(gòu)的代表性體積單元,有m=L);另設(shè)H為2#方向高度,W為1#方向?qū)挾?Z為3#方向厚度;結(jié)構(gòu)各部件的命名方法參考圖1。

圖2 CFRP負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)1#方向壓縮變形圖示Fig.2 Compression deformation in 1#direction of CFRP negative Poisson′s ratio structure

根據(jù)幾何關(guān)系有,結(jié)構(gòu)高度H和結(jié)構(gòu)寬度W依次為

理想情況下胞結(jié)構(gòu)發(fā)生對(duì)稱(chēng)變形,則此處取一半為分析對(duì)象,有等效應(yīng)力為

式(3)中,F1和A1分別為名義載荷和橫截面積。

沿1#方向壓縮時(shí),CFRP 層合板左、右橫梁(A-B、E-F)發(fā)生受壓變形,側(cè)壁(B-C,D-E)發(fā)生彎曲變形,上、下橫梁(C-D)也發(fā)生彎曲變形。由于CFRP層合板的面內(nèi)剛度大,橫梁的面內(nèi)壓縮變形遠(yuǎn)小于側(cè)壁的彎曲變形,故忽略壓縮變形。根據(jù)Euler梁理論和材料力學(xué)[5-6,16],將側(cè)壁l視為均質(zhì)懸臂梁彎曲受載進(jìn)行求解,得變形結(jié)果為

式(4)和式(5)中,δi表示位移量,E0為層合板材料的彈性模量,Iz為截面慣性矩。

將上、下橫梁視為兩端受壓的屈曲壓桿,服從彈性Euler屈曲力學(xué)狀態(tài)。認(rèn)為壓力超過(guò)Euler臨界力后的塑性行為是失效或破壞,不予以考慮,則Euler臨界壓力為

式(6)中,A為壓桿橫截面積,λ為長(zhǎng)細(xì)比。

然而,壓桿的屈曲變形計(jì)算較為復(fù)雜,需多次積分[6],難以實(shí)現(xiàn)定量分析。為便于計(jì)算,可將屈曲變形簡(jiǎn)化為純彎曲變形。同理,根據(jù)Euler梁理論及材料力學(xué)理論,可得到上、下橫梁的彈性變形為

然而,梁B-C和D-E的另一端與壓桿C-D相連,使得變形發(fā)生耦合。梁B-C和D-E在x方向的變形相等,雖然在彎曲端是正向位移,但在自由端卻是收縮位移,理應(yīng)為負(fù)向,即δ2的橫向分量在整體上表現(xiàn)為負(fù)。從而,可得二分之一結(jié)構(gòu)橫向和縱向的變形總量,即

根據(jù)名義應(yīng)變的定義,可得二分之一結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)變?yōu)?/p>

根據(jù)泊松比概念及其定義[5],可得CFRP 負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的等效泊松比,即

根據(jù)廣義胡克定律(σ=Eε)可得,等效彈性模量為

上述方程得出的E1和v1即是CFRP負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)1#方向加載的等效彈性模量和等效泊松比。

1.4 2#方向壓縮等效彈性力學(xué)模型

在理想情況下,沿2#方向壓縮時(shí),胞結(jié)構(gòu)發(fā)生對(duì)稱(chēng)變形。由于結(jié)構(gòu)高度對(duì)稱(chēng),此處取四分之一為分析對(duì)象,有等效應(yīng)力為

式(14)中,F2和A2分別為名義載荷和橫截面積。

由于壓縮時(shí)上、下橫梁及左、右橫梁均不發(fā)生變形,僅是發(fā)生平移,故不考慮其形變。因此,壓縮變形主要由側(cè)壁l貢獻(xiàn),側(cè)壁發(fā)生彎曲變形,如圖3所示。同理,基于Euler梁理論和材料力學(xué)彎曲理論,可得變形量分別為

