對話引導(dǎo)探索 過程彰顯主體
——以“勾股定理的逆定理”的教學(xué)為例

陳 鋒（江蘇省無錫市太湖格致中學(xué)）

張杭嫣（江蘇省無錫市水秀中學(xué)）

對話引導(dǎo)探索 過程彰顯主體
——以“勾股定理的逆定理”的教學(xué)為例

陳 鋒（江蘇省無錫市太湖格致中學(xué)）

張杭嫣（江蘇省無錫市水秀中學(xué)）

數(shù)學(xué)課堂注重引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等探究過程；注重師生自然地對話與互動(dòng)，促使學(xué)生的思維得以層層展開與深入，進(jìn)而積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟重要的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展終身學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)觀念.結(jié)合“勾股定理的逆定理”一節(jié)的課堂教學(xué)進(jìn)行深入地探究和思考，以期對教師教學(xué)有所幫助.

對話引導(dǎo)；探索研究；數(shù)學(xué)思想

一、教學(xué)背景

勾股定理，是數(shù)學(xué)史上一顆最璀璨的明珠，無論是中國人引以為傲的“勾三股四弦五”，還是聞名世界的“畢達(dá)哥拉斯定理”，都是數(shù)學(xué)史中最珍貴的瑰寶．在一次市級的賽課比賽中，當(dāng)筆者知道拿到的比賽課題為蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第三章第二節(jié)“勾股定理的逆定理”后，一種失望和懊惱的情緒油然而生，為什么不是“勾股定理”呢？然而，通過認(rèn)真研讀教材、精心設(shè)計(jì)課堂及反復(fù)地思考斟酌之后，筆者才發(fā)現(xiàn)，勾股定理的逆定理也是一顆閃耀著光芒的珍珠.在內(nèi)容上，勾股定理的逆定理是學(xué)生在掌握勾股定理的相關(guān)結(jié)論后，從逆命題的角度對三角形的三邊關(guān)系與三角形的形狀之間的聯(lián)系做進(jìn)一步探究，通過正、逆兩個(gè)角度的互相轉(zhuǎn)化，學(xué)生能進(jìn)一步加深對勾股定理的理解與認(rèn)識．在思想方法上，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察、猜想去經(jīng)歷探索勾股定理逆定理的過程，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展終身學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)觀念．此外，感受用構(gòu)造法證明勾股定理逆定理的過程，體會(huì)在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、歸納等重要的數(shù)學(xué)方法．下面，筆者就以賽課過程中的一個(gè)片斷摘錄及賽課后的教學(xué)思考來具體談?wù)劚竟?jié)課所帶來的思考與感悟．

二、教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)闡述

教學(xué)目標(biāo)：（1）充分經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等勾股定理的逆定理的得出活動(dòng)過程，掌握勾股定理的逆定理.

（2）理解命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系.

（3）感悟構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想，樹立大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神.

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷勾股定理逆定理的得出過程，掌握勾股定理的逆定理.

教學(xué)難點(diǎn)：用對話引導(dǎo)采用構(gòu)造法突破輔助線.

三、教學(xué)片斷摘錄

1.命題引入，感受互逆

師生共同復(fù)習(xí)勾股定理，即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

師：你能說出勾股定理的逆命題嗎？

師生共同整理出勾股定理的逆命題，即如果一個(gè)三角形中兩條較短邊的平方和等于最長邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．

師：你覺得這個(gè)逆命題正確嗎？

學(xué)生一時(shí)無法確定．

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)完勾股定理，從數(shù)學(xué)本身的特質(zhì)出發(fā)，自然引發(fā)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，即勾股定理的逆命題．這樣開門見山的做法，既讓學(xué)生快速接觸主題，同時(shí)又理清了本節(jié)課與前一節(jié)課——勾股定理之間的關(guān)系，為后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)．

2.引導(dǎo)操作，感知結(jié)論

從埃及人的繩結(jié)問題入手，初步感知結(jié)論的正確性．

師：今天我們將沿著古人的足跡，繼續(xù)我們的探索之路，古人用了繩子這一生活實(shí)物探索，今天的數(shù)學(xué)課堂上我們將借助于直尺、圓規(guī)等數(shù)學(xué)工具開展深入探究．

