基于Copula雙變量模擬的CoCo債券定價(jià)

李 平,尹菁華,來(lái) 娜,黃光東

(1.北京航空航天大學(xué)經(jīng)管學(xué)院,北京100191; 2.廣發(fā)證券,廣東廣州510075;3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)信息學(xué)院,北京100080)

基于Copula雙變量模擬的CoCo債券定價(jià)

李 平1,尹菁華2,來(lái) 娜1,黃光東3*

(1.北京航空航天大學(xué)經(jīng)管學(xué)院,北京100191; 2.廣發(fā)證券,廣東廣州510075;3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)信息學(xué)院,北京100080)

用Copula函數(shù)刻畫(huà)公司股價(jià)與核心一級(jí)資本比率(core tier 1 ratio,CTR)的相關(guān)性,然后通過(guò)模擬股價(jià)和CTR,建立了或有可轉(zhuǎn)換債券(CoCo)以及帶期權(quán)條款的或有可轉(zhuǎn)換債券(CoCoCo)的定價(jià)模型.并將模型應(yīng)用于塞浦路斯銀行發(fā)行的CECS(convertible enhanced capital securities)債券,發(fā)現(xiàn)用Copula刻畫(huà)股價(jià)與CTR相關(guān)性的定價(jià)結(jié)果與債券實(shí)際價(jià)格的差異優(yōu)于假設(shè)兩者獨(dú)立時(shí)的結(jié)果.最后結(jié)合國(guó)際上已發(fā)行的CoCo和CoCoCo債券的相關(guān)條款以及我國(guó)銀監(jiān)會(huì)對(duì)于減記債的基本要求,以交通銀行為例設(shè)計(jì)了中國(guó)版的CoCo債券和CoCoCo債券,并依據(jù)所給模型對(duì)它們進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.

CoCo債券;CoCoCo債券;核心一級(jí)資本比率;Clayton Copula

1 引 言

CoCo債券是2008年次貸危機(jī)后出現(xiàn)的新型債券品種,主要被銀行用于補(bǔ)充資本金,對(duì)于銀行系統(tǒng)的穩(wěn)定有重要作用.2009年以來(lái)國(guó)際上已有多家銀行發(fā)行CoCo債券,如勞埃德銀行集團(tuán)(Lloyds BankingGroup),塞浦路斯銀行(The Bank of Cyprus)和西班牙畢爾巴鄂比斯開(kāi)銀行(Banco Bilbao Vizcaya Argentaria)等.CoCoCo債券是在CoCo債券的基礎(chǔ)之上增加了轉(zhuǎn)換期權(quán)條款,轉(zhuǎn)股價(jià)格一般高于當(dāng)前股價(jià),因此當(dāng)銀行經(jīng)營(yíng)良好時(shí),投資者可以獲得超過(guò)普通債券的收益,所以CoCoCo債券的潛在回報(bào)要高于CoCo債券.塞浦路斯銀行于2011–06–02發(fā)行并于2012–12–31觸發(fā)減記條款的CECS是CoCoCo債券的典型代表.

2012年以來(lái),我國(guó)銀監(jiān)會(huì)先后發(fā)布了兩份關(guān)于國(guó)內(nèi)銀行發(fā)行減記債的指導(dǎo)意見(jiàn),允許國(guó)內(nèi)銀行發(fā)行減記債.從其特征來(lái)看,減記債可以看作是中國(guó)版的CoCo債券[1].根據(jù)指導(dǎo)意見(jiàn),五大國(guó)有商業(yè)銀行和興業(yè)、光大、民生、平安等股份制銀行,以及10余家城市商業(yè)銀行和農(nóng)村商業(yè)銀行,均發(fā)行了減記型二級(jí)資本工具,發(fā)行總額超過(guò)4 200億元.平安銀行于2014年3月發(fā)行了國(guó)內(nèi)首只上市交易的減記債.

由于巴塞爾委員會(huì)以及各國(guó)金融監(jiān)管機(jī)構(gòu)都對(duì)CoCo債券的設(shè)計(jì)提出了自己的要求,本文將把研究重點(diǎn)放在CoCo和CoCoCo債券的定價(jià)上.目前對(duì)CoCo債券定價(jià)的相關(guān)研究已經(jīng)比較豐富.Madan等[2]在結(jié)構(gòu)化定價(jià)模型的基礎(chǔ)上使用4個(gè)相互獨(dú)立的Levy過(guò)程同時(shí)對(duì)資產(chǎn)和負(fù)債的收益率進(jìn)行模擬,更接近實(shí)際的同時(shí)也使得模型異常復(fù)雜;Barucci等[3]使用雙時(shí)間段的結(jié)構(gòu)化模型,對(duì)減記(writing down)前后資本構(gòu)成各部分價(jià)值進(jìn)行了分析;Pelger[4]在CoCo債券期限有限以及資產(chǎn)收益率服從跳擴(kuò)散過(guò)程的假設(shè)下對(duì)CoCo債券進(jìn)行了定價(jià);Chen等[5]使用了帶有兩個(gè)跳躍過(guò)程的跳擴(kuò)散模型,分別表示公司特有風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn);Pennacchi等[6]運(yùn)用結(jié)構(gòu)化模型為COERC(call option enhanced reverse convertible)這種帶有看漲期權(quán)的CoCo債券進(jìn)行定價(jià).Yang等[7]給出了結(jié)構(gòu)化模型下資產(chǎn)服從跳擴(kuò)散過(guò)程時(shí)CCS(contingent convertible security)資產(chǎn)價(jià)值的閉式解;Spiegeleer等[8]提出了CoCo債券定價(jià)的股權(quán)衍生品模型及信用衍生品模型,將期權(quán)定價(jià)方法及信用風(fēng)險(xiǎn)度量方法應(yīng)用到CoCo債券定價(jià)中;Brandt等[9]采用信用衍生品方法為CoCo債券定價(jià),計(jì)算出CoCo債券的信用風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià),利用現(xiàn)金流折現(xiàn)公式得到CoCo債券的定價(jià)公式; Cheridito等[10]采用信用衍生品定價(jià)模型,假設(shè)CoCo債券觸發(fā)服從時(shí)變的泊松過(guò)程,從而給出CoCo債券的定價(jià)公式,并在此基礎(chǔ)進(jìn)行CoCo債券的風(fēng)險(xiǎn)分析;Corcuera等[11]應(yīng)用權(quán)益衍生品定價(jià)方法,給出了息票可取消的CoCo債券的定價(jià)公式,結(jié)果表明,息票可取消的CoCo債券可以改善Hillion等[12]認(rèn)為的轉(zhuǎn)換條款會(huì)帶來(lái)的死亡螺旋情況;Veiteberg等[13]提出使用股價(jià)與核心一級(jí)資本比率(CTR)雙變量來(lái)估計(jì)CoCo債券價(jià)格.