圖3 CFRP負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)2#方向壓縮變形圖示Fig.3 Compression deformation in 2#direction of CFRP negative Poisson′s ratio structure

因此,四分之一結(jié)構(gòu)的橫向和縱向變形總量分別為

結(jié)合橫、縱方向的長(zhǎng)度,可得x、y方向的名義應(yīng)變?yōu)?/p>

從而,根據(jù)泊松比的定義可得2#方向壓縮時(shí)的等效泊松比

同理,可得2#方向壓縮的等效彈性模量,即

2 等效彈性力學(xué)幾何參數(shù)影響規(guī)律

2.1 材料參數(shù)及邊界條件

針對(duì)制備的實(shí)際模型[14-15],其結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)分別為t=2 mm、l=17.3 mm、L=11.5 mm、Z=32 mm、α=60°(m=L)。層合板的鋪層規(guī)則為[0°/90°]10,結(jié)構(gòu)面內(nèi)方向下層合板胞壁的剪切模量G和彈性模量E0可通過(guò)經(jīng)典層合板理論[22]進(jìn)行計(jì)算。

在進(jìn)行參數(shù)分析時(shí),需保證結(jié)構(gòu)的合理性,即保證所取參數(shù)下結(jié)構(gòu)仍然是內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)。尺寸關(guān)系包括壁厚t、側(cè)壁長(zhǎng)度l、橫梁半長(zhǎng)L、內(nèi)凹角α等4個(gè),4個(gè)參數(shù)互相耦合,因此需先確定2個(gè)不變量,才能討論其它參數(shù)的變化范圍。壁厚t一方面要保證結(jié)構(gòu)為薄壁結(jié)構(gòu),一方面可以持續(xù)增大直到兩箭頭互相接觸,1/4 結(jié)構(gòu)壁厚關(guān)系如圖4(a)所示。此外,保證胞壁結(jié)構(gòu)的條件為壁厚遠(yuǎn)小于側(cè)壁長(zhǎng)度l和橫梁半長(zhǎng)L。為此,壁厚t的尺寸約束條件為

圖4 胞壁相關(guān)性分析Fig.4 Correlation analysis of cell walls

橫梁半長(zhǎng)L是影響胞壁變化的主要關(guān)系,而α次之。隨著L的增大,內(nèi)部空間橫向增大,胞壁t得以增大,如圖4(b)。內(nèi)凹角α的增大,使得內(nèi)部空間成倍擴(kuò)大增大,則胞壁t持續(xù)增大,如圖4(c)。在正值區(qū)間內(nèi),隨著l的增大卻導(dǎo)致胞壁t減小,如圖4(d)。當(dāng)響應(yīng)面的邊界很大時(shí),需選取一定的范圍進(jìn)行顯示,從而會(huì)出現(xiàn)截?cái)嗟那闆r,類(lèi)似于圖4(d)中L接近50 mm 時(shí)曲面截?cái)嗟默F(xiàn)象,下文中也會(huì)有類(lèi)似情況。在實(shí)際設(shè)計(jì)中,需考慮胞壁厚度與邊長(zhǎng)的關(guān)系,即時(shí)刻保持結(jié)構(gòu)為薄壁結(jié)構(gòu)狀態(tài),從而滿足上述的基本假設(shè)。

