巧用偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式 速解平拋運(yùn)動問題

■云南省施甸縣第一中學(xué) 蔣金團(tuán)

平拋運(yùn)動是僅在重力作用下的勻變速曲線運(yùn)動,其軌跡為拋物線,一般分解為水平方向上的勻速直線運(yùn)動和豎直方向上的自由落體運(yùn)動。求解平拋運(yùn)動問題的思維方法很多,下面主要應(yīng)用平拋運(yùn)動的基本規(guī)律和一個重要的推論——偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式巧解幾個平拋運(yùn)動問題。

一、偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式的推導(dǎo)

圖1

如圖1所示,一個小球以初速度v0做平拋運(yùn)動,將平拋運(yùn)動分解成水平分運(yùn)動和豎直分運(yùn)動,構(gòu)造出速度三角形與位移三角形,則末速度與初速度間的夾角α為速度偏轉(zhuǎn)角,合位移與初速度間的夾角θ為位移偏轉(zhuǎn)角。根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律可得,速度偏轉(zhuǎn)角的正切值位移偏轉(zhuǎn)角的正切值由以上兩式知tanα=2tanθ,該式被稱為偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式。

注意：(1)偏轉(zhuǎn)角是相對初速度而言的,利用幾何關(guān)系找角時不能和對應(yīng)的余角混淆;(2)兩個偏轉(zhuǎn)角的正切值滿足2倍關(guān)系,但兩個角度不滿足2倍關(guān)系,且速度偏轉(zhuǎn)角大于位移偏轉(zhuǎn)角;(3)求解平拋運(yùn)動問題實(shí)質(zhì)上是解速度三角形和位移三角形,偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式將這兩個三角形的信息聯(lián)系在一起,實(shí)現(xiàn)了位移信息和速度信息的快速互通。

二、偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式的運(yùn)用

圖2

例1如圖2所示,轟炸機(jī)沿水平方向勻速飛行,到達(dá)山坡底端正上方時釋放一顆炸彈,并垂直擊中山坡上的目標(biāo)A。已知目標(biāo)A離地高度為h,山坡傾角為θ,則由此可算出( )。

A.轟炸機(jī)的飛行高度

B.轟炸機(jī)的飛行速度

C.炸彈的飛行時間

D.炸彈投出時的動能

圖3

解析：如圖3所示,速度偏轉(zhuǎn)角為,位移偏轉(zhuǎn)角為α,根據(jù)偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式得tanα=

在△OAD中,OD=AD·tanα=BC·所以O(shè)B=選項(xiàng)A正確。根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律得解得飛機(jī)的速度選項(xiàng)B正確。炸彈做平拋運(yùn)動的時間選項(xiàng)C正確。因?yàn)椴恢勒◤椀馁|(zhì)量,所以選項(xiàng)D錯誤。答案為ABC。

小結(jié)：本題利用偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式實(shí)現(xiàn)了各個三角形間的幾何聯(lián)系。在找兩個偏轉(zhuǎn)角時,必須嚴(yán)格按照定義尋找,不能出現(xiàn)細(xì)節(jié)上的錯誤,比如本題中的速度偏轉(zhuǎn)角不是θ,而是它的余角。

圖4

例2如圖4所示,一質(zhì)點(diǎn)以速度v0從傾角為θ的斜面底端斜向上拋出,落到斜面上的M點(diǎn)且速度水平向右?，F(xiàn)將該質(zhì)點(diǎn)以速度2v0從斜面底端朝同樣的方向拋出,落在斜面上的N點(diǎn)。下列說法正確的是( )。

A.落到M、N兩點(diǎn)的時間之比為1∶2

B.落到M、N兩點(diǎn)時的速度之比為1∶1

C.M、N兩點(diǎn)離地高度之比為1∶2

D.落到N點(diǎn)時的速度方向水平向右

圖5

解析：質(zhì)點(diǎn)落到M點(diǎn)時的速度水平向右,因此質(zhì)點(diǎn)從斜面底端運(yùn)動到M點(diǎn)的斜拋運(yùn)動可以看成逆向的平拋運(yùn)動(如圖5所示)。找出兩個對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角,則速度偏轉(zhuǎn)角為α+θ,位移偏轉(zhuǎn)角恰等于斜面與水平方向間的夾角θ,根據(jù)偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式得tan(α+θ)=2tanθ。質(zhì)點(diǎn)以速度2v0拋出時,設(shè)運(yùn)動到K點(diǎn)時的速度方向水平向右,則質(zhì)點(diǎn)從斜面底端運(yùn)動到K點(diǎn)的斜拋運(yùn)動可以看成逆向的平拋運(yùn)動(如圖6所示),同理得tan(α+θ)=2tan(θ+β)。對比以上兩式得β=0,即K點(diǎn)與N點(diǎn)重合。設(shè)質(zhì)點(diǎn)從M點(diǎn)和N點(diǎn)運(yùn)動到斜面底端時的水平分速度分別為vx1和vx2,豎直分速度分別為vy1和vy2,豎直分位移分別為y1和y2,根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律得vM=vx1=v0cos(α+θ),vN=vx2=2v0cos(α+θ),tM=即vM∶vN=1∶2,tM∶tN=1∶2。由2gy得y1∶y2=1∶4。答案為AD。

圖6

小結(jié)：求解本題用到了兩個技巧,一是將斜拋運(yùn)動逆向看成平拋運(yùn)動,二是巧妙運(yùn)用偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式證出質(zhì)點(diǎn)落到N點(diǎn)時的速度沿水平方向。

圖7

例3如圖7所示,水平地面上有一個坑,其豎直截面為半圓,ab為沿水平方向的直徑。若在a點(diǎn)以初速度v0沿水平方向向右拋出一小球,則小球會擊中坑壁上的c點(diǎn)。已知c點(diǎn)與水平地面間的距離為圓半徑的一半,則圓的半徑R等于( )。

圖8

解析：如圖8所示,由幾何關(guān)系得, 因此根據(jù)分速度公式得v=y根據(jù)偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式得tanα=2tanβ,解得R=答案為B。

小結(jié)：求解本題需要先用R表示出分速度和分位移,進(jìn)而求出兩個偏轉(zhuǎn)角,再代入偏轉(zhuǎn)角關(guān)系式求出R。

跟蹤訓(xùn)練

圖9

1.如圖9所示,一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時,其速度方向與斜面垂直,運(yùn)動軌跡如虛線所示。小球在豎直方向與水平方向上通過的距離之比為( )。

圖10

2.如圖10所示,一演員表演飛刀絕技,由O點(diǎn)先后拋出完全相同的三把飛刀,分別垂直打在豎直木板上的M、N、P三點(diǎn)。假設(shè)不考慮飛刀的轉(zhuǎn)動,并可將其看成質(zhì)點(diǎn),已知O、M、N、P四點(diǎn)距離水平地面的高度分別為h、4h、3h、2h。下列說法正確的是( )。

A.三把刀擊中木板時的動能相同

C.三把刀初速度的豎直分量之比為3∶2∶1

D.設(shè)三把刀的初速度與水平方向間的夾角分別為θ1、θ2、θ3,則θ1＞θ2＞θ3

參考答案：1.B 2.D