齒根安全條件下多狀態(tài)嚙合齒輪傳動系統(tǒng)安全-吸引盆侵蝕與分岔

李正發(fā)，茍向鋒，朱凌云，石建飛，尹 樁

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387)

齒輪傳動廣泛應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)中，輪齒折斷是其主要失效形式之一。對齒輪傳動系統(tǒng)安全特性的研究相對于穩(wěn)定周期解更貼近工程實(shí)際。安全盆是研究非線性系統(tǒng)全局安全特性的重要方法，其安全條件的建立至關(guān)重要。

吸引子和吸引域有助于研究非線性系統(tǒng)的全局特性。張瑩等[1]運(yùn)用吸引子和吸引域?qū)ΧS離散Duffing 映射系統(tǒng)的全局動力學(xué)進(jìn)行了研究。唐進(jìn)元等[2]用一種改進(jìn)的圖胞映射算法，研究了單自由度齒輪系統(tǒng)的吸引子、吸引域和不穩(wěn)定解的全局特性。Lu等[3]研究發(fā)現(xiàn)，單自由度齒輪系統(tǒng)不同周期運(yùn)動的吸引子具有相對穩(wěn)定的吸引區(qū)域，當(dāng)系統(tǒng)的擾動達(dá)到一定值才會明顯改變系統(tǒng)解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。Gou等[4]提出一種改進(jìn)胞映射算法，計(jì)算了單自由度齒輪系統(tǒng)的吸引子，分析了其吸引域轉(zhuǎn)遷過程；茍向鋒等[5]借助多初值分岔圖、吸引域圖分析了參數(shù)耦合對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律。

安全盆理論自Thompson等提出以來，廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)安全特性的研究。Long等[6]用安全盆理論和Monte Carlo法預(yù)測了自由海域中船舶的生存概率。ücer等[7]運(yùn)用安全盆理論對BSRA拖網(wǎng)漁船的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，得到了安全盆中的安全點(diǎn)和不安全點(diǎn)。葛根等[8]研究了白噪聲激勵和簡諧激勵下形狀記憶合金梁的安全盆侵蝕。尚慧琳等[9]研究了時(shí)滯位置反饋對一類非線性相對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌運(yùn)動和安全盆侵蝕控制。Gong等[10]研究了弱參數(shù)周期擾動對非線性振蕩器安全盆的影響。劉志亮等[11]用一種確定安全盆中安全域邊界的懲罰參數(shù)選擇算法，研究滾動軸承的安全域。Wei等[12]研究了白噪聲對電力系統(tǒng)安全盆侵蝕的影響，但只考慮了不安全區(qū)域?qū)Π踩珔^(qū)域的侵蝕。

目前對安全盆的研究中，通過判斷考察區(qū)域內(nèi)初值點(diǎn)經(jīng)過長時(shí)間迭代后是否逃離給定安全區(qū)域，確定考察區(qū)域內(nèi)的不安全點(diǎn)和安全點(diǎn)。由于未建立安全條件和分辨安全盆中的吸引子共存，所得安全盆中僅有安全域和不安全域，未研究安全盆中不同周期運(yùn)動吸引域之間的侵蝕與分岔過程。

本文通過計(jì)算齒根彎曲應(yīng)力，結(jié)合齒根許用彎曲應(yīng)力建立齒根的安全條件。采用四階Rung-Kutta法數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)在考察區(qū)域內(nèi)隨參數(shù)變化時(shí)的吸引盆及其演變過程。判斷吸引盆中不同運(yùn)動類型吸引域在齒根安全條件下的安全特性，獲得多狀態(tài)嚙合齒輪傳動系統(tǒng)齒根安全條件下的安全-吸引盆。借助吸引子、多初值分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖(TLE)分析系統(tǒng)安全-吸引盆的分岔與侵蝕過程。

1 單級齒輪傳動系統(tǒng)多狀態(tài)動力學(xué)模型

圖1 齒輪系統(tǒng)簡化物理模型Fig.1 Simplified physical model of the gear system

表1 齒輪副的系統(tǒng)參數(shù)

齒側(cè)間隙使得系統(tǒng)會出現(xiàn)齒面嚙合、輪齒脫嚙和齒背接觸等多種嚙合狀態(tài)。圖2為齒面嚙合、輪齒脫嚙和齒背接觸時(shí)的嚙合狀態(tài)示意圖。齒面嚙合時(shí)，齒輪m為主動輪p，齒輪n為從動輪g；齒背嚙合時(shí)相反。N1N2為齒面嚙合線，M1M2為齒背接觸線。Rpi、Rgi(i=1、2)為主動輪p、從動輪g中第i對嚙合輪齒上嚙合點(diǎn)到齒輪中心的距離。

(a) 齒面嚙合(b) 輪齒脫嚙

(c) 齒背接觸圖2 系統(tǒng)嚙合狀態(tài)示意圖Fig.2 Schematic diagram of system engagement state

Shi等[13-14]建立了考慮齒面摩擦、時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒側(cè)間隙和綜合傳遞誤差的單級齒輪傳動系統(tǒng)多狀態(tài)動力學(xué)模型

Fm+εω2cos(ωt)

(1)

式中:x為輪齒的相對位移;“·”表示對時(shí)間求導(dǎo);ξ為無量綱阻尼;k為無量綱嚙合剛度波動幅值;ω為無量綱嚙合頻率;ε為無量綱綜合傳遞誤差幅值;Fm為負(fù)載。M(t)可按式(2)計(jì)算得到

(2)

式中:Spi(t)、Sgi(t)(i=1,2)分別為主、從動輪中第i對嚙合輪齒的摩擦力臂。齒面嚙合時(shí)(圖2(a))，Spi(t)為第i對嚙合輪齒上的嚙合點(diǎn)到N1的距離，Sgi(t)為第i對嚙合輪齒上的嚙合點(diǎn)到N2的距離。齒背接觸時(shí)(圖2c)，Spi(t)為第i對嚙合輪齒上的嚙合點(diǎn)到M1的距離，Sgi(t)為第i對嚙合輪齒上的嚙合點(diǎn)到M2的距離。Spi(t)、Sgi(t)可由式(2)計(jì)算得到。