胞的內(nèi)凹角由結(jié)構(gòu)的寬度W、橫梁半長(zhǎng)L和側(cè)壁長(zhǎng)度l決定,是個(gè)關(guān)聯(lián)性極強(qiáng)的衍生參數(shù)。負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)內(nèi)凹角α的理論取值區(qū)間為(0°,90°),內(nèi)凹角α大于90°則為外凸六邊形結(jié)構(gòu),內(nèi)凹角α小于0°則結(jié)構(gòu)發(fā)生干涉。然而,不同因變量條件下內(nèi)凹角α的取值區(qū)間不盡不同,應(yīng)分別討論。由于變量多余3個(gè),需確定1個(gè)再討論另外2個(gè)。在保證薄壁結(jié)構(gòu)的前提下,胞壁t的變化范圍較小,對(duì)內(nèi)凹角的影響較小,故可以作為一個(gè)不變量,以降低復(fù)雜程度。如圖5(a),當(dāng)胞壁t不變,側(cè)壁長(zhǎng)度l不變時(shí),內(nèi)凹角α在橫梁半長(zhǎng)L的變化下而變化,橫梁繞著直徑為側(cè)壁長(zhǎng)度的圓轉(zhuǎn)動(dòng)。在保證內(nèi)凹結(jié)構(gòu)的條件下,有2個(gè)極限位置,即橫梁與側(cè)壁垂直時(shí)、橫梁與側(cè)壁共線時(shí),這2個(gè)極限位置使得內(nèi)凹角α的取值區(qū)間為

圖5 內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)幾何變化關(guān)系Fig.5 Geometric changes of concave hexagon structure

同理,當(dāng)胞壁t不變,橫梁半長(zhǎng)L不變時(shí),內(nèi)凹角α在側(cè)壁長(zhǎng)度l的變化下而變化。對(duì)應(yīng)的2個(gè)極限位置分別是,橫梁與側(cè)壁共線、側(cè)壁長(zhǎng)度無(wú)限大,如圖5(b)。因此,內(nèi)凹角α的取值區(qū)間為

當(dāng)胞壁t不變,內(nèi)凹角α不變時(shí),橫梁半長(zhǎng)L與側(cè)壁長(zhǎng)度l一起發(fā)生等比例變化。對(duì)應(yīng)的2個(gè)極限位置分別是,橫梁與側(cè)壁共線、側(cè)壁在橫梁方向上的投影與橫梁等長(zhǎng),如圖5(c)。從而,橫梁半長(zhǎng)L和側(cè)壁長(zhǎng)度l的取值關(guān)系為

對(duì)于一個(gè)給定尺寸的結(jié)構(gòu),內(nèi)凹角為最小極限值0°時(shí),表明結(jié)構(gòu)被擠壓,內(nèi)部沒(méi)有空間,各胞壁互相平行。內(nèi)凹角處于最大極限值90°時(shí),結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為矩形,不具有負(fù)泊松比效應(yīng)。內(nèi)凹角大于90°后,結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變成外凸的六邊形結(jié)構(gòu),不再屬于內(nèi)凹負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的范疇。接下來(lái)將進(jìn)行的影響因素曲面響應(yīng)分析中,內(nèi)凹角的合理取值范圍應(yīng)滿足上述3個(gè)不等式,以保證結(jié)構(gòu)的合理性。

2.2 1#方向壓縮尺寸參數(shù)影響規(guī)律

基于上述推導(dǎo)的等效彈性力學(xué)模型,通過(guò)數(shù)值計(jì)算,可得等效彈性模量、等效泊松比與內(nèi)凹六邊形負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)幾何尺寸的關(guān)系。由于內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)尺寸具有耦合關(guān)系,進(jìn)行耦合因素三維曲面響應(yīng)分析更為合理。因此,當(dāng)考慮壁厚t、側(cè)壁長(zhǎng)度l與等效泊松比v1的關(guān)系v1(t,l)時(shí),確定橫梁半長(zhǎng)L=11.5 mm,內(nèi)凹角α=60°;考慮壁厚t、橫梁半長(zhǎng)L與等效泊松比v1的關(guān)系v1(t,L)時(shí),確定側(cè)壁長(zhǎng)度l=17.3 mm,內(nèi)凹角α=60°;考慮橫梁半長(zhǎng)L、側(cè)壁長(zhǎng)度l與等效泊松比v1的關(guān)系v1(l,L)時(shí),確定壁厚t=2 mm,內(nèi)凹角α=60°;考慮壁厚t、內(nèi)凹角α與等效泊松比v1的關(guān)系v1(t,α)時(shí),確定側(cè)壁長(zhǎng)度l=17.3 mm,橫梁半長(zhǎng)L=11.5 mm。基于此控制變量法繪制的曲面響應(yīng)關(guān)系見(jiàn)圖6。