國(guó)內(nèi)相關(guān)研究方面,王曉林等[14]針對(duì)市場(chǎng)的不完備性對(duì)CoCo債券進(jìn)行了設(shè)計(jì)和定價(jià),并研究了包含CoCo債券的公司最優(yōu)資本結(jié)構(gòu).秦學(xué)志等[15]用債轉(zhuǎn)股概率刻畫(huà)CoCo債券的觸發(fā)點(diǎn),建立了基于不同觸發(fā)點(diǎn)的CoCo債券的銀行最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)模型.秦學(xué)志等[16]利用二叉樹(shù)模型給出了離散時(shí)間下或有可轉(zhuǎn)債定價(jià)公式,并將其推廣到連續(xù)時(shí)間情形.

由于CoCoCo債券出現(xiàn)得更晚,因此研究文獻(xiàn)很少.Girolamo等[17]首次對(duì)CoCoCo債券進(jìn)行了詳細(xì)介紹和定量分析:在股權(quán)衍生品模型下,假設(shè)股價(jià)波動(dòng)服從Heston模型,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率滿(mǎn)足Hull-White模型,然后對(duì)CoCoCo債券進(jìn)行了定價(jià).Girolamo等認(rèn)為,CoCoCo債券可以給投資者向上的獲利空間,對(duì)投資者的吸引力要優(yōu)于普通的CoCo債券,同時(shí)可以降低銀行的融資成本.

目前已有的關(guān)于CoCo和CoCoCo債券定價(jià)的研究文獻(xiàn)存在的主要問(wèn)題在于,沒(méi)有恰當(dāng)?shù)囟攘抗蓛r(jià)與核心一級(jí)資本比率(CTR)之間的相關(guān)性.結(jié)構(gòu)化模型以及股權(quán)衍生品模型均使用公司的市場(chǎng)價(jià)值來(lái)度量CoCo債券的價(jià)值.但是已有的CoCo債券均使用核心一級(jí)資本比率(CTR)作為減記指標(biāo),而CTR是以財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行計(jì)算的.于是上述三種模型就隱含了市場(chǎng)價(jià)值與CTR高度相關(guān)的假設(shè),而Veiteberg[13]則假設(shè)了股價(jià)與核心資本比率相互獨(dú)立,走向另一個(gè)極端.本文作者通過(guò)對(duì)國(guó)內(nèi)16家上市銀行股價(jià)與核心一級(jí)資本比率的相關(guān)性進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)不同銀行的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值從0.04到0.95不等,因此單個(gè)銀行簡(jiǎn)單地假設(shè)獨(dú)立或高度相關(guān)并不能反映真實(shí)情況.此外,股價(jià)與CTR獨(dú)立的假設(shè)沒(méi)有考慮到二者的尾部相關(guān)性問(wèn)題.當(dāng)危機(jī)出現(xiàn)時(shí),資金會(huì)偏好資本充足率較高的更安全的銀行,這會(huì)帶來(lái)資本充足率指標(biāo)與股價(jià)在極端事件下的正相關(guān)性.CoCo債券的設(shè)計(jì)正是為了應(yīng)對(duì)這種情況的出現(xiàn),因而在考慮減記概率以及CoCo債券的相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)不能忽略資本充足率與股價(jià)的尾部相關(guān)性.

刻畫(huà)變量間尾部相關(guān)性的Copula理論在信用衍生品定價(jià)中有諸多應(yīng)用.Li[18]用Copula函數(shù)刻畫(huà)資產(chǎn)間的違約相關(guān)性;Hull等[19]運(yùn)用因子Copula模型對(duì)NDS(nthto default swaps)進(jìn)行定價(jià);艾春榮等[20]將債券的流動(dòng)性和違約風(fēng)險(xiǎn)及兩種風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)性引入到公司債券定價(jià)中,并用Copula數(shù)刻畫(huà)不同相關(guān)結(jié)構(gòu)下公司債券的收益率和風(fēng)險(xiǎn)變化;周孝華等[21]應(yīng)用Copula函數(shù)處理多元資產(chǎn)間的相關(guān)性;Li等[22]用動(dòng)態(tài)Copula刻畫(huà)了公司資產(chǎn)之間的動(dòng)態(tài)違約相關(guān)性,然后對(duì)BDS(basket default swap)進(jìn)行了定價(jià).