(3)

μ[Y1(t)g1(t)sign(Vs1(t))+

Y2(t)g2(t)sign(Vs2(t))]}=Fm+εω2cos(ωt)

(4)

式中，摩擦因數(shù)μ=0.05。定義sign(x)函數(shù)區(qū)分齒面嚙合和齒背接觸時(shí)阻尼力的方向。

(5)

齒側(cè)間隙函數(shù)f(x)定義如下

(6)

式(5)、(6)中，D為無量綱齒側(cè)間隙的一半。

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，式(4)中第i(i=1、2)對嚙合輪齒的載荷分配率函數(shù)Yi(t)按以下兩種情況分別計(jì)算。

當(dāng)nT0≤t≤(εa-1)nT0(雙齒嚙合)時(shí)

(7)

當(dāng)(εa-1)nT0≤t≤(n+1)T0(單齒嚙合)時(shí)

(8)

式(4)中由于嚙合輪齒的相對滑動速度導(dǎo)致摩擦力的方向改變，當(dāng)相對滑動速度為0時(shí),摩擦力為0。定義摩擦力方向函數(shù)sign(Vsi(t))

(9)

式中，第i對嚙合輪齒的相對滑動速度Vsi(t)

Vsi(t)=ωpRpi(t)sinαmpi(t)-ωgRgi(t)sinαmgi(t)

(10)

其中，Rpi(t)、Rgi(t)(i=1,2)可由式(11)計(jì)算得到。

(11)

式(10)中，αmpi(t)、αmgi(t)(i=1,2)為主動輪p、從動輪g中第i對嚙合輪齒上嚙合點(diǎn)的壓力角

(12)

(13)

2 防止齒根折斷安全條件的建立

以齒輪m為研究對象，嚙合輪齒的齒根許用彎曲應(yīng)力可由式(14)計(jì)算得到[16]。

σFP=σFEYNTYδreltYRreltYX/SFmin

(14)

MQ級氣體滲氮處理調(diào)質(zhì)鋼的參數(shù)為：σFE=580 MPa，YNT=1.01，Yδrelt=1.0，YRrelt=0.9，YX=1,SFlim=1.2。則齒根許用彎曲應(yīng)力σFP=440 MPa。

由式(13)可得嚙合過程中齒輪m所受無量綱動態(tài)嚙合力

(15)

(16)

考慮齒輪嚙合過程中的單雙齒交替嚙合，第i(i=1、2)對嚙合輪齒所受沿嚙合線方向的嚙合力Fni

Fni=FnYi(t)

(17)

圖3 齒輪的時(shí)變嚙合剛度Fig.3 Time-varying meshing stiffness of gears

選取系統(tǒng)參數(shù)ω=1.4，ε=0.2，ξ=0.05，k=0.18，D=0.5，μ=0.05，F(xiàn)m=0.23。以x1=1.174 286,x2=0.334 286為初值計(jì)算得到系統(tǒng)相圖，如圖4(a)所示。圖中虛線為|x1|=D=0.5。相軌跡位于x1=0.5右側(cè)時(shí)，系統(tǒng)齒面嚙合，齒輪m受沿N2N1方向的嚙合力；相軌跡位于兩條虛線之間時(shí)，輪齒脫嚙；相軌跡位于x1=-0.5左側(cè)時(shí)，系統(tǒng)齒背接觸，齒輪m受沿M1M2方向的嚙合力。同組參數(shù)下計(jì)算齒輪m嚙合過程中的Fn、Fn1和Fn2，如圖4(b)所示。圖4(c)為圖4(b)在C方向的放大圖。圖4(b)、(c)中的黑色虛線為Fn、黑線為Fn1、灰色線為Fn2。相軌跡位于x1=0.5右側(cè)時(shí)，F(xiàn)n>0；相軌跡位于兩條虛線之間時(shí)，F(xiàn)n=0；相軌跡位于x1=-0.5左側(cè)時(shí)，F(xiàn)n<0。圖4(b)、(c)中，當(dāng)Fn=Fn1∪Fn2=0時(shí)(黑色虛線和黑線重合，灰色線等于0)，系統(tǒng)單齒嚙合；當(dāng)Fn=Fn1+Fn2時(shí)(黑色虛線、黑線和灰色線均不等于0)，系統(tǒng)雙齒嚙合。需要注意的是，圖4(b)、(c)中存在T和T0兩個(gè)時(shí)間尺度。其中，T=2π/ωm為嚙合周期，T0=2π/(Zmωm)為完成一次單、雙齒交替嚙合的時(shí)間。

圖4(b)中的黑色虛線先由Fn>0→Fn=0→Fn<0→Fn=0。Fn>0時(shí)，系統(tǒng)為齒面嚙合狀態(tài)；當(dāng)Fn逐漸減小到0后，沿負(fù)方向增加(時(shí)間區(qū)間較小)，最后突變?yōu)?，見圖4(b)中的A區(qū)域。此時(shí)，系統(tǒng)由齒面嚙合變?yōu)槊搰?。?dāng)Fn=0時(shí)，系統(tǒng)為脫嚙狀態(tài)。之后，圖4(b)中的黑色虛線經(jīng)由Fn=0→Fn>0→Fn=0→Fn<0。Fn由0突變?yōu)檎?，然后逐漸減小為0并向負(fù)方向增加(時(shí)間區(qū)間較小)，見圖4(a)中的B區(qū)域，輪齒脫嚙變?yōu)辇X背接觸。當(dāng)Fn<0時(shí)，系統(tǒng)為齒背接觸狀態(tài)。圖4(b)中嚙合點(diǎn)1、2上所受的嚙合力Fn1≠Fn2，任意時(shí)刻嚙合齒對1和嚙合齒對2上所受的齒根彎曲應(yīng)力不相等，應(yīng)分別計(jì)算嚙合輪齒1和嚙合輪齒2上的齒根彎曲應(yīng)力。