圖6 等效泊松比-尺寸參數(shù)響應(yīng)面Fig.6 Parameter response surfaces of equivalent Poisson′s ratio-size

v1(t,l)曲面響應(yīng)中,負(fù)泊松比效應(yīng)在一定范圍內(nèi)得以實(shí)現(xiàn);但隨著側(cè)壁長(zhǎng)度l和壁厚t的增加,泊松比逐漸增大到0,圖6(a)。v1(t,L)曲面響應(yīng)中,橫梁半長(zhǎng)L介于5 mm 到20 mm 時(shí)具有負(fù)泊松比效應(yīng),且隨著壁厚t增大泊松比略有增加,圖6(b)。v1(l,L)曲面響應(yīng)中,負(fù)泊松比效應(yīng)也被實(shí)現(xiàn)了,圖6(c);側(cè)壁長(zhǎng)l等于橫梁半長(zhǎng)L的一半位置時(shí),內(nèi)凹結(jié)構(gòu)退化為封閉三角形結(jié)構(gòu),此時(shí)結(jié)構(gòu)兩箭頭接觸,橫向變形為零,故泊松比逐漸增大為零。v1(t,α)曲面響應(yīng)中,內(nèi)凹角α介于10°到80°之間時(shí),實(shí)現(xiàn)了負(fù)泊松比效應(yīng);低于10°時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)部空間趨于零,泊松比趨于無(wú)窮大,圖6(d)。值得注意的是,觀察圖6(a)～(d)可知,壁厚t對(duì)泊松比的影響并不大,可以認(rèn)為壁厚t為一個(gè)常數(shù)。

將壁厚t設(shè)為定值2 mm 后,同樣,基于三維曲面響應(yīng)分析尺寸參數(shù)對(duì)等效彈性模量的影響。在(E1/E0)(α,L)函數(shù)關(guān)系中,t=2 mm,l=17.3 mm;在(E1/E0)(α,l)函數(shù)關(guān)系中,t=2 mm,L=11.5 mm;在(E1/E0)(l,L)函數(shù)關(guān)系中,t=2 mm,α=60°;在(E1/E0)(α,t)函數(shù)關(guān)系中,l=17.3 mm,L=11.5 mm。通過(guò)數(shù)值軟件進(jìn)行繪制,等效彈性模量受尺寸參數(shù)影響結(jié)果見(jiàn)圖7。

圖7 等效彈性模量比值-尺寸參數(shù)響應(yīng)面Fig.7 Parameter response surfaces of equivalent elastic modulus ratio

(E1/E0)(α,L)曲面響應(yīng)顯示,內(nèi)凹角α越小,等效彈性模量比值E1/E0越大,而基材模量E0是定值,故等效彈性模量E1越大,如圖7(a)所示,這是合理的結(jié)果;因?yàn)閮?nèi)凹角減小,則結(jié)構(gòu)的內(nèi)部空間減小,趨于零時(shí)結(jié)構(gòu)退化為一個(gè)密實(shí)體,此時(shí)彈性模量快速增大。(E1/E0)(α,l)曲面響應(yīng)顯示,內(nèi)凹角α和側(cè)壁長(zhǎng)度l減小能使等效彈性模量E1增大,如圖7(b)所示,這也是結(jié)構(gòu)密實(shí)化帶來(lái)的理論結(jié)果。(E1/E0)(l,L)曲面響應(yīng)顯示,胞元側(cè)壁l越短,等效彈性模量E1越大,而橫梁半長(zhǎng)L影響較小,如圖7(c)所示,這也是合理的現(xiàn)象;1#方向壓縮時(shí),上、下橫梁主要發(fā)生屈曲,而側(cè)壁發(fā)生彎曲,是影響結(jié)構(gòu)等效彈性力學(xué)的主要因素;側(cè)壁l減小,則結(jié)構(gòu)也趨于密實(shí),所以等效彈性模量E1會(huì)增大。(E1/E0)(α,t)曲面響應(yīng)顯示,內(nèi)凹角α越小,壁厚t越大,則等效彈性模量E1越大,如圖7(d)所示,這也是密實(shí)化帶來(lái)的結(jié)果;內(nèi)凹角減小,壁厚增大,則內(nèi)部空間減小,結(jié)構(gòu)趨于一個(gè)密實(shí)體,等效彈性模量較空心結(jié)構(gòu)大。

