例談高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)的幾點(diǎn)想法

☉江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 黃素霞

例談高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)的幾點(diǎn)想法

☉江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 黃素霞

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”因此，“中學(xué)數(shù)學(xué)教育的首要任務(wù)就是要加強(qiáng)解題訓(xùn)練”，但并不能斷章取義地認(rèn)為加強(qiáng)解題訓(xùn)練就是力求“多而全”，與其囫圇吞棗般的“見多識(shí)廣”，不如靜下心來專注其一.解題教學(xué)就是要教會(huì)學(xué)生如何解題、怎樣解題，而不僅僅是給學(xué)生講題、把題講懂.在教學(xué)的過程中，經(jīng)常聽到學(xué)生說自己上課能聽懂教師講的內(nèi)容，但拿到習(xí)題就不會(huì)做，其實(shí)這是值得我們?cè)诮虒W(xué)過程中反思的，畢竟“聽懂”與“學(xué)會(huì)”是兩個(gè)截然不同的層次.基于此，筆者結(jié)合平時(shí)教學(xué)的感悟，來談?wù)剬?duì)于解題教學(xué)的若干思考，與各位同行交流.

一、注重一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維

如今的高中教學(xué)時(shí)間緊，任務(wù)重，在講解例習(xí)題時(shí)教師過多地關(guān)注題目的解答或答案，并不注重題目是如何想的以及為什么這樣想，不注重解題思路生成的分析、傳授、講解，這樣直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)問題的本質(zhì)理解不透，只能盲目記憶題目的解法.對(duì)于學(xué)生來說，他們看到的是經(jīng)過“加工”的解答，而那些為破解題目而進(jìn)行的思維過程已經(jīng)不見了，一個(gè)個(gè)所謂的“奇思妙想”出現(xiàn)了，這也是很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象而對(duì)其望而卻步的原因.下面以人教B版習(xí)題3-2B組的一個(gè)題目為例來闡述解題思路的生成過程.

例1已知a，b∈R+，且a+b=1，求的最小值.

分析：本題屬于多變?cè)钪祮栴}，學(xué)生剛接觸此類問題會(huì)比較陌生，可以引導(dǎo)其通過減少變量的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為熟悉的單變?cè)獑栴}，由此得到下面方法：

解法1：由a+b=1，可得b=1-a，且a∈（0，1），因此當(dāng)且僅當(dāng)?shù)淖钚≈禐?．

本章講均值不等式時(shí)，課本中有一條結(jié)論：兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值；兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值．這使得我們想到如下方法：

解法2：當(dāng)a，b∈R+時(shí)，有由a+b=1，可得時(shí)，等號(hào)成立．

數(shù)和”的關(guān)系，聯(lián)系題中條件及所求可得如下方法：

解法4：由a，b∈R+，且a+b=1，結(jié)合不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成的最小值為4．

解法5：由a，b∈R+，且a+b=1，可得時(shí)，等號(hào)成立．

理解了上述解法5，我們可以將上式稍作改進(jìn)，等價(jià)的改寫為：．這體現(xiàn)了條件與結(jié)論的聯(lián)系，也便于后續(xù)講解時(shí)對(duì)此類問題通性通法的引入．

闡述解題思路的生成時(shí)，要多從學(xué)生熟悉的問題或方法上入手，深入淺出、循序漸進(jìn)，這樣符合學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知規(guī)律．

二、注重一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與深刻性

波利亞說：“如果不‘變化問題’，我們幾乎不能有什么進(jìn)展．”具體的做法是：①變換題目條件，形成新的問題，讓學(xué)生重新思考解決．變換條件是克服思維定式的有效方法，通過變換條件訓(xùn)練使學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題的方法，避免學(xué)生生搬硬套．②變換題目結(jié)論，形成新的問題，讓學(xué)生重新思考解決．題目條件不變的情況下，變換問題的提問形式，能夠拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性．③將問題進(jìn)行一般化處理，探求題目蘊(yùn)含的規(guī)律性．教師可以將題目條件中的一些數(shù)字改為字母，讓學(xué)生重新思考，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中蘊(yùn)含的規(guī)律性．通過變式教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性．仍以上述題目為例，可以設(shè)置如下變式：