本文引入Copula函數(shù)來(lái)刻畫(huà)核心一級(jí)資本比率CTR與股價(jià)之間的相關(guān)性,并建立CoCo和CoCoCo債券的定價(jià)模型.在實(shí)證研究部分,用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)進(jìn)行最優(yōu)Copula函數(shù)的選取.檢驗(yàn)結(jié)果表明,Clayton Copula與經(jīng)驗(yàn)Copula的擬合效果最好.然后用估計(jì)的參數(shù)和Clayton Copula對(duì)將來(lái)的股價(jià)和CTR進(jìn)行Monte Carlo模擬,并對(duì)塞浦路斯銀行發(fā)行的CoCoCo債券做實(shí)證定價(jià)檢驗(yàn).最后根據(jù)我國(guó)銀監(jiān)會(huì)的要求與金融市場(chǎng)的現(xiàn)狀,以交通銀行為例設(shè)計(jì)了中國(guó)版的CoCo和CoCoCo債券(即減記債),并進(jìn)行數(shù)值定價(jià)計(jì)算.

2 CoCo和CoCoCo債券定價(jià)模型

2.1 核心一級(jí)資本比率(CTR)的邊緣分布

Serjantov[23]以核心一級(jí)資本比率(CTR)為因變量上一期的CTR與均值的差值為自變量進(jìn)行回歸檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)二者具有顯著的負(fù)相關(guān)關(guān)系,而且銀行的CTR具有一定的均值回復(fù)特性.他還發(fā)現(xiàn)CTR的變化值的歷史數(shù)據(jù)具有尖峰厚尾的特性,因此用帶跳躍的Vasicek模型[24]來(lái)刻畫(huà)CTR的變化率x(t)如下

其中αC是CTR的均值回復(fù)參數(shù),θC是CTR的目標(biāo)值,σC1是x(t)的波動(dòng)率,W(t)是維納過(guò)程,JC(t)表示CTR變化率x(t)的跳躍部分,用于刻畫(huà)CTR的厚尾,NC(t)是強(qiáng)度為λC的泊松過(guò)程,是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量.

假設(shè)在一個(gè)時(shí)間段中最多只有一次跳躍發(fā)生,即N(t)=1,并參考Ball等[25],假設(shè)在[t,t+dt]時(shí)間段中發(fā)生跳躍的概率Q=λCdt,不發(fā)生跳躍的概率為1-Q.

2.2 股價(jià)的邊緣分布

刻畫(huà)股價(jià)收益率分布的模型有很多,Heston[26]提出的隨機(jī)波動(dòng)率模型由于較好地平衡了度量誤差與計(jì)算速度,在期權(quán)定價(jià)中應(yīng)用廣泛.為了更好地描述股價(jià)收益率厚尾的特征,本文在Heston模型中加入跳躍成分.因此,股價(jià)的變化可表示為

其中μS1與v(t)分別是股價(jià)的期望收益率和方差,z1(t)和z2(t)是相關(guān)系數(shù)為ρS的兩個(gè)維納過(guò)程,JS(t)表示股價(jià)的跳躍部分,并且z1(t)與JS(t)相互獨(dú)立.這里跳躍發(fā)生的次數(shù)NS(t)是強(qiáng)度為λS的泊松過(guò)程,是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量;與刻畫(huà)CTR的變動(dòng)相似,這里仍假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)最多發(fā)生一次跳躍,跳躍的幅度服從正態(tài)分布項(xiàng)表示在正常的價(jià)格波動(dòng)下股價(jià)的預(yù)期外收益,JS(t)表示股價(jià)非正常波動(dòng)下的收益.

2.3 Copula函數(shù)的選擇

本文采用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)進(jìn)行最優(yōu)Copula函數(shù)的選取.Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)兩樣本是否服從相同的分布,此處用于檢驗(yàn)擬合出的Copula與經(jīng)驗(yàn)Copula是否為同一分布,并用檢驗(yàn)的P值作為不同擬合模型的判別標(biāo)準(zhǔn):P值越大,說(shuō)明擬合效果越好,然后用極大似然法估計(jì)Copula的參數(shù).

2.4 CoCo和CoCoCo債券定價(jià)模型

Serjantov考慮了CoCo債券同時(shí)發(fā)生減記和違約的情況,并使用Copula函數(shù)刻畫(huà)二者之間的相關(guān)性.然而就CoCo債券的作用來(lái)看,它的目的主要是為高等級(jí)債權(quán)人提供損失的緩沖,保障銀行經(jīng)營(yíng)的穩(wěn)健.因此在實(shí)際發(fā)行中,Basel銀行監(jiān)管委員會(huì)及我國(guó)銀監(jiān)會(huì)都要求在減記條款中加入監(jiān)管層指定的條款,即當(dāng)監(jiān)管機(jī)構(gòu)認(rèn)定銀行陷入危機(jī)需要救助時(shí),可以要求CoCo債券進(jìn)行減記.基于此,假設(shè)減記事件始終發(fā)生在銀行違約之前.因此,一個(gè)本金為N,到期日為T(mén)的CoCo債券的價(jià)格為

其中ti,i=1,2,...,n為付息時(shí)間,ci為息票,B(ti)、B(T)及B(t,t+Δt)為貼現(xiàn)因子,Δt為兩次付息之間的時(shí)間間隔,Ptr和Pntr分別表示CoCo債券發(fā)生和未發(fā)生減記的概率,Rtr表示減記時(shí)的回收額,在數(shù)值上等于減記時(shí)得到的股票的價(jià)值與減記債票面價(jià)值的比值.由上式可以看出,CoCo債券的價(jià)值由未減記時(shí)普通債券的息票和本金的現(xiàn)值及減記時(shí)回收的本金或轉(zhuǎn)換出的股票的現(xiàn)值兩部分構(gòu)成.