2.3 2#方向壓縮尺寸參數(shù)影響規(guī)律

2#方向壓縮時(shí),同理,需確定兩個(gè)不變量,然后進(jìn)行曲面響應(yīng)分析。當(dāng)考慮內(nèi)凹角α、側(cè)壁長(zhǎng)度l與等效泊松比v2的關(guān)系v2(α,l)時(shí),確定橫梁半長(zhǎng)L=11.5 mm,壁厚t=2 mm;考慮內(nèi)凹角α、橫梁半長(zhǎng)L與等效泊松比v2的關(guān)系v2(α,L)時(shí),確定側(cè)壁長(zhǎng)度l=17.3 mm,壁厚t=2 mm;考慮側(cè)壁長(zhǎng)度、l橫梁半長(zhǎng)L與等效泊松比v2的關(guān)系v2(l,L)時(shí),確定壁厚t=2 mm,內(nèi)凹角α=60°;考慮內(nèi)凹角α、壁厚t與等效泊松比v2的關(guān)系v2(α,t)時(shí),確定側(cè)壁長(zhǎng)度l=17.3 mm,橫梁半長(zhǎng)L=11.5 mm?；诖?繪制的曲面響應(yīng)關(guān)系見(jiàn)圖8。

圖8 等效泊松比-尺寸參數(shù)響應(yīng)面Fig.8 Parameter response surfaces of equivalent Poisson′s ratio-size

從v2(α,l)的曲面響應(yīng)圖可知,隨著內(nèi)凹角α增大、側(cè)壁長(zhǎng)度l增大,則負(fù)泊松比v2越大,如圖8(a)所示;這是因?yàn)閮?nèi)凹角增大和側(cè)壁增長(zhǎng)都會(huì)使得壓縮時(shí)橫向應(yīng)變?cè)龃?從而增大負(fù)泊松比效應(yīng);然而,內(nèi)凹角區(qū)域90°時(shí),泊松比趨于0,因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)已不再屬于負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)。從v2(α,L)的曲面響應(yīng)可知,隨著內(nèi)凹角α增大其負(fù)泊松比v2先增大后減小,隨著橫梁半長(zhǎng)L增大其負(fù)泊松比v2逐漸減小,因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)“長(zhǎng)大”了,具有更多的可變形胞壁,如圖8(b)所示。v2(l,L)的曲面響應(yīng)圖可知,橫梁半長(zhǎng)L減小、側(cè)壁長(zhǎng)度l增大,負(fù)泊松比值v2增大,如圖8(c)所示;同理,側(cè)壁l增長(zhǎng)結(jié)構(gòu)也有“長(zhǎng)大”的趨勢(shì)。v2(α,t)的曲面響應(yīng)圖可知,內(nèi)凹角α增大、壁厚t減小,負(fù)泊松比值v2增大,如圖8(d)所示;壁厚t減小則更容易發(fā)生變形,內(nèi)凹角α增大結(jié)構(gòu)會(huì)“長(zhǎng)大”。

