基于分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波的磷酸鐵鋰電池簡化阻抗譜模型參數(shù)在線估計(jì)

李曉宇 朱春波 魏 國 逯仁貴

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院 哈爾濱 150001）

基于分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波的磷酸鐵鋰電池簡化阻抗譜模型參數(shù)在線估計(jì)

李曉宇 朱春波 魏 國 逯仁貴

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院 哈爾濱 150001）

電池特性建模及模型參數(shù)在線估計(jì)是電動汽車電池管理系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)，以磷酸鐵鋰電池這一非線性系統(tǒng)為研究對象，以包含分?jǐn)?shù)階元件的簡化電池電化學(xué)阻抗譜模型為基礎(chǔ)，建立了該模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和系統(tǒng)觀測方程，運(yùn)用分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波器（FJKF）對該模型的擴(kuò)散極化電壓和模型參數(shù)進(jìn)行了在線估計(jì)。試驗(yàn)結(jié)果表明，該模型能較好地表征磷酸鐵鋰電池的動態(tài)特性，分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波算法在參數(shù)估計(jì)過程中能夠保持很好的精度，同時(shí)該方法對多種測試工況都有較好的適用性，算法估計(jì)得到的模型參數(shù)值具有較好的穩(wěn)定性。

磷酸鐵鋰電池 分?jǐn)?shù)階電池模型 電化學(xué)阻抗譜 分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波

0 引言

隨著汽車技術(shù)的發(fā)展，代表新一代節(jié)能與環(huán)保汽車發(fā)展方向的電動汽車開始逐漸被推廣應(yīng)用[1]，磷酸鐵鋰電池因其高安全性而日益廣泛地應(yīng)用于電動汽車。動力電池作為電動汽車的能量存儲與供給單元，對其進(jìn)行有效的監(jiān)測和管理是電動汽車安全、高效運(yùn)行的基本保障[2]。目前，動力電池的狀態(tài)監(jiān)測和管理技術(shù)主要有電池荷電狀態(tài)（State Of Charge, SOC）估計(jì)技術(shù)[3,4]、峰值功率預(yù)測技術(shù)[5]（State OfPower, SOP）、電池健康狀態(tài)（State Of Health，SOH）估計(jì)、壽命預(yù)測技術(shù)[6]（Remain Useful Life, RUL）、電池老化機(jī)理無損分析技術(shù)[7]、冷熱管理技術(shù)等，為了更好地實(shí)現(xiàn)對儲能系統(tǒng)的監(jiān)測與管理，依據(jù)適當(dāng)?shù)碾姵啬Ｐ蚚8,9]、電池端電壓和負(fù)載電流等數(shù)據(jù)求解電池模型的狀態(tài)、參數(shù)[10]以及變化情況，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的優(yōu)化配置[11]管理。

常見的電池模型有等效電路模型、電化學(xué)反應(yīng)機(jī)理模型及多物理場模型[12]等，等效電路模型形式簡單、計(jì)算量小，并且能夠有效地反映電池動態(tài)特性，在電池狀態(tài)監(jiān)測和管理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。典型的等效電路模型有Rint模型、一階RC模型、PNGV模型、二階RC模型及電化學(xué)阻抗譜模型等。不同類型動力電池的外特性不盡相同，選用的等效電路模型也多種多樣。其中，一階RC模型計(jì)算量小、能夠較好地反映多種電池的動態(tài)特性而被廣泛地使用；電化學(xué)阻抗譜模型可以更好地反映多種動力電池的動態(tài)特性[13]，并且對比一階RC模型，電化學(xué)阻抗譜模型中元件的物理意義更加明確，因而該電池模型越來越受到人們的關(guān)注。

C. Fleishcher等基于電化學(xué)阻抗譜技術(shù)建立電池等效電路模型，實(shí)現(xiàn)了電池的SOC估計(jì)[14]、SOH估計(jì)[15,16]以及SOP預(yù)測[17]，但是電化學(xué)阻抗譜模型也存在計(jì)算量大、模型參數(shù)難以在線估計(jì)等缺點(diǎn)，這在一定程度上制約了電化學(xué)阻抗譜模型在電池的狀態(tài)監(jiān)測和管理技術(shù)中的應(yīng)用。