(a) 相圖(b) 嚙合力時(shí)間歷程圖

(c) C方向放大圖圖4 相圖、隨t變化的Fn、Fn1、Fn2Fig.4 Phase diagrams and values of Fn、Fn1、Fn2 via t

齒面摩擦力在節(jié)圓附近改變方向。以節(jié)圓為界將嚙合區(qū)分為兩部分：節(jié)圓至齒根圓為下嚙合區(qū)，節(jié)圓至齒頂圓為上嚙合區(qū)。圖5中齒根圓角半徑r=0.38m；點(diǎn)Bi(i=1,2)為齒輪m中嚙合輪齒i上的嚙合點(diǎn)。嚙合輪齒受到法向力Fni和齒面摩擦力Ffi。Fni沿法線方向延伸交輪齒中線于Ai點(diǎn)，F(xiàn)fi沿切線方向交輪齒中線于Ci點(diǎn)。根據(jù)弦切法可得危險(xiǎn)截面H1H2。Li為Ai到H1H2的距離，ΔLi為Ai到Ci的距離。Fni和Ffi沿齒高方向上的分力在齒根危險(xiǎn)截面產(chǎn)生的拉壓應(yīng)力很小[20]，故不考慮其對齒根彎曲應(yīng)力的影響。齒面摩擦力為

Ffi=Fniμ

(18)

(a) 下嚙合區(qū)輪齒受力圖(b) 上嚙合區(qū)輪齒受力圖圖5 嚙合輪齒受力圖Fig.5 Force diagram of the meshing teeth

齒根危險(xiǎn)截面H1H2受到的彎曲應(yīng)力可由式(19)、(20)計(jì)算得到。其中，雙齒嚙合時(shí)

(19)

單齒嚙合時(shí)

(20)

為使計(jì)算得到的σFi(t)能夠更清晰地反應(yīng)系統(tǒng)的嚙合狀態(tài)，將圖4中的Fn1和Fn2代入式(18)～(20)計(jì)算得到圖6(a)。圖中黑線代表σF1，灰色線代表σF2。圖6(a)中，σFi>0時(shí)齒面嚙合；σFi=0時(shí)輪齒脫嚙；σFi<0時(shí)齒背接觸。圖6(b)為圖6(a)中C方向的放大圖。圖中σF1≠0、σF2≠0時(shí)，系統(tǒng)處于雙齒嚙合狀態(tài)；σF1≠0、σF2=0時(shí)，系統(tǒng)處于單齒嚙合狀態(tài)。圖6(b)中嚙合點(diǎn)處于單齒嚙合區(qū)時(shí)，齒根危險(xiǎn)截面上的彎曲應(yīng)力最大；摩擦力在節(jié)圓附近的方向變化引起圖6(b)中黑線σF1在單齒嚙合區(qū)存在突變。圖6(c)為圖6(a)中某一輪齒從進(jìn)入嚙合到脫離嚙合過程中的齒根彎曲應(yīng)力圖。

(a) 齒根彎曲應(yīng)力時(shí)間歷程圖(b) C方向放大圖

(c) 嚙合輪齒齒根彎曲應(yīng)力圖圖6 隨t變化的σF1、σF2和嚙合輪齒齒根彎曲應(yīng)力圖

齒輪在齒根彎曲應(yīng)力大于齒根許用應(yīng)力下長時(shí)間運(yùn)行，會出現(xiàn)齒根彎曲疲勞，嚴(yán)重時(shí)發(fā)生輪齒折斷；據(jù)此可建立齒根不發(fā)生彎曲疲勞的安全條件

σFi≤σFP

(21)

在安全盆中，以不同吸引子為初值獲得系統(tǒng)不同的運(yùn)動狀態(tài)，計(jì)算不同運(yùn)動狀態(tài)下齒輪1中嚙合輪齒的齒根彎曲應(yīng)力(雙齒嚙合時(shí)σF1(t)、σF2(t)；單齒嚙合時(shí)σF1(t)、σF2(t)=0)，并與齒根許用彎曲應(yīng)力σFP比較。當(dāng)存在σFi(t)≥σFP時(shí)，該吸引子及其吸引域不安全；反之，該吸引子及其吸引域安全。

3 齒根安全條件下系統(tǒng)安全-吸引盆侵蝕與動力學(xué)分析

采用單一變量法，分別研究負(fù)載Fm和齒側(cè)間隙D變化時(shí)系統(tǒng)的全局動力學(xué)和安全特性。利用吸引子和第二節(jié)建立的齒根安全條件對考察區(qū)域Hi內(nèi)吸引域的安全特性進(jìn)行考察，獲得系統(tǒng)的安全-吸引盆；利用多初值分岔圖和TLE分析安全-吸引盆的侵蝕與分岔過程。

3.1 參數(shù)Fm變化下安全-吸引盆的侵蝕與分岔

取系統(tǒng)參數(shù)ω=1.4，ε=0.2，ξ=0.05，k=0.18，D=0.5，μ=0.05。在系統(tǒng)響應(yīng)的相空間中選擇考察區(qū)域H1∈{-2≤x1≤2,-2≤x2≤2}。圖7為系統(tǒng)隨Fm減小時(shí)安全-吸引盆的侵蝕與分岔過程。圖中不同形狀的點(diǎn)代表不同運(yùn)動類型的吸引子，吸引子的個(gè)數(shù)代表周期數(shù)；不同顏色區(qū)域?yàn)樵撐拥奈?。Pn代表周期數(shù)，U代表該吸引域不安全，S代表該吸引域安全。圖8為以新出現(xiàn)或數(shù)量變化的吸引子為初值計(jì)算得到的σFi(t)；其中黑線為σF1(t)，灰色線為σF2(t)，黑色虛線為安全邊界σFP=440 MPa。