特別地,CoCoCo債券的理論價(jià)格為

其中Pntr,nc、Ptr,nc及Pntr,c分別表示CoCoCo債券既未減記也未轉(zhuǎn)股的概率、發(fā)生減記但未行使轉(zhuǎn)股權(quán)的概率及未減記但發(fā)生轉(zhuǎn)股的概率,Rtr,nc與Rntr,c分別表示減記但未行使轉(zhuǎn)股權(quán)和行使轉(zhuǎn)股權(quán)但未減記時(shí)的回收額.

由上式可知,CoCoCo債券的價(jià)值由三部分構(gòu)成:CoCoCo債券既未減記也未轉(zhuǎn)股時(shí)作為普通債券的息票和本金的現(xiàn)值、減記時(shí)回收的本金或轉(zhuǎn)換出的股票的現(xiàn)值、以及根據(jù)轉(zhuǎn)換期權(quán)條款轉(zhuǎn)換成的股票的現(xiàn)值.由于轉(zhuǎn)股權(quán)的行使對(duì)應(yīng)銀行經(jīng)營(yíng)良好的情況,而減記對(duì)應(yīng)了銀行經(jīng)營(yíng)陷入危機(jī)的情況,因而這里沒(méi)有考慮二者同時(shí)發(fā)生的情況.

3 關(guān)于塞浦路斯銀行CECS的實(shí)證定價(jià)

塞浦路斯銀行于2011–06–02發(fā)行,2011–06–10上市交易,并于2012–12–31觸發(fā)減記條款的CECS(convertible enhanced capital securities)是到目前為止唯一觸發(fā)減記條款的CoCoCo債券,因此本節(jié)選取該產(chǎn)品作為實(shí)證研究對(duì)象來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷亩▋r(jià)效果.實(shí)證研究中使用了塞浦路斯銀行的股價(jià)、銀行核心一級(jí)資本比率以及減記債的相關(guān)歷史數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)來(lái)源于Bloomberg終端.由于CECS的條款較為復(fù)雜,本文模型不能詳盡地考慮所有條款,因而做了以下簡(jiǎn)化假設(shè):由于CECS的息票取消條款以銀行或中央銀行的決定作為判斷標(biāo)準(zhǔn),很難使用定量模型進(jìn)行刻畫(huà),因此模型中未考慮這一條款對(duì)價(jià)格的影響.單從這一點(diǎn)考慮,模型的理論價(jià)格應(yīng)該高于實(shí)際價(jià)格.

為了專(zhuān)注于CTR與股票價(jià)格之間的Copula相關(guān)性,模型假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù).考慮到CECS使用6個(gè)月Euribor(歐元銀行同業(yè)拆借利率)作為基準(zhǔn)利率,因此模型中將使用定價(jià)日前一段時(shí)間6個(gè)月Euribor作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.計(jì)算減記概率時(shí),在用蒙特卡羅法模擬出的CTR路徑的基礎(chǔ)上,根據(jù)CECS的減記條款“核心一級(jí)資本比率CTR小于5%”計(jì)算出減記概率.

CECS是無(wú)期限的CoCoCo債券,即若CECS沒(méi)有減記或行權(quán),CECS將一直存續(xù).這里應(yīng)用模型時(shí)只對(duì)價(jià)格估計(jì)日之后的40年時(shí)間進(jìn)行模擬,若在模擬結(jié)果中40年后仍未減記或行權(quán),則假設(shè)CoCoCo債券按照減記條款轉(zhuǎn)換為普通股.

CECS條款中減記時(shí)的轉(zhuǎn)換價(jià)格為減記日前5日按成交量加權(quán)平均的股票價(jià)格,由于交易量數(shù)據(jù)難以獲得,所以在估計(jì)時(shí)使用減記日前5日收盤(pán)價(jià)的簡(jiǎn)單平均作為減記的轉(zhuǎn)換價(jià)格.

在考慮轉(zhuǎn)換期權(quán)的行使時(shí)間時(shí),假設(shè)股票支付的股利為0.在每一個(gè)行權(quán)期間內(nèi),轉(zhuǎn)換期權(quán)與美式期權(quán)十分相似.因?yàn)閷?duì)于標(biāo)的為不支付股利股票的美式看漲期權(quán),不應(yīng)提前行使期權(quán),所以假設(shè)只在每個(gè)行權(quán)期間的最后一天行使期權(quán).進(jìn)一步假設(shè),若在某個(gè)行權(quán)期間的最后一天轉(zhuǎn)換期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值大于0,即股價(jià)高于行權(quán)價(jià)格,持有人將行使期權(quán),而不會(huì)等到下一個(gè)行權(quán)期.