本文依據(jù)磷酸鐵鋰電池的電化學(xué)阻抗譜測試結(jié)果建立了一種等效電路模型，構(gòu)建了算法所需的狀態(tài)方程與觀測方程，利用分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波器[18]（Fractional Joint Kalman Filter，F(xiàn)JKF），將電池模型中的準(zhǔn)開路電壓OCVe、歐姆內(nèi)阻Ro、擴(kuò)散極化參數(shù)XW和擴(kuò)散極化電壓UW作為估計(jì)量，將測得的電池端電壓UL、負(fù)載電流IL以及采樣的時(shí)間間隔Ts（Ts=1s）作為已知量。通過FJKF算法的迭代更新，實(shí)時(shí)地估計(jì)出所測磷酸鐵鋰電池的準(zhǔn)開路電壓、歐姆內(nèi)阻及擴(kuò)散極化參數(shù)。與傳統(tǒng)的阻抗譜測試方法、一階RC模型及卡爾曼濾波方法相比，本文提出的方法通過迭代求解，無需專用的電化學(xué)阻抗譜測試設(shè)備，即可在線估計(jì)出磷酸鐵鋰電池的電化學(xué)阻抗譜分布情況。電池模型的仿真精度優(yōu)于一階RC模型，模型參數(shù)值的穩(wěn)定性優(yōu)于傳統(tǒng)的電池參數(shù)在線估計(jì)算法，該方法可以為動力電池的狀態(tài)監(jiān)測和管理提供可靠的依據(jù)。

1 等效電路模型的建立

1.1 動力電池使用工況分析

動力電池使用工況的特征在一定程度上決定了電池模型應(yīng)有的精細(xì)化程度。汽車常見的運(yùn)行工況大致可以分為兩種：市區(qū)工況和城郊工況，對應(yīng)的典型測試工況有美國《USABC電池測試手冊》中的聯(lián)邦城市（FUDS）工況、FTP75市區(qū)（FTP75 Urban）工況、FTP75市郊（FTP75 Suburb）工況等。圖1對FTP75市區(qū)和市郊工況的車速、仿真得到的負(fù)載電流及其頻率特性做了對比。主要仿真參數(shù)有：整車質(zhì)量1 200kg，迎風(fēng)面積1.97m2以及電池組參數(shù)336V/40A·h。

圖1 FTP75 市區(qū)工況和市郊工況對比Fig.1 Comparison of the FTP75 urban and suburban vehicle working conditions

圖1c頻譜中，兩種工況的頻率成分均集中在很低的頻率處，而存在的差異表現(xiàn)在FTP75-Urban-a（FTP75市區(qū)工況的穩(wěn)態(tài)行車工況部分）的主要頻譜成分比FTP-Suburb分散，F(xiàn)TP-Suburb工況頻譜的最高和次高幅值均出現(xiàn)在基頻附近。

因此，在電池建模時(shí)，表征電池中高頻特性的電路元件可以被簡化。由于不同運(yùn)行工況的低頻頻率成分分布存在差異，因此用于表征電池低頻特性

的電路元件應(yīng)盡可能準(zhǔn)確。

1.2 磷酸鐵鋰電池等效電路分析

建立電池等效電路的主要目的是使用電路元件表征電池電參數(shù)的動態(tài)變化，獲取電池狀態(tài)信息。圖2描繪了磷酸鐵鋰電池的三種等效電路阻抗特性，其中“R-RQ-ZW”（Q為恒相位元件，ZW為韋伯阻抗元件）表示電化學(xué)阻抗譜模型，能夠準(zhǔn)確反映電池的阻抗譜，“R-RC”表示一階RC模型，“R-2RC”表示二階RC模型。對于本文研究的磷酸鐵鋰動力電池的電化學(xué)阻抗譜分布，圖2中區(qū)域①對應(yīng)的頻譜范圍約為1kHz～1Hz，區(qū)域②對應(yīng)的頻譜范圍約為1Hz～0.05Hz，f表示頻譜奈奎斯特圖中測試頻率。區(qū)域②右側(cè)阻抗對應(yīng)的測試頻率逐漸減小，該阻抗成分通常被認(rèn)為是電池?cái)U(kuò)散特性的外在反映。一階RC模型的阻抗特性只在很小的頻率范圍內(nèi)與電化學(xué)阻抗譜模型相似，二階RC模型也同樣沒有明顯改善。因此，使用低階次的RC模型很難全面地表征電池的低頻阻抗譜特性。然而，電化學(xué)阻抗譜模型中的ZW元件因其自身的特性可以較準(zhǔn)確地表征電池的低頻阻抗譜特性。