同理,在(E2/E0)(α,l)函數(shù)關(guān)系中,t=2 mm,L=11.5 mm;在(E2/E0)(α,L)函數(shù)關(guān)系中,t=2 mm,l=17.3 mm;在(E2/E0)(l,L)函數(shù)關(guān)系中,t=2 mm,α=60°;在(E2/E0)(α,t)函數(shù)關(guān)系中,l=17.3 mm,L=11.5 mm。繪制的參數(shù)影響下2#方向壓縮等效彈性模量比值E2/E0三維響應(yīng)面如圖9所示。

圖9 等效彈性模量比值-尺寸參數(shù)響應(yīng)面Fig.9 Parameter response surfaces of equivalent elastic modulus ratio

(E2/E0)(α,l)曲面響應(yīng)中存在一個(gè)奇異區(qū)域,該區(qū)域內(nèi)等效彈性模量趨于無(wú)窮,如圖9(a),這是2L-l·cosα=0導(dǎo)致的,可以忽略其存在;為此,隨著內(nèi)凹角α的增大、側(cè)壁長(zhǎng)度l的減小,等效彈性模量比值E2/E0增大,但比值小于1;側(cè)壁l減小會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)密實(shí)化,等效彈性模量E2會(huì)增大,但仍然小于基材模量E0,這是2#方向壓縮的結(jié)果;因?yàn)樵摲较驂嚎s的力學(xué)性能僅由側(cè)壁彎曲貢獻(xiàn),而材料的彎曲模量總小于其拉、壓模量,故等效彈性模量E2不可能超越基材模量E0。(E2/E0)(α,L)曲面響應(yīng)顯示,內(nèi)凹角α增大、橫梁半長(zhǎng)L減小,等效彈性模量E2增大,如圖9(b)所示,這也是胞壁長(zhǎng)度減小導(dǎo)致結(jié)構(gòu)致密實(shí)化的結(jié)果。(E2/E0)(l,L)曲面響應(yīng)中,在2L-l·cosα=0附近也存在不連續(xù)現(xiàn)象,如圖9(c)所示,此時(shí)等效彈性模量計(jì)算公式分母為零,故結(jié)果趨于無(wú)窮大;但隨著側(cè)壁長(zhǎng)度l減小,等效彈性模量E2增大,這是密實(shí)化帶來(lái)的結(jié)果。(E2/E0)(α,t)曲面響應(yīng)顯示,隨著壁厚t的增大,等效彈性模量E2增大,同時(shí)內(nèi)凹角α在40°左右時(shí)有最大值,如圖9(d)所示,這也是結(jié)構(gòu)致密化導(dǎo)致的結(jié)果;值得注意的是,此時(shí)等效彈性模量比值大于1,因?yàn)楸诤裨龃髸?huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)趨于密實(shí)體,增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的剛度/模量。

總的來(lái)說(shuō),不論是1#還是2#方向加載,負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的4 個(gè)尺寸參數(shù)(L、l、t、α)對(duì)等效泊松比和等效彈性模量都有明顯的影響。假設(shè)使等效泊松比或彈性模量出現(xiàn)最大值變化的幾何參數(shù)值為幾何特征值,則可將影響規(guī)律總納為:在特征值附近,壁厚t增大導(dǎo)致等效泊松比增大并趨于零、等效彈性模量增大,側(cè)壁l增大致使等效泊松比增大、等效彈性模量降低,橫梁半長(zhǎng)L增大導(dǎo)致等效泊松比增大、等效彈性模量變化不大,內(nèi)凹角α增大對(duì)等效泊松比和等效彈性模量的影響并未形成統(tǒng)一規(guī)律。

3 等效彈性力學(xué)理論模型評(píng)估

CFRP負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)通過(guò)設(shè)計(jì)組合式模具進(jìn)行制備,每次制備一半,然后對(duì)稱(chēng)粘接制備完整的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu),詳細(xì)的制備工藝可參考之前的工作[13-14]。在前期開(kāi)展的準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)中,通過(guò)三維全場(chǎng)應(yīng)變測(cè)試和分析系統(tǒng)獲取了CFRP 負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的泊松比,并獲取了結(jié)構(gòu)的壓縮失效過(guò)程和力學(xué)響應(yīng)[13];開(kāi)展的有限元分析也預(yù)測(cè)了結(jié)構(gòu)的泊松比變化規(guī)律[14]。