表2列出了Fm∈(0.1,0.35)逐漸減小時(shí)系統(tǒng)安全-吸引盆中吸引子的共存情況和演變過程。當(dāng)Fm∈(0.290 3,0.35)，安全-吸引盆中只存在安全吸引子P1，圖7(a)為Fm=0.3時(shí)系統(tǒng)的安全-吸引盆，橙色區(qū)域?yàn)镻1吸引子的吸引區(qū)域，以P1吸引子x1=0.46,x2=0.065 714為初值計(jì)算得到圖8(a)，圖中黑線和灰色線均未超過440 MPa，即齒輪嚙合過程中σFi始終小于σFP，可判斷橙色區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域，將其標(biāo)為P1S。

當(dāng)Fm減小至Fm=0.290 3時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P21，橙色區(qū)域P1S中部分初值進(jìn)入P21吸引子的吸引區(qū)域，安全-吸引盆中出現(xiàn)新的吸引域，安全-吸引盆發(fā)生分岔。當(dāng)Fm∈(0.269 9,0.290 3]時(shí)，安全-吸引盆中P1和P21共存。圖7b為Fm=0.27時(shí)系統(tǒng)的安全-吸引盆，藍(lán)色區(qū)域?yàn)镻21吸引子的吸引域，以P21吸引子x1=0.682 857,x2=0.785 714為初值計(jì)算得到圖8(b)。圖中黑線超過黑色虛線，即齒輪嚙合過程出現(xiàn)σFi>σFP，可以判斷藍(lán)色吸引域?yàn)椴话踩珔^(qū)域，將其標(biāo)為P2U1。

表2 隨Fm減小系統(tǒng)吸引子的演變過程

當(dāng)Fm=0.269 9時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P22，P2U1藍(lán)色區(qū)域中部分初值進(jìn)入P22吸引子的吸引區(qū)域，當(dāng)Fm∈(0.185 8,0.269 9]時(shí)，安全-吸引盆中P1、P21和P22共存。圖7(c)為Fm=0.23時(shí)系統(tǒng)的安全-吸引盆，紅色區(qū)域?yàn)镻22吸引子的吸引域，以P22吸引子x1=1.174 286,x2=0.334 286為初值計(jì)算得圖8(c)，可以判斷紅色區(qū)域?yàn)椴话踩珔^(qū)域，將其標(biāo)為P2U2。圖7(d)為Fm=0.2時(shí)系統(tǒng)的安全-吸引盆，其中未發(fā)生吸引區(qū)域的出現(xiàn)或消失，橙色區(qū)域和紅色區(qū)域的面積逐漸減小，藍(lán)色區(qū)域的面積逐漸增大，該過程中安全-吸引盆發(fā)生侵蝕。

當(dāng)Fm=0.185 8時(shí)，安全吸引子P1分岔為安全吸引子P2。Fm∈(0.178,0.185 8]時(shí)，安全-吸引盆中P2、P21和P22共存。圖7(e)為Fm=0.182時(shí)系統(tǒng)的安全-吸引盆，橙色區(qū)域變?yōu)镻2的吸引區(qū)域，以P2吸引子x1=0.265 714,x2=0.031 429為初值計(jì)算得圖8(d)，藍(lán)色區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域，標(biāo)為P2S。

當(dāng)Fm=0.178時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P6，P2U1藍(lán)色區(qū)域中部分初值進(jìn)入P6吸引子的吸引區(qū)域。當(dāng)Fm∈(0.173 7,0.178]時(shí)，安全-吸引盆中P2、P21、P22和P6共存。圖7(f)為Fm=0.175時(shí)的安全-吸引盆，圖中紫色區(qū)域?yàn)镻6吸引子的吸引區(qū)域。以P6吸引子x1=-0.134 286,x2=0.431 429為初值計(jì)算得圖8e，紫色區(qū)域?yàn)椴话踩珔^(qū)域，記為P6U。

當(dāng)Fm=0.173 7時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子PN，P6U紫色區(qū)域中部分初值進(jìn)入PN吸引子的吸引區(qū)域。Fm∈(0.165,0.173 7]時(shí)，安全-吸引盆中P2、P21、P22、P6和PN共存。圖7(g)為Fm=0.17時(shí)系統(tǒng)的安全-吸引盆，圖中黃銅色區(qū)域?yàn)镻N的吸引區(qū)域。以PN吸引子x1=0.077 14,x2=-0.785 71為初值計(jì)算得圖8(f)，黃銅色區(qū)域?yàn)椴话踩珔^(qū)域，記為PNU。當(dāng)Fm∈(0.164 4,0.165)時(shí)，P1和PN吸引子的吸引區(qū)域不斷減小，當(dāng)Fm=0.164 4時(shí)，安全-吸引盆中橙色區(qū)域P2S及其吸引子P2消失，PNU消失。Fm∈(0.158 7,0.164 4]時(shí)，安全-吸引盆中P21、P22和P6共存，圖7(h)為Fm=0.163時(shí)的安全-吸引盆。

(a) Fm=0.3(b) Fm=0.27

(c) Fm=0.23(d) Fm=0.2

(e) Fm=0.182(f) Fm=0.175

(g) Fm=0.17(h) Fm=0.163

(i) Fm=0.156(j) Fm=0.147

(k) Fm=0.13圖7 系統(tǒng)安全-吸引盆隨Fm的侵蝕與分岔過程Fig.7 Erosion and bifurcation of safe basins of system via Fm