圖2 電池等效電路模型對比Fig.2 Comparison of the battery equivalent circuit models

1.3 簡化電化學(xué)阻抗譜模型的描述

通過上節(jié)的對比分析可以得出，在對磷酸鐵鋰電池建模時(shí)，電化學(xué)阻抗譜模型中的較高頻率的阻抗特性（對應(yīng)圖2中①）可以由常用的RQ并聯(lián)電路簡化為純阻性元件R，簡化后得到的簡化電化學(xué)阻抗譜等效電路模型如圖3所示。

圖3中，UL、IL分別為電池的端電壓與流經(jīng)電池的總電流，模型由OCVe、Ro、ZW三個(gè)元件構(gòu)成。其中，OCVe為準(zhǔn)開路電壓元件，主要反映電池開路電壓特性。

圖3 簡化的電化學(xué)阻抗譜模型Fig.3 A simplified electrochemical impedance spectroscopy model

由于電化學(xué)阻抗譜模型簡化了電池化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)的許多過程，OCVe是電池開路電壓（Open Circuit Voltage, OCV）的近似值，OCVe在數(shù)值上包含了OCV以及一部分由于擴(kuò)散極化產(chǎn)生的過電動勢。

式中，Ro為歐姆內(nèi)阻特性元件，該參數(shù)主要反映電池電化學(xué)阻抗譜的中高頻歐姆阻抗特性，參數(shù)在數(shù)值上約等于高頻歐姆阻抗RΩ、固液界面（Solid Electrolyte Interface, SEI）膜阻抗RSEI、電荷轉(zhuǎn)移阻抗Rct之和。

從電池的電化學(xué)阻抗譜測試數(shù)據(jù)可知，電池離子擴(kuò)散特性可近似由0.5階韋伯阻抗來描述[14]。韋伯阻抗定義式為

式中，W為離子擴(kuò)散系數(shù)；ω為角頻率。為了便于阻抗參數(shù)的在線估計(jì)，本文中取，得到

該等效電路模型的特點(diǎn)是簡化了傳統(tǒng)阻抗譜等效電路模型中的高頻（頻率大于1kHz）和中頻阻抗（頻率大于0.5Hz，且小于1kHz）電路，上述簡化阻抗譜模型可以有效減少模型參數(shù)數(shù)量，并且適合用于電池的狀態(tài)監(jiān)測和管理。

2 電池模型的參數(shù)估計(jì)

2.1 狀態(tài)方程的建立

根據(jù)已建立的包含分?jǐn)?shù)階元件的電池等效電路模型，將構(gòu)建模型對應(yīng)的狀態(tài)方程與觀測方程。

首先，取IL在放電時(shí)為正值，數(shù)據(jù)采樣周期為Ts=1s，使用Δr作為微分算子，即

2.2 分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波參數(shù)估計(jì)