試驗(yàn)探究：

（1）6，8，10和5，12，13這兩組數(shù)滿足勾股定理的逆命題所需要的條件嗎？

（2）分別以6 cm，8 cm，10 cm和5 cm，12 cm，13 cm為三邊畫兩個(gè)三角形，它們是直角三角形嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生一時(shí)無法判斷的基礎(chǔ)上教師適時(shí)用古埃及人畫直角的方法引導(dǎo)學(xué)生猜想——三角形三邊滿足什么條件下可以判定一個(gè)三角形是直角三角形？為學(xué)生的探究提供了嘗試的入手點(diǎn)，讓學(xué)生沿著古人的足跡，從畫圖開始，通過兩組具體數(shù)據(jù)的實(shí)際操作，初步感知直觀結(jié)論，即如果△ABC的三邊滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．

3.嚴(yán)格證明，總結(jié)定理

師：要判斷一個(gè)命題是正確的，只靠兩個(gè)實(shí)例能否確認(rèn)？

生：不能，要判斷一個(gè)命題是正確的必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明．

師：太棒了，讓我們一起開始證明之旅．

師：已知：如圖1，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，求證：∠C=90°．

圖1

圖2

學(xué)生陷入沉默，無法入手．

師：拿到一個(gè)幾何證明題，我們一般是從哪里入手？

生1：從已知條件入手．

師：從已知的AC2+BC2=AB2，你能想到什么呢？

生2：想到勾股定理．若△ABC是直角三角形，可以得到AC2+BC2=AB2．

師：那現(xiàn)在已知條件中的△ABC是直角三角形嗎？

生3：不是，是要我們證明它是直角三角形．

師：那就是說為了要用已知條件，我們最好有一個(gè)直角三角形，而這個(gè)直角恰好又是求證中的結(jié)論，已知和求證都指向了同一個(gè)集中點(diǎn)，你看出是什么了嗎？

生3：要有直角．

師：對了，要有一個(gè)直角，題目中有嗎？

生3：沒有．

師:那怎么辦呢?

生3：畫一個(gè)就好了．

師：好，聽你的．作∠D=90°，直角有了，接下來做什么？

生4：想辦法使用已知條件AC2+BC2=AB2．

師：怎么使用呢？

生4：用圓規(guī)截?。ㄉ?上黑板板演操作）如圖2，過點(diǎn)D截取DE=AC，DF=BC，EF=AB．

生5：不對，截取完DE=AC，DF=BC之后EF就已經(jīng)產(chǎn)生了，不用再截取了,只需要連接EF就可以．

師：好極了！現(xiàn)在出現(xiàn)在我們眼前的圖形讓你想到了什么？

生6：想到全等三角形．

師：說出證明全等需要的條件．

生6：DE=AC，DF=BC．

師：夠了嗎？

生6：還有EF=AB．

師：你怎么得到EF=AB的呢？

生6：因?yàn)锳C2+BC2=AB2，DE2+DF2=EF2，且DE=AC，DF=BC，

所以EF=AB．

所以△ABC≌△EFD.

所以∠C=∠D=90°．

師：好，我們終于通過自己的努力證明了這個(gè)命題是正確的，因此它也可以成為一條定理，由于它和勾股定理之間的特殊關(guān)系，我們稱它為勾股定理的逆定理．

【設(shè)計(jì)意圖】在大膽猜想的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出小心求證的要求，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用嚴(yán)密的幾何推理證明結(jié)論．在此過程中，當(dāng)學(xué)生陷入沉默時(shí)，教師用和諧的對話引導(dǎo)學(xué)生輕松突破構(gòu)造法這一思維難點(diǎn)；當(dāng)學(xué)生找到靈感時(shí)，教師適當(dāng)把舞臺留給學(xué)生，讓他們盡情地用尺規(guī)作圖一步步逼近終極目標(biāo)；當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，讓急于表達(dá)的其他學(xué)生來糾正錯(cuò)誤，為正確的證明保駕護(hù)航，最終到達(dá)勝利的彼岸，最后通過對比勾股定理，順利總結(jié)出勾股定理的逆定理．

四、教學(xué)思考

1.抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)思考，注重方法總結(jié)指導(dǎo)