3.1 模型參數(shù)估計(jì)

首先基于歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),在不同參數(shù)下分別模擬過(guò)去一段時(shí)間的股價(jià)及CTR,并計(jì)算與歷史數(shù)據(jù)的歐氏距離,距離最小時(shí)的參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù).利用此方法得到最優(yōu)參數(shù)估計(jì)值如表1和表2.隨后應(yīng)用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)選擇最優(yōu)Copula,備選的Copula包括高斯Copula,t-Copula,Clayton Copula, Frank Copula和Gumbel Copula,檢驗(yàn)結(jié)果如表3.根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)Clayton Copula是最優(yōu)選擇.最后用極大似然估計(jì)法得到Clayton Copula的參數(shù)θCl為1.116.

表1 CTR邊緣分布的參數(shù)估計(jì)Table 1 Parameter estimation for CTR’s marginal distribution

表2 股價(jià)邊緣分布的參數(shù)估計(jì)Table 2 Parameter estimation for stock return’s marginal distribution

表3 不同Copula的Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 Kolmogorov-Smirnov testresults

3.2 實(shí)證定價(jià)結(jié)果和敏感度分析

本節(jié)對(duì)塞浦路斯銀行的CECS進(jìn)行實(shí)證定價(jià),然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行敏感度分析.

3.2.1 實(shí)證定價(jià)結(jié)果

根據(jù)CECS的條款,該CECS的面值為100,票面利率為前10次付息按6.5%固定利率,之后按照6個(gè)月Euribor+3%作為年化利率,每6個(gè)月更新一次.首次付息日為2011–12–31,然后每年6月30日及12月31日付息.減記條款為下列兩項(xiàng)之一:1)CTR(實(shí)行Basel III之前)或普通股權(quán)一級(jí)資本比率(實(shí)行Basel III之后)低于5%;2)塞浦路斯中央銀行認(rèn)定塞浦路斯銀行不能滿(mǎn)足資本充足率要求.強(qiáng)制轉(zhuǎn)換價(jià)格使用觸發(fā)減記前5日的平均收盤(pán)價(jià),但不高于3.3 EUR,且不低于1.0 EUR.行權(quán)價(jià)格為3.30 EUR.

在參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上,先應(yīng)用Clayton Copula和式(1),式(2)模擬塞浦路斯銀行的將來(lái)股價(jià)和CTR,進(jìn)而根據(jù)減記條款計(jì)算減記概率和行權(quán)概率,然后由式(4)計(jì)算CECS的價(jià)格,計(jì)算結(jié)果如表4及圖1所示.為了比較,同時(shí)也給出了假設(shè)CTR與股價(jià)獨(dú)立時(shí)的定價(jià)結(jié)果.

表4 各季度末不同相關(guān)性假設(shè)下塞浦路斯銀行CECS的定價(jià)結(jié)果Table 4 Pricing results under different correlation assumption

圖1 不同相關(guān)性假設(shè)下塞浦路斯銀行的CECS各季度末定價(jià)結(jié)果對(duì)比Fig.1 Pricing results of CECS under different correlation assumptions

由圖1可以看出,用Clayton Copula度量CTR和股價(jià)相關(guān)性時(shí)得到的價(jià)格要明顯低于假設(shè)二者獨(dú)立時(shí)的CECS價(jià)格,其主要原因在于,相比于假設(shè)二者相互獨(dú)立,使用Clayton Copula度量相關(guān)性時(shí)更好地估計(jì)了兩者的尾部風(fēng)險(xiǎn),因此估計(jì)出的減記概率要高出很多,而兩種假設(shè)下對(duì)于行權(quán)概率的估計(jì)結(jié)果差別不大.

為了更好地比較兩種相關(guān)性假設(shè)下的計(jì)算結(jié)果,在表5中給出了塞浦路斯銀行CECS的理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的百分比偏差,如下表5.由表5可以看出,與市場(chǎng)價(jià)格相比,假設(shè)獨(dú)立時(shí)的理論價(jià)格相對(duì)高估:除2011–12–31對(duì)價(jià)格的估計(jì)比較準(zhǔn)確外,其余各點(diǎn)與市場(chǎng)價(jià)格的偏差均在20%以上.由此可以認(rèn)為,假設(shè)股價(jià)與CTR相互獨(dú)立時(shí)估計(jì)出的理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格偏差過(guò)大,不能反映CECS的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)水平.

使用Clayton Copula計(jì)算出的理論價(jià)值在多數(shù)時(shí)間與市場(chǎng)價(jià)格比較接近,而2011–12–31及2012–03–31兩次估計(jì)的理論價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格的偏離較大,在30%以上.造成這一現(xiàn)象的原因在于,在這段時(shí)間CTR出現(xiàn)了小幅上漲,而股價(jià)跌幅較大,二者的走勢(shì)出現(xiàn)了背離.CECS的市場(chǎng)價(jià)格在這段時(shí)間受CTR的變動(dòng)影響較大,并沒(méi)有出現(xiàn)大幅下跌.當(dāng)使用Clayton Copula考慮了CTR與股價(jià)之間的相關(guān)性時(shí),股價(jià)的大幅下跌增大了模型對(duì)減記概率的估計(jì),使得模型的理論價(jià)格低于市場(chǎng)價(jià)格.Copula模型由于使用股價(jià)數(shù)據(jù)獲得了市場(chǎng)對(duì)塞浦路斯銀行未來(lái)的悲觀預(yù)期,早于其他投資者預(yù)判了CECS的減記風(fēng)險(xiǎn),而市場(chǎng)價(jià)格過(guò)于依賴(lài)于財(cái)報(bào)中發(fā)布的CTR數(shù)據(jù),低估了減記風(fēng)險(xiǎn).