J. Sabatier和D. Sierociuk分別提出了兩種分?jǐn)?shù)階元件參數(shù)的估計(jì)方法，一種是Levenberg-Marquart算法[19]，它是一種非線性最小二乘濾波算法，該算法的特點(diǎn)是根據(jù)函數(shù)梯度信息，不斷尋找參數(shù)最優(yōu)值的迭代過程。該方法的特點(diǎn)是需要計(jì)算待估參量的輸出敏感度系數(shù)，然而對于分?jǐn)?shù)階元件，敏感度系數(shù)的計(jì)算十分復(fù)雜，且計(jì)算量大，不適合工程應(yīng)用。另外一種方法是FJKF算法，該方法可以將分?jǐn)?shù)階元件參數(shù)作為隱性參量，在不計(jì)算參量的輸出敏感度系數(shù)情況下即可獲得參數(shù)的估計(jì)值。該算法的特點(diǎn)是分?jǐn)?shù)階元件參數(shù)的估計(jì)過程簡單。另外，該算法有效利用了卡爾曼濾波算法的預(yù)測-修正的工作特點(diǎn)，使得參數(shù)估計(jì)過程的跟蹤性能，參數(shù)估計(jì)精度都優(yōu)于最小二乘濾波算法。但是該方法也有一定的局限性，當(dāng)算法應(yīng)用的模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)，會造成濾波器發(fā)散。綜合考慮上述兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，由于本論文使用的簡化電化學(xué)阻抗譜模型形式簡單，模型狀態(tài)和參數(shù)的估計(jì)方法選用FJKF算法。該算法的具體計(jì)算過程如下：

（1）初始化。取Qk為噪聲wk的協(xié)方差，Rk為噪聲vk的協(xié)方差，設(shè)定各個(gè)參量的初始值。

（2）狀態(tài)、參數(shù)及協(xié)方差矩陣的時(shí)間更新。

（3）狀態(tài)、參數(shù)及協(xié)方差矩陣的測量更新。

采用FJKF算法實(shí)現(xiàn)電池模型狀態(tài)及參數(shù)的遞推更新流程如圖4所示。

圖4 分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波算法流程Fig.4 Flow chart of the fractional joint Kalman filter

3 試驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析

3.1 試驗(yàn)介紹

本文試驗(yàn)選用的電池是深圳沃特瑪電池有限公司生產(chǎn)的額定容量為5A·h的LiFePO4/graphite 能量型動力電池，電池單體的上下限截止電壓為3.65V和2.5V，每8個(gè)電池單體并聯(lián)組成電池模塊，然后105個(gè)電池模塊串聯(lián)可以組成額定電壓為336V、額定電流為100A（2.5C）的動力電池包。本文的算法驗(yàn)證試驗(yàn)主要由Arbin BT2000電池測試系統(tǒng)完成，試驗(yàn)對象為磷酸鐵鋰電池單體，試驗(yàn)內(nèi)容包括FUDS工況試驗(yàn)、FTP75市區(qū)和FTP75市郊混合工況試驗(yàn)，試驗(yàn)放電電流的最大值為12.5A（2.5C）。另外，實(shí)施了脈沖放電試驗(yàn)和電化學(xué)阻抗譜試驗(yàn)，用來獲取電池開路電壓的真值和電化學(xué)阻抗譜的真值，驗(yàn)證算法性能。試驗(yàn)環(huán)境為常溫、常濕、標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。

3.2 估計(jì)值與試驗(yàn)參考值對比

本文采用的FUDS測試工況最大放電功率為32W，在每個(gè)FUDS工況之間加入了5min的靜置工況，兩者循環(huán)執(zhí)行，直至電池放電結(jié)束。通過此工況試驗(yàn)驗(yàn)證電池模型及參數(shù)估計(jì)值的準(zhǔn)確性。圖5a為數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)得到的電池端電壓UL和負(fù)載電流IL。圖5b為FJKF算法計(jì)算得到的端電壓的估計(jì)誤差，可以看出，F(xiàn)JKF算法的端電壓估計(jì)誤差非常小，基本維持在5mV以內(nèi)，而在工況測試的初期和末期誤差較大，原因可能是模型參數(shù)在算法參數(shù)跟蹤過程的初期誤差較大所致，工況測試后期誤差較大的原因可能是由電池模型誤差引起的。

圖5 FUDS工況數(shù)據(jù)及FJKF算法估計(jì)誤差Fig.5 FUDS battery terminal voltage and load current data and FJKF estimation error

圖6對采用FJKF算法計(jì)算得到的OCV估計(jì)值和采用脈沖放電靜置1h得到的OCV參考值作了對比。從圖6中看，OCV估計(jì)值基本與OCV參考值吻合，除了在電池電壓從放電平臺1向平臺2過渡的區(qū)域，OCV估計(jì)值存在較大誤差，此處的最大偏差值為20mV。