為驗(yàn)證理論-實(shí)驗(yàn)-模擬方法獲取結(jié)構(gòu)等效彈性力學(xué)的一致性,進(jìn)行了理論模型的評(píng)估分析?；诶碚摻馕瞿Ｐ?代入相應(yīng)的尺寸參數(shù)后計(jì)算得出:v1約為-0.335,v2約為-6.931。如圖10所示,將實(shí)驗(yàn)和模擬得到的泊松比與理論范圍進(jìn)行對(duì)比可知:1#方向壓縮時(shí),實(shí)驗(yàn)值和模擬值均落在理論預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi),模擬值后半段溢出理論區(qū)間是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)發(fā)生了失效而不再處于彈性狀態(tài);2#方向壓縮時(shí),實(shí)驗(yàn)值與模擬值因失效模式的差異而存在出入,說(shuō)明有限元模型需要改進(jìn),理論預(yù)測(cè)區(qū)間因考慮層合板的彎曲變形而具有較大誤差。1#方向壓縮時(shí),理論值對(duì)實(shí)驗(yàn)值的最大誤差約為-0.442 5,理論值對(duì)模擬值的最大誤差約為-0.621 7;2#方向壓縮時(shí),理論值對(duì)實(shí)驗(yàn)值的最大誤差約為-6.306 2,理論值對(duì)模擬值的最大誤差約為-5.531 0。由此可知,采用彎曲小變形的Euler梁方法來(lái)建立CFRP層合板負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)等效彈性力學(xué)還不夠妥當(dāng),未來(lái)可采用經(jīng)典層合板力學(xué)、考慮分層滑移/局部拉壓失效/纖維層微彎曲等因素進(jìn)行建模。

圖10 理論-實(shí)驗(yàn)-模擬的負(fù)泊松比值評(píng)估Fig.10 Negative Poisson′s ratio value evaluation for theory,experiment and simulation

4 結(jié) 語(yǔ)

碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(CFRP)負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)先進(jìn)材料優(yōu)勢(shì)和超力學(xué)結(jié)構(gòu)特征的疊加,是緩沖吸能領(lǐng)域中頗具發(fā)展?jié)摿Φ慕Y(jié)構(gòu),從而深入開(kāi)展其力學(xué)相關(guān)的研究具有重要意義。針對(duì)未開(kāi)展的等效彈性力學(xué)理論模型基于Euler梁理論進(jìn)行了嘗試性探索,主要研究?jī)?nèi)容如下:

1)揭示了內(nèi)凹六邊形負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)拉脹效應(yīng)或負(fù)泊松比效應(yīng)的機(jī)理;

2)推導(dǎo)了CFRP在1#和2#兩個(gè)面內(nèi)方向的等效泊松比和等效彈性模量理論模型;

3)采用控制變量法對(duì)等效泊松比和等效彈性模量進(jìn)行了尺寸參數(shù)的影響規(guī)律研究;

4)獲取了解析解的理論范圍,并與實(shí)驗(yàn)值和模擬值對(duì)比,分析了理論模型的預(yù)測(cè)效果。

結(jié)果表明,采用Euler梁理論建立的等效彈性力學(xué)理論模型預(yù)測(cè)區(qū)間雖能囊括實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果,但存在較大誤差,這是將CFRP 層合板考慮成均質(zhì)材料造成的問(wèn)題。在后續(xù)的研究中,或許可以通過(guò)經(jīng)典層合板理論矩陣法計(jì)算負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)胞壁的彎曲變形,再計(jì)算等效彈性力學(xué)常數(shù),提高理論模型的預(yù)測(cè)精度。