表5 兩種相關(guān)性假設(shè)下塞浦路斯銀行CECS的理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的百分比偏差Table 5 Bias between theoretical and market prices under two cases

3.2.2 模型對(duì)參數(shù)的敏感性分析

本節(jié)對(duì)定價(jià)模型中的參數(shù)進(jìn)行敏感性分析,主要是對(duì)最優(yōu)參數(shù)值上下變動(dòng)50%進(jìn)行分析.圖2與圖3為CECS實(shí)證定價(jià)結(jié)果以及減記概率對(duì)于θS,ρS,θC和θCl四個(gè)參數(shù)的敏感性分析結(jié)果.可以看出,定價(jià)結(jié)果以及減記概率對(duì)θS和ρS的變動(dòng)均是敏感的,而對(duì)θC和θCl的變動(dòng)并不敏感,其他未畫(huà)出圖像的參數(shù)與θC和θCl結(jié)果類(lèi)似,敏感性不高.

圖2 塞浦路斯銀行CECS的理論價(jià)格對(duì)各參數(shù)的敏感性分析Fig.2 Sensitivity analysis of CECS’theoretical price to parameters

圖3 塞浦路斯銀行CECS的減記概率對(duì)各參數(shù)的敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis of CECS’exercise probability to parameters

θS表示股價(jià)波動(dòng)率的長(zhǎng)期回復(fù)均值,股價(jià)的波動(dòng)率從長(zhǎng)期來(lái)看圍繞這一均值波動(dòng).θS減小(增大)會(huì)使得估計(jì)出的股價(jià)出現(xiàn)大幅波動(dòng)的概率減小(增大).由于在發(fā)行日塞浦路斯銀行的CTR距離減記值較遠(yuǎn),股價(jià)波動(dòng)率的降低也造成了CTR估計(jì)值的波動(dòng)率降低,使得減記概率大幅下降.因此在θS減小時(shí)會(huì)使得模型估計(jì)的價(jià)格變高.

ρS反映的是股價(jià)率波動(dòng)率與股價(jià)收益率之間的相關(guān)性.由式(2),ρS增大(減小)時(shí),股價(jià)收益率波動(dòng)率與股價(jià)收益率產(chǎn)生同向變動(dòng)的概率增大(減小),這使得股價(jià)收益率獲得正向大幅波動(dòng)和較小波動(dòng)的概率增大(減小),這意味著尖峰厚尾特征更加明顯(不明顯),并且正向的厚尾要大于負(fù)向的厚尾.因此模型估計(jì)減記概率隨ρS增大而減小,估計(jì)價(jià)格隨ρS增大而增大.

這里的敏感性分析結(jié)果與3.2.1節(jié)的實(shí)證定價(jià)分析結(jié)果一致,即定價(jià)結(jié)果受到股價(jià)的影響較大,而受到CTR變動(dòng)的影響較小.這也是股價(jià)與CTR出現(xiàn)走勢(shì)背離時(shí)模型定價(jià)結(jié)果與市場(chǎng)價(jià)格出現(xiàn)背離的原因.

4 中國(guó)版CoCo與CoCoCo債券的設(shè)計(jì)與定價(jià)

3.2 節(jié)選取塞浦路斯銀行發(fā)行的CECS作為實(shí)證研究對(duì)象,檢驗(yàn)了本文模型的定價(jià)效果,并進(jìn)行了模型的參數(shù)的敏感性分析.這一節(jié)將借鑒國(guó)際上CoCo債券與CoCoCo債券的發(fā)行經(jīng)驗(yàn),并結(jié)合國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的實(shí)際情況,進(jìn)行中國(guó)版CoCo和CoCoCo債券(減記債)的設(shè)計(jì)與定價(jià),計(jì)算方法與實(shí)證定價(jià)中使用的方法相同.

雖然平安銀行于2014年3月發(fā)行了國(guó)內(nèi)首只上市交易的減記債,但該減記債的設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單,沒(méi)有使用CTR作為減記指標(biāo),因此不將其作為研究對(duì)象,而是結(jié)合國(guó)際上已發(fā)行的CoCo和CoCoCo債券的條款以及中國(guó)銀監(jiān)會(huì)對(duì)減記債的要求,設(shè)計(jì)一款新的銀行減記債,并對(duì)其進(jìn)行定價(jià).

4.1 中國(guó)版CoCo和CoCo Co債券條款設(shè)計(jì)

表6給出了參考國(guó)際上已發(fā)行的CoCo和CoCoCo債券的相關(guān)條款,以及銀監(jiān)會(huì)對(duì)于減記債的基本要求設(shè)計(jì)的一款中國(guó)交通銀行CoCoCo債券(減記債).該表主要包括三部分:基本條款、減記條款和期權(quán)轉(zhuǎn)換條款.如果沒(méi)有第三部分的期權(quán)轉(zhuǎn)換條款,該債券就是CoCo債券.假設(shè)該減記債為其他一級(jí)資本工具的監(jiān)管范圍,設(shè)定減記事件時(shí)直接使用了銀監(jiān)會(huì)的要求,而沒(méi)有加入更多的減記條件.