在新課的引入過程中，筆者也曾絞盡腦汁地設(shè)計(jì)精彩的情境引入，意圖最快地抓住學(xué)生的眼球，如神秘的古巴比倫泥板圖片，雄偉的埃及金字塔圖像等，但在其后的思考中總感覺這些情境對學(xué)生來說稍顯陌生，學(xué)生在這些情境中無法快速接近本節(jié)課的主題．此時(shí)，靈光突然一閃，為什么不通過最直接的數(shù)學(xué)本質(zhì)問題入手呢？學(xué)完了勾股定理，我們自然應(yīng)該聯(lián)想到探究它的逆命題，在前面角平分線、垂直平分線的學(xué)習(xí)過程中我們不都是這么做的嗎，而這也正是幾何學(xué)習(xí)中最常規(guī)的學(xué)習(xí)途徑.對于一個(gè)幾何圖形，我們總是要從性質(zhì)和判定這兩個(gè)角度來進(jìn)行研究，可能在直角三角形這一內(nèi)容時(shí)，學(xué)生還只是朦朧的感知，而隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的逐步深入，到等腰三角形，平行四邊形，矩形，等等，一次一次的感知后，學(xué)生逐步掌握學(xué)習(xí)的規(guī)律與方法，對于一個(gè)幾何圖形，就是要從性質(zhì)和判定兩個(gè)方面來研究，此時(shí)，學(xué)習(xí)的方法、體系逐步形成，這不正是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終的目的——“教，是為了不教”嗎？從今天扶著學(xué)生走，直到有一天嘗試放開手，學(xué)生照樣能昂首闊步繼續(xù)向前走，而且走得更穩(wěn)，更快.而要達(dá)到這個(gè)境界，需要教師在每一節(jié)課上抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)思考，注重學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)與整理，讓有效的思考成為學(xué)習(xí)中的一種自然行為，并自覺形成知識體系與方法．

在定理的探究與證明過程中，也應(yīng)注意滲透方法指導(dǎo)，“大膽猜測—直觀驗(yàn)證—小心求證”，這是后續(xù)幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)重要的學(xué)習(xí)方法，在定理的證明過程中從已知與求證兩個(gè)角度來分析條件與結(jié)論，尋找入手點(diǎn)的方法也可以說是幾何證明最經(jīng)典的方法.而定理證明的“構(gòu)造法”，也體現(xiàn)了幾何輔助線添加的基本原則——因需而生，自然生成．以上種種，都體現(xiàn)了幾何學(xué)習(xí)中最基本的思路與方法，只有從問題的本質(zhì)出發(fā)加深思考，學(xué)生才能逐步理解知識體系的“源”，掌握知識運(yùn)用的“根”，形成知識拓展的“能”，才能在以后的學(xué)習(xí)中達(dá)到以不變應(yīng)萬變的最高境界．

2.自然對話引導(dǎo)探索，注重師生互動(dòng)學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程．而本節(jié)課的定理探索階段，正是對這一過程的精彩呈現(xiàn)．

在本節(jié)課中，教師以思維為基礎(chǔ)的設(shè)問必將引發(fā)學(xué)生的思維探究，通過對話，通過對這種實(shí)際問題的解決及這種互動(dòng)式的解決方式，學(xué)生分析問題的能力能夠得到很大的發(fā)展．今后，在面對陌生問題時(shí)他們就不會(huì)再束手無策，而會(huì)按照平時(shí)對話過程中形成的思考方法來嘗試分析．對話交流，讓學(xué)生在傾聽與表達(dá)中主動(dòng)參與到問題的探究之中.正是在師生自然的對話與互動(dòng)中，學(xué)生的思維得以層層展開與深入，直至最終揭示教學(xué)的內(nèi)涵；學(xué)習(xí)的方法逐步走向深入與理性，逐步感知定理證明的基本過程；課堂的氣氛從和諧走向精彩，火花頻現(xiàn)．從而讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3.過程彰顯學(xué)生主體，注重課堂學(xué)生參與