當(dāng)Fm=0.158 7時(shí)，紫色區(qū)域P6U及其P6吸引子消失。當(dāng)Fm∈(0.153 9,0.158 7]時(shí)，安全-吸引盆中P21和P22共存，圖7(i)為Fm=0.156時(shí)的安全-吸引盆。當(dāng)Fm=0.153 9時(shí)，不安全吸引子P21分岔為安全吸引子P4，當(dāng)Fm∈(0.143 5,0.153 9]時(shí)，安全-吸引盆中P4和P22共存。圖7(j)為Fm=0.147時(shí)的安全-吸引盆，以P4吸引子x1=0.557 143,x2=0.391 429為初值計(jì)算得圖8(g)，藍(lán)色區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域，記為P4S。

當(dāng)Fm=0.143 5時(shí)，藍(lán)色區(qū)域安全吸引子P4分岔為安全吸引子PN，當(dāng)Fm∈(0.1,0.143 5]時(shí)，安全-吸引盆中P22和PN共存。圖8(k)為Fm=0.13時(shí)的安全-吸引盆，以PN吸引子x1=-0.077 143,x2=0.031 429為初值計(jì)算得圖8(h)，該吸引子的吸引區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域，記為PNS。

(a) Fm=0.3(b) Fm=0.27

(c) Fm=0.23(d) Fm=0.182

(e) Fm=0.175(f) Fm=0.17

(g) Fm=0.147(h) Fm=0.13圖8 隨t變化的σF1和σF2；圖中黑線為σF1，灰色線為σF2

綜上所述，由于齒輪系統(tǒng)對初值的敏感性，不同的初值會得到不同的吸引子，且不同吸引子引起的齒根彎曲應(yīng)力不同。隨著負(fù)載Fm減小，圖7中相同顏色吸引域下的齒根彎曲應(yīng)力逐漸減小。如，圖7中橙色吸引域由P1S變?yōu)镻2S時(shí)，其引起的齒根彎曲應(yīng)力由圖8(a)減小為圖8(d)；圖7中藍(lán)色吸引域經(jīng)過P2U1→P4S→PNS，其引起的齒根彎曲應(yīng)力變化經(jīng)過圖8(b)、圖8(g)及圖8(h)，藍(lán)色吸引域下的齒根彎曲應(yīng)力由不安全減小為安全。當(dāng)Fm∈(0.290 3,0.35)時(shí)，安全-吸引盆只存在安全吸引子P1及其吸引域，如圖7(a)所示；當(dāng)Fm等于0.290 3、0.269 9、0.178、0.173 7時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P21、P22、P6、PN及相應(yīng)的吸引域，安全-吸引盆的安全性和穩(wěn)定性變差。Fm在一定范圍內(nèi)減小時(shí)，安全-吸引盆中內(nèi)P21、P22、P6、PN吸引子的吸引域面積逐漸增大，引起安全-吸引盆中不安全區(qū)域的面積增大，安全區(qū)域的面積減少。因此Fm和初值共同影響系統(tǒng)的全局安全特性。

在某參數(shù)下，安全-吸引盆中吸引子的類型或數(shù)量改變，導(dǎo)致安全-吸引盆中吸引域的共存情況發(fā)生變化，引發(fā)安全-吸引盆分岔。某參數(shù)范圍內(nèi)，安全-吸引盆中吸引子的類型和數(shù)量沒有變化，未出現(xiàn)吸引域的出現(xiàn)或消失，不同吸引域之間相互侵蝕導(dǎo)致安全-吸引盆侵蝕。下文借助多初值分岔圖和TLE圖進(jìn)一步分析安全-吸引盆侵蝕與分岔過程。

沿用上文所選系統(tǒng)參數(shù)，計(jì)算得到系統(tǒng)的多初值分岔圖和TLE圖，分別如圖9和圖10所示。為分析多初值下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及其轉(zhuǎn)遷過程，多初值分岔圖中采用時(shí)間Poincaré截面(每隔一個(gè)外激勵周期2π/ω取Poincaré映射點(diǎn))。圖9中分岔分支的顏色對應(yīng)于圖7中的安全-吸引盆顏色；P1、M2、PN、MN等為運(yùn)動類型；PN和MN為混沌運(yùn)動。圖9和圖10中G12、M12和D12等為分岔點(diǎn)或周期跳躍點(diǎn)，部分倍化序列未標(biāo)注。

圖9中橙色分岔分支：P1→D12→P2→G22。當(dāng)Fm∈(0.185 8,0.35)時(shí)，安全-吸引盆中橙色P1S區(qū)域?yàn)榘踩覲1的吸引區(qū)域(圖7(a)～(d))。當(dāng)Fm=0.185 8(D12)時(shí)，圖10中TLE值近似等于0，橙色分岔分支發(fā)生倍化分岔，安全吸引子P1倍化分岔為安全吸引子P2；Fm∈(0.164 4,0.185 8]時(shí)，橙色P2S區(qū)域?yàn)镻2吸引子的吸引區(qū)域(圖7(e)～(g))。當(dāng)Fm=0.164 4時(shí)，P2吸引子及橙色區(qū)域消失(圖7h)。

圖9中藍(lán)色分岔分支：P1→G12→P2→G24→ P4→G4N→MN。當(dāng)Fm=0.290 3(G12)時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P21，部分橙色區(qū)域進(jìn)入P21吸引子的吸引區(qū)域，當(dāng)Fm∈(0.153 9,0.290 3]時(shí)，藍(lán)色區(qū)域?yàn)镻21吸引子的吸引區(qū)域(圖7(b)～(i))。當(dāng)Fm=0.153 9(G24)時(shí)，藍(lán)色區(qū)域P21不安全吸引子倍化分岔為安全吸引子P4，F(xiàn)m∈(0.143 5,0.153 9]時(shí)，藍(lán)色區(qū)域?yàn)镻4吸引子的吸引區(qū)域(圖7(j))。當(dāng)Fm=0.143 5(G4N)時(shí)，安全吸引子P4分岔為安全吸引子PN，當(dāng)Fm∈(0.1,0.143 5]時(shí)，藍(lán)色區(qū)域?yàn)镻N吸引子的吸引區(qū)域(圖7(k))。