表6 中國(guó)交通銀行CoCoCo債券條款設(shè)計(jì)Table 6 Key terms of CBC’s CoCo and CoCoCo bonds

在銀行的選擇標(biāo)準(zhǔn)上,本文選取市場(chǎng)化程度相對(duì)較高且在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)有一定影響力的上市銀行.交通銀行是中國(guó)第一家全國(guó)性的國(guó)有股份制商業(yè)銀行,已在香港聯(lián)交所和上海證券交易所兩地上市,是國(guó)內(nèi)最大的股份制銀行.

在設(shè)定轉(zhuǎn)換期權(quán)條款時(shí),參考中國(guó)工商銀行和中國(guó)銀行發(fā)行的可轉(zhuǎn)債相關(guān)條款,使用交通銀行過(guò)去3年歷史價(jià)格的75%分位數(shù)作為行權(quán)價(jià)格,發(fā)行3年后可行使轉(zhuǎn)換期權(quán),并且每年6月及12月最后一個(gè)交易日為期權(quán)的行權(quán)日.由于不發(fā)放股利的美式看漲期權(quán)不應(yīng)該提前行權(quán),而我國(guó)股市的紅利發(fā)放并不在6月和12月,因而行權(quán)日是6月和12月整月還是最后一個(gè)交易日本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別.在票面利率的設(shè)定上,由于在實(shí)際發(fā)行中一般是招標(biāo)發(fā)行,即票面利率由市場(chǎng)決定,因此將對(duì)不同的票面利率進(jìn)行試算,然后計(jì)算出減記債平價(jià)發(fā)行的票面利率.

4.2 參數(shù)估計(jì)

下面用交通銀行上市以來(lái)的股價(jià)數(shù)據(jù)及財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)對(duì)交通銀行的CTR和股價(jià)的邊緣分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì),數(shù)據(jù)來(lái)源于萬(wàn)得數(shù)據(jù)庫(kù),估計(jì)結(jié)果如表7和表8所示.然后用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)來(lái)選擇最優(yōu)Copula,結(jié)果如表9.檢驗(yàn)結(jié)果顯示,Clayton Copula的擬合效果最好,與第3節(jié)的實(shí)證結(jié)果一致.θCl的極大似然估計(jì)值為0.033 5.

表7 交通銀行CTR的邊緣分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 7 Parameter estimation for the CTR’s marginal distribution

表8 交通銀行股價(jià)的邊緣分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 8 Parameter estimation for the stock return’s marginal distribution

表9 不同Copula下的Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)結(jié)果Table 9 Kolmogorov-Smirnov test results

4.3 交通銀行CoCo和CoCoCo債券定價(jià)

這一部分將在不同票面利率下,計(jì)算4.1節(jié)中設(shè)計(jì)的交通銀行CoCo和CoCoCo債券的價(jià)格.假設(shè)減記債的面值為100元,票面利率為3%,選用最新一日(2014–03月–13)的國(guó)債收益率曲線(xiàn)作為定價(jià)中的貼現(xiàn)率,并假設(shè)收益率曲線(xiàn)在減記債持續(xù)期內(nèi)不發(fā)生變化.

先用4.2節(jié)中估計(jì)的參數(shù)和Clayton Copula,對(duì)交通銀行的將來(lái)股價(jià)和CTR進(jìn)行10萬(wàn)次Monte Carlo模擬,然后根據(jù)模型路徑和減記事件的設(shè)定得到減記概率為30.2%,行權(quán)概率為25.3%,預(yù)期持續(xù)期為2 208 d.進(jìn)而分別由公式(3)和(4)得到票面利率為3%時(shí)所設(shè)計(jì)的交通銀行CoCo和CoCoCo債券的理論價(jià)格分別為52.5元和107.3元.

由于票面利率的變動(dòng)并不影響減記概率、行權(quán)概率以及預(yù)期持續(xù)期,因而在計(jì)算不同票面利率下的減記債價(jià)格時(shí)沒(méi)有再進(jìn)行更多的Monte Carlo模擬,而是在3%票面利率下的理論價(jià)格的基礎(chǔ)上,用息票的預(yù)期折現(xiàn)價(jià)值對(duì)理論價(jià)格進(jìn)行調(diào)整.在持續(xù)期為2 208 d時(shí),1%息票的折現(xiàn)值為5.51元.這樣可以得到CoCo和CoCoCo債券平價(jià)發(fā)行時(shí)的票面利率分別為10.30%和1.68%.

表10給出了對(duì)于是否考慮轉(zhuǎn)換期權(quán)的交通銀行減記債(分別對(duì)應(yīng)于CoCo債券和CoCoCo債券)的計(jì)算結(jié)果,即CoCoCo債券包含表6中的全部條款,CoCo債券包含基本條款和減記條款兩部分.

表10 交通銀行CoCo和CoCoCo債券的計(jì)算結(jié)果比較Table 10 Pricing results for CBC’s CoCo and CoCoCo bonds

因?yàn)镃oCoCo債券比普通的可轉(zhuǎn)債多了不利于債券持有者的減記條款,而比CoCo債券多了有利于債券持有者的期權(quán)轉(zhuǎn)換條款,所以從理論上講,CoCoCo債券的票面利率應(yīng)該高于同一銀行發(fā)行的可轉(zhuǎn)債的票面利率,而低于同一銀行發(fā)行的CoCo債券的票面利率,而CoCo債券的票面利率應(yīng)高于同一銀行發(fā)行的普通債券.由表10可以看出,模型估計(jì)的CoCoCo債券票面利率(1.68%)高于當(dāng)前市場(chǎng)上上市銀行可轉(zhuǎn)債的平均票面利率(1.03%),而低于模型估計(jì)的CoCo債券票面利率(10.3%);與此同時(shí),模型估計(jì)的CoCo債券票面利率(10.3%)高于交通銀行普通債券的平均利率(5.62%),與理論預(yù)期相符.從以上對(duì)比可知,CoCoCo債券的利率要遠(yuǎn)低于普通債券及CoCo債券.