圖6 OCV測試結(jié)果對比Fig.6 Comparison of open circuit voltage test result

圖7對采用FJKF算法計(jì)算得到的阻抗譜估計(jì)值與傳統(tǒng)電化學(xué)阻抗譜（Electrochemical Impedance Spectroscopy, EIS）測試方法得到的阻抗值進(jìn)行對比。圖7中，由于算法使用的電池模型對電池阻抗譜的中高頻成分做了簡化，因此，本文的阻抗譜估計(jì)值沒有傳統(tǒng)EIS方法測試得到的中高頻信息（圖7中區(qū)域1）。低頻阻抗譜成分與傳統(tǒng)EIS方法的結(jié)果基本吻合，但阻抗值略小。通過對電化學(xué)反應(yīng)機(jī)理的分析，阻抗偏小的原因是電池在經(jīng)歷大電流充放電時(shí)，電池化學(xué)反應(yīng)的動力學(xué)過程復(fù)雜，由于電極反應(yīng)不均勻、Butler-Volmer等動力學(xué)過程會導(dǎo)致阻抗測試結(jié)果與傳統(tǒng)EIS離線測試結(jié)果的偏離。但是該阻抗譜的估計(jì)值在數(shù)值上是對電池動力學(xué)過程的真實(shí)反應(yīng)。

圖7 電化學(xué)阻抗譜測試結(jié)果對比Fig.7 Comparison of EIS test results

3.3 參數(shù)估計(jì)值穩(wěn)定性對比

圖8對本文提出的方法與一階RC電池等效電路模型和DEKF方法[20]的結(jié)果作了對比，F(xiàn)JKF的估計(jì)值（FJKF-OCVe）相對DEKF的估計(jì)值（DEKF-OCVe）更加穩(wěn)定，DEKF-OCVe在數(shù)值上偏小于FJKF-OCVe，基于3.2節(jié)中的OCV的對比分析，F(xiàn)JKF-OCVe更接近OCV真值，因此DEKF-OCVe必然偏小于OCV真值。而DEKF-OCVe在電池處于靜置的狀態(tài)時(shí)，會出現(xiàn)升高并且逐漸接近OCV真值的現(xiàn)象，當(dāng)再次對電池加載波動的電流激勵(lì)之后，DEKF-OCVe則又逐漸地偏離OCV真值，該現(xiàn)象的原因是一階RC模型不能準(zhǔn)確地反映電池和工況的動態(tài)特性。

圖8 算法模型參數(shù)估計(jì)值值穩(wěn)定性對比Fig.8 Comparison of the model parameter stability

通過1.1節(jié)電動汽車運(yùn)行工況分析可知，當(dāng)工況存在波動的電流激勵(lì)時(shí)，電流激勵(lì)的頻率成分非常豐富。（類似圖1中FTP75-Urban-a的頻譜分布情況），當(dāng)電池處于靜置工況后，電流激勵(lì)的主要頻率成分將逐漸向極低頻區(qū)域移動，當(dāng)工況電流恒定為零時(shí)，工況的主頻率成分也接近為零。然而，一階RC模型只能在一段頻率范圍內(nèi)接近于阻抗譜的真值，因此，DEKF算法在自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整過程中，波動電流工況與靜置工況中對應(yīng)的模型參數(shù)OCVe、Ro、Rp、Tau（RC并聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)）存在差異或波動，而無法得到穩(wěn)定的參數(shù)值。而FJKF計(jì)算得到的OCVe、Ro、XW沒有出現(xiàn)明顯的波動現(xiàn)象。由此看出簡化阻抗譜模型可以較準(zhǔn)確地反映磷酸鐵鋰電池的動態(tài)特性，該模型結(jié)合FJKF算法估計(jì)得到的參數(shù)值穩(wěn)定性優(yōu)于一階RC模型及其參數(shù)估計(jì)方法。

3.4 參數(shù)估計(jì)工況適應(yīng)性分析

為了驗(yàn)證算法的工況適應(yīng)性，除了FUDS工況測試之外，下文采用FTP75市區(qū)和市郊的混合工況測試算法的工況適應(yīng)性，F(xiàn)TP75市區(qū)工況包括冷起動、穩(wěn)態(tài)、熱靜置和熱起動四部分，市郊工況為高速工況。數(shù)據(jù)系統(tǒng)采集的電池端電壓UL和負(fù)載電流IL數(shù)據(jù)以及算法的計(jì)算結(jié)果如圖9、圖10所示。