在本節(jié)課中，教師自始至終都在努力踐行“以生為本”的理念，學(xué)生的主體地位得到了充分的體現(xiàn)．自主審題，動(dòng)手操作，畫圖驗(yàn)證，對話互動(dòng)，質(zhì)疑爭論，無不彰顯了學(xué)生的主體地位，處處閃耀著他們的能力與智慧．在教師的引導(dǎo)下把數(shù)學(xué)課堂演變?yōu)樯?、師生的研討課.課堂上，學(xué)生的思維始終處于活躍的思考、交流、爭辯狀態(tài)之中，如此和諧的氛圍，有利于讓學(xué)生說出自己的所有想法．?dāng)?shù)學(xué)課堂中需要暴露學(xué)生的思維，而學(xué)生思維的深度參與，正是課堂活動(dòng)的核心標(biāo)志和最佳體現(xiàn)．本節(jié)課體現(xiàn)的是在實(shí)踐中“做數(shù)學(xué)”，體現(xiàn)的是活動(dòng)化的數(shù)學(xué)觀，它重視學(xué)生的參與，讓學(xué)生在做的過程中，體驗(yàn)三角形三邊滿足什么特殊條件時(shí)會(huì)形成直角三角形，并通過畫圖測量、猜想逆命題，直至最終證明完成成為定理．這個(gè)設(shè)計(jì)針對學(xué)生的身心特點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，通過簡單的操作活動(dòng)引起學(xué)生直觀的猜想，并激發(fā)學(xué)生探究的欲望．這樣的教學(xué)，更有利于學(xué)生主動(dòng)地掌握知識和形成能力．有效教學(xué)，必須把教師的教落實(shí)到學(xué)生的學(xué)上去．課堂，如果學(xué)生不積極參與，最后又通過誰落實(shí)學(xué)習(xí)效果的提升呢？所以，教師的所有教學(xué)行為，在最后都反映在學(xué)生的學(xué)習(xí)成果上．當(dāng)然，學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，并不只是看得見的解題能力，更多的還有學(xué)習(xí)習(xí)慣與思維品質(zhì)的發(fā)展與提升，使之成為有效課堂，高效課堂．

4.拉長知識探究過程，注重思想方法滲透

愛因斯坦說，學(xué)校教育的成功與否，就在于學(xué)生將教材知識遺忘之后，還留下什么樣的素質(zhì)．《標(biāo)準(zhǔn)》也向我們強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)并非只是為了交給學(xué)生書本上的知識，基本的思想與方法就是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中的又一項(xiàng)重要法寶，它依托知識而產(chǎn)生，滲透在知識學(xué)習(xí)的過程中，同時(shí)，思想方法的滲透又能帶動(dòng)具體知識內(nèi)容的教學(xué)，可謂互惠互利．因此，本節(jié)課充分展現(xiàn)了定理的提出、形成和發(fā)展的過程，拉長了知識探究的過程，注重過程設(shè)計(jì)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷獨(dú)立思考、自主探索、合作交流的過程，讓他們在活動(dòng)中逐步積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想、形成解題能力．在探索的過程中學(xué)生認(rèn)真體會(huì)著在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸、建模等基本思想，也努力感悟著猜想、試驗(yàn)、探索、歸納等重要的數(shù)學(xué)方法.當(dāng)這些思想與方法在我們的課堂上慢慢積累，在問題解決的過程中徐徐推進(jìn)時(shí)，我們堅(jiān)信：量變必然會(huì)產(chǎn)生質(zhì)變！當(dāng)學(xué)生日日“浸潤”與“熏陶”在思想與方法的海洋中時(shí)，從最初的朦朧狀態(tài)走向明朗，再到自覺運(yùn)用，這既是學(xué)習(xí)的過程，又是經(jīng)驗(yàn)的積累.在后續(xù)學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生在遇到含有一個(gè)未知的數(shù)學(xué)問題時(shí)，他們會(huì)遵循平時(shí)積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)，嘗試尋找解題思路，會(huì)延續(xù)平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的探索思路，嘗試突破未知到已知的關(guān)卡．?dāng)?shù)學(xué)的試題可謂千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，教師要重視對學(xué)生思維習(xí)慣的培養(yǎng)，讓學(xué)生在課堂中注意積累基本的解題思路與方法，那么，他們在遇到綜合性較強(qiáng)的練習(xí)時(shí)，也會(huì)回憶課堂相關(guān)知識點(diǎn)的作用，尋找突破口，從而達(dá)到事半功倍的效果．

當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想與方法的滲透是一個(gè)長期累積的過程，更是一個(gè)潛移默化的過程，我們不能指望這一節(jié)課能讓所有的學(xué)生一下子學(xué)會(huì)所有的重要數(shù)學(xué)思想與方法，但要堅(jiān)信：只要我們堅(jiān)持不懈地努力，遵循逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則，拔節(jié)的美麗聲音必然會(huì)響徹我們的數(shù)學(xué)課堂.

［1］陳鋒，薛鶯.以問題引領(lǐng) 提升復(fù)習(xí)效能：對初三“圓的復(fù)習(xí)課”的幾點(diǎn)感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（10）：17-19.

［2］陳鋒，薛鶯，童偉偉.多元化的“微探究”：從機(jī)械記憶走向理解建構(gòu)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（18）：76-78.

［3］陳鋒，薛鶯.從課堂“微探究”談初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2013（4）：16-18.

2016—08—23

陳鋒（1977—），男，中學(xué)高級教師，主要從事課堂教學(xué)研究.