可以認(rèn)為,CoCoCo型減記債在為銀行補(bǔ)充資本金的同時(shí),還可以以較低成本進(jìn)行融資,而CoCo債券的發(fā)行將給銀行帶來(lái)較大的利息支出壓力.從這點(diǎn)來(lái)看,發(fā)行CoCoCo債券將是比CoCo債券更好的選擇.這里對(duì)于資金成本的討論僅為初步討論,并沒(méi)有將轉(zhuǎn)換期權(quán)成本以及不同到期期限對(duì)利率的影響考慮進(jìn)來(lái).

5 結(jié)束語(yǔ)

本文應(yīng)用Clayton Copula對(duì)股價(jià)與CTR兩個(gè)變量間的相關(guān)性進(jìn)行了刻畫(huà),建立了CoCo和CoCoCo債券的定價(jià)模型,然后分別對(duì)塞浦路斯銀行的CECS以及所設(shè)計(jì)的中國(guó)交通銀行減記債進(jìn)行了定價(jià)和敏感度分析.

以往的研究認(rèn)為,由于CTR數(shù)據(jù)頻率低并且易人為操縱,CTR對(duì)未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)精確度比股價(jià)數(shù)據(jù)要差很多.使用Copula函數(shù)將兩變量聯(lián)系起來(lái)為CTR數(shù)據(jù)的使用帶來(lái)以下優(yōu)點(diǎn):一方面可以用較精確的股價(jià)數(shù)據(jù)對(duì)CTR的估計(jì)進(jìn)行修正,另一方面,當(dāng)CTR沒(méi)有新數(shù)據(jù)到達(dá)時(shí),可以利用股價(jià)的變動(dòng)將市場(chǎng)觀點(diǎn)考慮到對(duì)減記概率的估計(jì)中來(lái).

實(shí)證結(jié)果顯示,使用Copula刻畫(huà)股價(jià)與CTR之間的相關(guān)性得到的定價(jià)結(jié)果明顯好于假設(shè)二者獨(dú)立時(shí)的結(jié)果,并且當(dāng)CTR與股價(jià)走勢(shì)出現(xiàn)背離時(shí),使用Copula刻畫(huà)相關(guān)性可以提前預(yù)判銀行的風(fēng)險(xiǎn),而市場(chǎng)價(jià)格則過(guò)于看重減記指標(biāo)CTR的變動(dòng),低估了當(dāng)時(shí)的減記風(fēng)險(xiǎn).

在數(shù)值分析中,使用交通銀行的數(shù)據(jù)進(jìn)行了虛擬發(fā)行定價(jià).結(jié)果顯示,CoCoCo債券由于有獲得嵌入的期權(quán)收益的可能性,使得其票面利率要低于普通債券.這樣使銀行在獲得資本金的同時(shí)減少了利息支出的壓力,而CoCo債券的票面利率則超過(guò)10%,對(duì)銀行造成了較大的利息支出壓力.因此,從銀行角度來(lái)看CoCoCo型減記債是更好地選擇.

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CoCo bonds pricing based on Copulas bivariate simulation

Li Ping1,Yin Jinghua2,Lai Na1,Huang Guangdong3*
(1.School of Economics and Management,Beihang University,Beijing 100191,China; 2.Guangfa Securities,Guangzhou 510075,China 3.School of Science,China University of Geosciences(Beijing),Beijing 100191,China)

The correlation of stock price and core tier 1 ratio(CTR)is described by using a copula function. By simulating the stock price and CTR,the pricing models of CoCo bonds and CoCoCo bonds are established. The empirical study on the CECS(convertible enhanced capital securities)issued by Bank of Cyprus shows that the pricing results under the copula dependence structure are better than those assuming independent. Finally,combining with the relevant provisions of existing international CoCo and CoCoCo bonds and the basic requirements of China Banking Regulatory Commission for write-down debts,the Chinese version of CoCo and CoCoCo bonds for the Bank of Communications are designed as exsamples,and the numerical calculation based on the given pricing model is implemented.

CoCo bond;CoCoCo bond;core tier 1 capital ratio;Clayton Copula

TP273

A

1000-5781(2016)06-0772-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.06.006

李 平(1972—),女,湖北南漳人,博士,教授,金融工程,Email:liping124@buaa.edu.cn;

尹菁華(1987—),男,遼寧撫順人,碩士,投資經(jīng)理助理,金融工程,Email:yinjinghua@gf.com.cn;

來(lái) 娜(1984—),女,山西臨汾人,碩士生,金融工程,Email:18810833006@163.com;

黃光東(1971—),男,湖北宜城人,博士,副教授,應(yīng)用數(shù)學(xué),Email:gdhuang@cugb.edu.cn.

2016-01-07;

2016-07-25.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71271015;71571008);中央高?；A(chǔ)科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2652013106).

*通信作者