在兩種測試工況下，電池模型參數(shù)能夠迅速跟蹤真值，測試工況在熱靜置、熱起動、高速等狀態(tài)轉(zhuǎn)換時(shí)，模型參數(shù)值沒有出現(xiàn)明顯差異或波動，可以穩(wěn)定反映電池的動態(tài)特性。

圖9 FTP75工況電壓和電流數(shù)據(jù)Fig.9 FTP75ULandILdata

圖10 FJKF算法狀態(tài)和參數(shù)估計(jì)值Fig.10 State and parameter estimation result based on FJKF

4 結(jié)論

根據(jù)動力電池使用工況特性分析、磷酸鐵鋰電池的電化學(xué)阻抗譜特征與等效電路模型對比，本文建立了磷酸鐵鋰電池的簡化電化學(xué)阻抗譜等效電路模型，該模型采用分?jǐn)?shù)階元件——韋伯阻抗元件描述電池的擴(kuò)散極化特性。

根據(jù)已建立的電池簡化電化學(xué)阻抗譜模型和Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微分定義，列寫了該電池模型離散化形式的狀態(tài)方程和系統(tǒng)觀測方程，采用分?jǐn)?shù)階聯(lián)合卡爾曼濾波算法，估算得到磷酸鐵鋰電池的擴(kuò)散極化電壓、開路電壓、歐姆內(nèi)阻以及擴(kuò)散極化參數(shù)，這些參數(shù)可以較準(zhǔn)確地反映電池動態(tài)特性。

該方法與一階RC模型和DEKF參數(shù)估計(jì)方法相比，參數(shù)的穩(wěn)定性高，并且物理意義明確。另外，通過FTP75工況試驗(yàn)可以看出，該方法具有較好的工況適應(yīng)性。

本文提出的模型參數(shù)估計(jì)方法有望用于磷酸鐵鋰動力電池SOC估計(jì)、SOP預(yù)測、SOH估計(jì)等技術(shù)中，進(jìn)而提高電池系統(tǒng)工作過程的安全性、可靠性及有效性。該方法是否能夠適用于其他類型鋰離子動力電池還需要進(jìn)一步驗(yàn)證。

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Online Parameter Estimation of a Simplified Impedance Spectroscopy Model Based on the Fractional Joint Kalman Filter for LiFe PO4Battery

Li Xiaoyu Zhu Chunbo Wei Guo Lu Rengui
（School of Electrical Engineering and Automation Harbin Institute of Technology Harbin 150001 China）

Battery modeling and online battery model parameter estimation are the key technologies of EV battery management system. Based on the battery simplified electrochemical impedance spectroscopy which contains a fractional component, this paper establishes the state transition and systematic observation equations for the nonlinear system of LiFePO4secondary battery. Then, the diffusion polarization voltage and model parameters are estimated online with the fractional joint Kalman filter (FJKF). The experimental results show that, this model can reflect the dynamic characteristics very well, and FJKF parameter estimation algorithm can maintain good accuracy. Meanwhile, the method is suitable for a variety of load conditions. The model parameters obtained by this algorithm have good stability.

LiFePO4battery, fractional battery model, electrochemical impedance spectroscopy, fractional joint Kalman filter

TM912

李曉宇 男，1988年生，博士，研究方向?yàn)閮δ芟到y(tǒng)綜合測試與管理技術(shù)，電池梯級利用技術(shù)。

E-mail: xiaoyu070220202@126.com

朱春波 男，1964年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閮δ芟到y(tǒng)綜合測試與管理技術(shù)、無線電能傳輸技術(shù)。

E-mail: zhuchunbo@hit.edu.cn （通信作者）

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（863計(jì)劃）（2012AA111003），國家自然科學(xué)基金（51277037）和黑龍江省應(yīng)用技術(shù)研究與開發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（GA13A202）資助。

2014-10-17 改稿日期2015-03-02