變式1已知a，b∈R+，且a+b=1，求的最小值．

變式2已知a，b∈R+，且a+3b=5ab，求3a+5b的最小值．

變式3已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求的最小值．

變式4已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求的最小值．

變式5已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求的最小值．

變式1是一道陷阱型習(xí)題，若還用原例題中的解法3，兩次運(yùn)用均值不等式導(dǎo)致等號(hào)不同時(shí)成立，將無法確定最小值，這可以讓學(xué)生更深刻地體會(huì)均值不等式中等號(hào)成立條件的重要性．通過在教學(xué)中設(shè)置陷阱型習(xí)題，借助學(xué)生的認(rèn)知沖突，突破困惑，建立對(duì)問題正確的認(rèn)識(shí)，這要比直接告知學(xué)生更有效．通過變式1、變式2和變式3還能讓學(xué)生體會(huì)此類問題的通性通法，通過實(shí)踐得知解法5為處理這類問題的通法，而且在尋求通法的過程中也會(huì)理解其他解法的局限性，從而對(duì)問題的本質(zhì)有了更深層次的理解.變式4體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的重要性，借助換元法，令x=a+b，y=b+c，z=c+a，則題目變?yōu)椋?/p>

已知x，y，z∈R+，且x+y+z=2，求的最小值，這與變式3類似.

在變式6中，令b=1-2a，可轉(zhuǎn)化為：

此題運(yùn)用原例題中的解法5容易獲解，進(jìn)而可確定k的最大值.

變式是模仿與創(chuàng)新的中介，高中學(xué)生具有創(chuàng)新的潛能和欲望，而教師是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的領(lǐng)路人，在積極營(yíng)造變式探究的教學(xué)情境中，能夠幫助學(xué)生改進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式、獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、形成數(shù)學(xué)思維方式、培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，能有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.

三、重視對(duì)問題和方法的反思

例習(xí)題教學(xué)絕不是單純的解題活動(dòng)或解題過程，還應(yīng)該在解題后認(rèn)真反思解題的探索過程，概括提煉出規(guī)律性的東西，歸納總結(jié)出一類問題的最本質(zhì)的解法，以達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.我們不但要反思自己的例習(xí)題教學(xué)是否科學(xué)，是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也要讓學(xué)生養(yǎng)成做題后及時(shí)反思的好習(xí)慣.

解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行反思，以派生出新的問題，由此再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，得到新的命題結(jié)論.經(jīng)過反思，學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)更趨完善，對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更全面完整，便于形成和梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，能夠在解題中做到舉一反三，達(dá)到觸類旁通的學(xué)習(xí)效果，解題教學(xué)的目的也更加完善、作用更加顯著.

四、注重轉(zhuǎn)化在解題中的運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)解題其實(shí)就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的、比較簡(jiǎn)單的、容易解決的、熟悉的新問題，即把不熟悉的、陌生的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的、熟悉的、容易的問題.因此要將轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)基本功練扎實(shí)，才能更有利于數(shù)學(xué)解題.

例2若實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a+4b=2c，4a+2b=4c，求c的最小值.

分析：通過換元將指數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一次或二次函數(shù)問題，再將兩個(gè)等式聯(lián)立，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為一元變量的最值問題.

解：令x=2a，y=2b，z=2c，把x=z-y2代入z2-y=x2，消去x，得z2-y=（z-y2）2.把右端展開、整理，得

此題連續(xù)轉(zhuǎn)化了二次，第一次轉(zhuǎn)化是通過換元轉(zhuǎn)化

總之，在數(shù)學(xué)解題過程中要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，要求教師在平時(shí)教學(xué)中能夠預(yù)料、發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題時(shí)遇到的思維障礙，并在教學(xué)過程中加以排解，激活學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生輕松地、愉快地學(xué)習(xí).