圖9中紅色分岔分支：P1→M12→M2。當(dāng)Fm=0.269 9(M12)時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P22，部分橙色區(qū)域進(jìn)入P22吸引子的吸引區(qū)域；當(dāng)Fm∈(0.1,0.269 9]時(shí)，紅色區(qū)域?yàn)镻22吸引子的吸引區(qū)域(圖7(c)～(k))。

圖9中紫色分岔分支：P1→G12→P2→G26→P6→G6-12→G12N→PN→GN2。當(dāng)Fm=0.178(G26)時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P6，藍(lán)色部分區(qū)域進(jìn)入P6吸引子的吸引區(qū)域，當(dāng)Fm∈(0.161 2,0.178]時(shí)，紫色區(qū)域?yàn)镻6吸引子的吸引區(qū)域，(圖7(f)～(h))。當(dāng)Fm=0.161 2(G6-12)時(shí)P6吸引子變?yōu)镻12吸引子，并在之后進(jìn)入短暫的混沌狀態(tài)。當(dāng)Fm=0.158 7時(shí)，安全-吸引盆中紫色區(qū)域完全被侵蝕。Fm∈(0.153 9,0.158 7]時(shí)，安全-吸引盆中只存在P21和P22吸引區(qū)域(圖7(i))。

圖9 隨Fm減小的多初值分岔圖

圖10 隨Fm減小的TLEFig.10 TLE decreased with Fm

圖9中黃銅色分岔分支：P1→G12→P2→G23 →P6→G6N→PN→PN2。當(dāng)Fm=0.173 7(G6N)時(shí)，部分紫色區(qū)域進(jìn)入不安吸引子PN的吸引區(qū)域，當(dāng)Fm∈(0.165,0.173 7]時(shí)，黃銅色區(qū)域?yàn)椴话踩覲N的吸引區(qū)域(圖7(g))。當(dāng)Fm=0.165時(shí)，黃銅色吸引域消失。

由此可見，隨著Fm的減小，系統(tǒng)的多初值分岔圖和安全-吸引盆侵蝕與分岔過程相對應(yīng)。多初值分岔圖中未出現(xiàn)周期跳躍和分岔時(shí)，不會引起安全-吸引盆中吸引子種類和數(shù)量上的改變，安全-吸引盆發(fā)生侵蝕。多初值分岔圖中出現(xiàn)周期跳躍或分岔，安全-吸引盆中吸引子種類或數(shù)量改變，安全-吸引盆發(fā)生分岔。

3.2 參數(shù)D變化下安全-吸引盆侵蝕與分岔

取系統(tǒng)參數(shù)ω=1.2，ε=0.2，ξ=0.07，k=0.18，F(xiàn)m=0.14，μ=0.05。在系統(tǒng)相空間中選擇考察區(qū)域H2∈{-2≤x1≤2,-2≤x2≤-2}。圖11為D∈(0,1.0)內(nèi)增大時(shí)系統(tǒng)的安全-吸引盆。圖12為以新出現(xiàn)或數(shù)量變化的吸引子為初值計(jì)算得到的σFi(t)。

表3中列出了當(dāng)D∈(0,1.0)時(shí)系統(tǒng)安全-吸引盆中吸引子的共存情況和演變過程。當(dāng)D∈(0,0.085 5)時(shí)，安全-吸引盆中只存在安全吸引子P1，圖11(a)為D=0.05時(shí)系統(tǒng)的安全-吸引盆，圖中紫色區(qū)域?yàn)樵撐拥奈齾^(qū)域。以P1吸引子x1=-0.191 429、x2=0.048 571為初值計(jì)算得到圖12(a)，可以判斷紫色區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域，將其標(biāo)為P1S。

表3 系統(tǒng)吸引子隨D減小的演變過程

當(dāng)D增大至D=0.085 5時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P41，P1S紫色區(qū)域中部分初值進(jìn)入P41吸引子的吸引區(qū)域。當(dāng)D∈[0.085 5,0.103)時(shí)，安全-吸引盆中P1和P41吸引子共存。圖11(b)為D=0.09時(shí)的安全-吸引盆，圖中粉色區(qū)域?yàn)镻41吸引子的吸引區(qū)域，以P41吸引子x1=-0.534 286,x2=-0.054 286為初值計(jì)算得圖12(b)，粉色區(qū)域?yàn)椴话踩珔^(qū)域，記為P4U。圖11(c)為D=0.1時(shí)的安全-吸引盆，其中的紫色區(qū)域增大，粉色區(qū)域減?。晃拥念愋秃蛿?shù)量未發(fā)生變化，安全-吸引盆僅發(fā)生了侵蝕。

當(dāng)D=0.103時(shí)，粉色區(qū)域及其P41吸引子消失。當(dāng)D=0.109 5時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)安全吸引子P3。當(dāng)D∈[0.109 5,0.122 5)時(shí)，安全-吸引盆中P1和P3共存。圖11(d)為D=0.115時(shí)的安全-吸引盆，圖中草綠色區(qū)域?yàn)镻3吸引子的吸引區(qū)域，以P3吸引子x1=-0.237 143,x2=-0.048 571為初值計(jì)算得到圖12(c)，綠色區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域，記為P3S。

當(dāng)D=0.122 5時(shí)，紫色區(qū)域中P1吸引子分岔為安全吸引子P21；當(dāng)D∈[0.122 5,0.253 5)時(shí)，安全-吸引盆中P21和P3共存。圖11(e)為D=0.175時(shí)的安全-吸引盆，以紫色區(qū)域P21吸引子x1=-0.237 143,x2=0.031 429為初值計(jì)算得到圖12(d)，紫色區(qū)域安全，記為P2S。D∈[0.122 5,0.253 5)時(shí)，紫色區(qū)域不斷侵蝕草綠色區(qū)域(圖11(e)～(f))。當(dāng)D=0.253 5時(shí)，草綠色區(qū)域及其P3吸引子消失。

當(dāng)D=0.386 5時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)安全吸引子P22，P2S紫色區(qū)域中部分初值進(jìn)入P22吸引子的吸引區(qū)域。當(dāng)D∈[0.386 5,0.433 5)時(shí)，安全-吸引盆中P21和P22共存。圖11(g)為D=0.41時(shí)的安全-吸引盆，圖中天藍(lán)色區(qū)域?yàn)镻22吸引子的吸引區(qū)域，以P22吸引子x1=-0.46,x2=-0.02為初值計(jì)算得到圖12(e)，天藍(lán)色區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域，記為P2S2。

當(dāng)D=0.433 5時(shí)，天藍(lán)色區(qū)域中P22吸引子分岔為安全吸引子P4。當(dāng)D∈[0.433 5,0.457 5)時(shí)，安全-吸引盆中P21和P4共存。圖11(h)為D=0.45時(shí)的安全-吸引盆，以天藍(lán)色區(qū)域P4吸引子x1=-0.597 143,x2=-0.042 857為初值計(jì)算得到圖12(f)，天藍(lán)色區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域，記為P4S。當(dāng)D=0.457 5時(shí)，天藍(lán)色區(qū)域及其P4吸引子消失。

當(dāng)D=0.525 5時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P42，P2S紫色部區(qū)域中部分初值進(jìn)入P42吸引子的吸引區(qū)域。當(dāng)D∈[0.525 5,0.582)時(shí)，安全-吸引盆中P21和P42共存。圖11(i)為D=0.55時(shí)的安全-吸引盆，圖中紅色區(qū)域?yàn)镻42吸引子的吸引區(qū)域，以P42吸引子x1=-0.62,x2=-0.06為初值計(jì)算得到圖12(g)，紅色區(qū)域?yàn)椴话踩珔^(qū)域，記為P4U2。

當(dāng)D=0.582時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P43；當(dāng)D=0.589時(shí)，紅色區(qū)域不安全吸引子P42分岔為不安全吸引子P2。當(dāng)D∈[0.589,0.74)時(shí)，安全盆中P21、P2和P43共存；圖11(k)為D=0.625時(shí)的安全-吸引盆，其中的藍(lán)色區(qū)域?yàn)镻43吸引子的吸引區(qū)域。以P43吸引子x1=0.094 286,x2=-0.265 714為初值計(jì)算得到圖12(h)，藍(lán)色區(qū)域?yàn)椴话踩珔^(qū)域，記為P4U3。以紅色區(qū)域P2吸引子x1=-0.905 714,x2=-0.128 571為初值計(jì)算得到圖12(i)，紅色區(qū)域?yàn)椴话踩珔^(qū)域，記為P2U。

當(dāng)D=0.74時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P6，P4U3藍(lán)色區(qū)域中部分初值進(jìn)入P6吸引子的吸引區(qū)域。當(dāng)D∈[0.74,0.878)時(shí)，安全-吸引盆中P21、P2、P43和P6共存。圖11(m)為D=0.75時(shí)的安全-吸引盆，其中的春天綠區(qū)域?yàn)樵撐游齾^(qū)域，以P6吸引子x1=-0.322 857,x2=0.42為初值計(jì)算得到圖12(j)，春天綠區(qū)域?yàn)椴话踩珔^(qū)域，記標(biāo)為P6U。圖11(n)為D=0.75時(shí)的安全-吸引盆。

當(dāng)D=0.878時(shí)，不安全吸引子P2及紅色區(qū)域消失。當(dāng)D∈[0.878,1.0)時(shí)，安全-吸引盆中P21、P43和P6共存，圖11(o)為D=0.9時(shí)系統(tǒng)的安全-吸引盆。

(a) D=0.05(b) D=0.09

(c) D=0.1(d) D=0.115

(e) D=0.175(f) D=0.225

(g) D=0.41(h) D=0.45

(i) D=0.55(j) D=0.575

(k) D=0.625(l) D=0.7

(m) D=0.75(n) D=0.8

(o) D=0.9圖11 系統(tǒng)安全-吸引盆隨D的侵蝕與分岔過程Fig.11 Erosion and bifurcation of safe basins of system via D

由此可見，隨著齒側(cè)間隙D的增大，系統(tǒng)安全-吸引盆中出現(xiàn)多吸引域共存和不安全吸引域，且不安全吸引域的面積不斷增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全特性被破壞。因此，齒側(cè)間隙D不宜取值過大。

下文將利用多初值分岔圖和TLE圖分析系統(tǒng)安全-吸引盆的侵蝕與分岔過程。圖13為D∈(0,1.0)內(nèi)系統(tǒng)隨D增大的多初值分岔圖，圖14為對應(yīng)的TLE圖。

圖13中紫色分岔分支：P1→G12→P2。當(dāng)D∈(0,0.122 5)時(shí)，安全-吸引盆中紫色區(qū)域?yàn)榘踩覲1吸引區(qū)域(圖11(a)～(d))。當(dāng)D=0.122 5(G12)時(shí)，P1吸引子分岔為安全吸引子P21。D∈[0.122 5,1)時(shí)，安全-吸引盆中紫色區(qū)域?yàn)镻21吸引子的吸引區(qū)域(圖11(e)～(o))。

圖13中粉色分岔分支：P1→G14→P4→G41。當(dāng)D=0.085 5(G14)時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P41，當(dāng)D∈(0.085 5,0.103)時(shí)，安全-吸引盆中粉色區(qū)域?yàn)镻41吸引子的吸引區(qū)域(圖11(b)～(c))。當(dāng)D=0.103(G41)時(shí)，粉色區(qū)域及其P41吸引子消失。

圖13中草綠色分岔分支：P1→G13→P3 →G32。當(dāng)D=0.109 5(G13)時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)安全吸引子P3；當(dāng)D∈[0.109 5,0.253 5)時(shí)，安全-吸引盆中草綠色區(qū)域?yàn)镻3吸引子的吸引區(qū)域(圖11(d)～(f))。當(dāng)D=0.253 5(G32)時(shí)，草綠色區(qū)域及其P3吸引子消失。

(a) D=0.05(b) D=0.09

(c) D=0.115(d) D=0.175

(e) D=0.41(f) D=0.45

(g) D=0.55(h) D=0.625(P4U3)

(i) D=0.625(P2U)(j) D=0.75圖12 隨t變化的σF1和σF2Fig.12 σF1 and σF2 via t

圖13中天藍(lán)色分岔分支：P1→G12→P2→G22→P2→G24→P4→G42。當(dāng)D=0.386 5(G22)時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)安全吸引子P22，當(dāng)D∈[0.386 5,0.433 5)時(shí)，安全-吸引盆中天藍(lán)色區(qū)域?yàn)镻22吸引子的吸引區(qū)域(圖11(g))。當(dāng)D=0.433 5(G24)時(shí)，安全吸引子P22倍化分岔為安全吸引子P4。當(dāng)D∈[0.433 5,0.457 5)時(shí)，安全-吸引盆中天藍(lán)色區(qū)域?yàn)镻4吸引子的吸引區(qū)域(圖11(h))。當(dāng)D=0.457 5(G42)時(shí)，天藍(lán)色區(qū)域及其P4吸引子消失。

圖13中紅色分岔分支：P1→G12→P2→M24→Q4→M42→P2→O24。當(dāng)D=0.525 5(M24)時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P42，當(dāng)D∈[0.525 5,0.589)時(shí)，安全-吸引盆中紅色區(qū)域?yàn)镻42吸引子的吸引區(qū)域(圖11(i)～(j))。當(dāng)D=0.589時(shí)，紅色區(qū)域P42吸引子逆倍化分岔為不安全吸引子P2，當(dāng)D∈[0.589,0.878)時(shí)，安全-吸引盆中紅色區(qū)域?yàn)镻2吸引子的吸引區(qū)域(圖11(k)～(n))。

圖13 隨D增大的多初值分岔圖

圖14 隨D增大的TLEFig.14 TLE increased with D

圖13中藍(lán)色分岔分支:P1→G12→P2→M24→Q4→G44→R4。當(dāng)D=0.582時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P43，當(dāng)D∈[0.582,1.0)時(shí)，安全-吸引盆中藍(lán)色區(qū)域?yàn)镻43的吸引區(qū)域(圖11(k)～(o))。

圖13中春天綠色分岔分支：P1→G12→P2→M24→Q4→G44→R4→G46→P6。當(dāng)D=0.74時(shí)，安全-吸引盆中出現(xiàn)不安全吸引子P6，當(dāng)D∈[0.74,1.0)時(shí)，安全-吸引盆中春天綠色區(qū)域?yàn)镻6吸引子的吸引區(qū)域(圖11(m)～(o))。

由此可見，多初值分岔圖中系統(tǒng)隨D增大的分岔過程，反應(yīng)了系統(tǒng)運(yùn)動響應(yīng)的共存情況及其轉(zhuǎn)遷過程。這些運(yùn)動響應(yīng)的出現(xiàn)、消失或轉(zhuǎn)遷，引起安全-吸引盆中吸引子的出現(xiàn)或消失，發(fā)生安全-吸引盆分岔。若運(yùn)動響應(yīng)的共存情況未發(fā)生改變，安全-吸引盆中不同吸引域之間僅出現(xiàn)相互侵蝕。

4 結(jié) 論

本文建立了齒輪傳動系統(tǒng)的齒根安全條件，結(jié)合吸引子判斷吸引盆中不同運(yùn)動類型吸引域的安全特性，獲得了系統(tǒng)的安全-吸引盆。研究了單自由度多狀態(tài)嚙合齒輪傳動系統(tǒng)在負(fù)載Fm和齒側(cè)間隙D變化下安全-吸引盆的侵蝕與分岔過程。

(1) 隨著負(fù)載Fm的減小，安全-吸引盆中出現(xiàn)吸引子共存。部分吸引域下的系統(tǒng)響應(yīng)不滿足齒根安全條件，不安全吸引域的吸引域面積增大導(dǎo)致安全-吸引盆中不安全區(qū)域增大。參數(shù)Fm和吸引域的演變共同影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全特性。

(2) 隨著齒側(cè)間隙D的增大，安全-吸引盆中安全區(qū)域減小，不安全區(qū)域的面積增大，系統(tǒng)的安全性逐漸變差。參數(shù)D過大會加劇輪齒碰撞等現(xiàn)象，在設(shè)計(jì)時(shí)，D值不應(yīng)過大。

(3) 吸引子的種類或數(shù)量變化導(dǎo)致安全-吸引盆中的運(yùn)動拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變，安全-吸引盆發(fā)生分岔。多初值分岔圖中出現(xiàn)周期跳躍或分岔引起系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的變化，導(dǎo)致安全-吸引盆中吸引子發(fā)生變化，誘發(fā)安全-吸引盆分岔。

本文根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下齒根彎曲應(yīng)力是否超過齒根許用彎曲應(yīng)力考察齒輪傳動系統(tǒng)安全-吸引盆的分岔與侵蝕過程貼近工程實(shí)際。本文只建立了防止輪齒折斷的安全條件，下一步將建立防止齒面點(diǎn)蝕、齒面塑性變形等安全條件并分析系統(tǒng)安全-吸引盆的侵蝕與分岔過程。