曲桿單元鉸接單層網(wǎng)殼彈塑性后屈曲分析

劉樹堂　朱文正

摘要：基于曲桿單元應(yīng)力弦長(zhǎng)關(guān)系和矩陣微分理論，推導(dǎo)出曲桿單元在彈性與彈塑性狀態(tài)下的切線剛度矩陣精確公式。研究構(gòu)件取理想彈塑性材料，結(jié)構(gòu)支座取固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座2種約束情況，考慮構(gòu)件具有初彎曲，采用曲桿單元切線剛度矩陣和廣義位移控制法，取結(jié)構(gòu)自重為參考荷載，對(duì)節(jié)點(diǎn)鉸接的K8大跨單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性后屈曲分析。結(jié)果表明：曲桿單元切線剛度矩陣公式精確性很高，可有效用于大型鉸接單層網(wǎng)殼彈塑性后屈曲分析。

關(guān)鍵詞：曲桿單元；切線剛度矩陣；單層網(wǎng)殼；后屈曲分析；彈塑性屈曲；廣義位移控制法

中圖分類號(hào)：TU393.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： The accurate tangent stiffness matrix formula of curved lever unit at elastic and elasticplastic states was derived based on stresschord length relation and matrix differential theory. The research component was ideal elastic plastic material. The structure support included 2 kinds of constraint conditions of the fixed hinge support and the movable hinge support. The initial bending of the component was considered， the tangent stiffness matrix of curved lever unit and the generalized displacement control method were adopted， and the structure weight was taken as the reference load. The elastic and plastic postbuckling analysis of K8 largespan single layer reticulated shell structures was carried out. The results show that the tangent stiffness matrix of curved lever unit is accurate， and can be used to the elasticplastic postbuckling analysis of large hinged single layer reticulated shells.

Key words： curved lever unit； tangent stiffness matrix； singlelayer reticulated shell； postbuckling analysis； elasticplastic buckling； generalized displacement control method

0引言

單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)力學(xué)性能好、重量輕、造型優(yōu)美，在大型體育場(chǎng)館屋蓋結(jié)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用。從20世紀(jì)60年代以來(lái)，關(guān)于單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性及極限荷載的研究一直備受關(guān)注，已開展了大量理論與試驗(yàn)研究。單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)矢跨比較小，構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比較大，在垂直荷載作用下結(jié)構(gòu)幾何非線性特別顯著，往往在構(gòu)件還沒有屈服時(shí)結(jié)構(gòu)就發(fā)生失穩(wěn)破壞。目前在單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)極限荷載分析中，構(gòu)件力學(xué)特性常用直桿單元來(lái)模擬，因?yàn)橹睏U單元的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡(jiǎn)單，易于完成結(jié)構(gòu)極限荷載分析。然而，實(shí)際構(gòu)件并非直桿，其在軋制、加工制作、運(yùn)輸和安裝等機(jī)械作用過程中已產(chǎn)生微小初彎曲，基于直桿單元的結(jié)構(gòu)極限荷載分析忽略了構(gòu)件初彎曲對(duì)極限荷載降低的影響。研究表明，構(gòu)件初彎曲雖小，但對(duì)構(gòu)件的受壓剛度及極限壓應(yīng)力影響較大，特別是對(duì)于長(zhǎng)細(xì)比較大的構(gòu)件。

為了考慮構(gòu)件彎曲效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性及極限荷載的影響，研究者們對(duì)于構(gòu)件彎曲效應(yīng)提出了各種應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系模型。Yang等[1]基于矩形截面構(gòu)件，假設(shè)構(gòu)件兩端鉸接和構(gòu)件受壓時(shí)的軸線方程為正弦半波函數(shù)，根據(jù)構(gòu)件中點(diǎn)截面軸向應(yīng)力及應(yīng)變與橫向撓度的關(guān)系得到了矩形截面構(gòu)件受壓彎曲時(shí)軸向應(yīng)力變形關(guān)系，并基于構(gòu)件純彎受力狀態(tài)，建立了構(gòu)件卸壓再拉狀態(tài)的軸向應(yīng)力變形關(guān)系。Liew等[2]基于曲桿軸線為正弦半波函數(shù)，建立了彈性狀態(tài)曲桿軸向變形Δ與桿中點(diǎn)撓度δ的關(guān)系，得到了彈性狀態(tài)曲桿軸壓力P與Δ的關(guān)系式。在塑性受壓狀態(tài)，假設(shè)曲桿中點(diǎn)突然彎折而形成塑性鉸，得到塑性狀態(tài)曲桿軸壓力P與Δ的關(guān)系式。Hill等[3]基于應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)方程提出了曲桿單元經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)關(guān)系，彈性狀態(tài)為斜直線，彈塑性狀態(tài)為水平線，屈曲后狀態(tài)為曲線，該模型可用于結(jié)構(gòu)后屈曲分析，通過調(diào)整參數(shù)可考慮各種長(zhǎng)細(xì)比構(gòu)件的彎曲效應(yīng)。Chan等[4]假設(shè)構(gòu)件軸線初彎曲形狀為正弦半波函數(shù)，由截面力矩平衡微分方程推導(dǎo)出了梁柱單元桿端力桿端位移本構(gòu)關(guān)系模型，按照結(jié)構(gòu)總勢(shì)能函數(shù)二階變分導(dǎo)出了初彎曲梁柱單元的切線剛度矩陣。李國(guó)強(qiáng)等[5]對(duì)于梁?jiǎn)卧僭O(shè)軸線為正弦半波函數(shù)，并考慮軸力、剪切變形、初彎曲和弓形效應(yīng)的影響，建立了梁?jiǎn)卧獞?yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系。吳香國(guó)等[6]基于對(duì)Shanley模型的改進(jìn)，推導(dǎo)了不完善軸心受壓構(gòu)件軸壓力中點(diǎn)撓度的函數(shù)關(guān)系。范峰等[78]基于多段梁法模擬曲桿單元，通過一致缺陷模態(tài)法引入構(gòu)件初彎曲，采用ANSYS軟件研究網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的彈塑性與穩(wěn)定性。周臻等[9]假設(shè)曲桿軸線為正弦半波函數(shù)和基于桿件中點(diǎn)截面力矩平衡微分方程，建立了曲桿單元軸向應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系，并采用軸力對(duì)軸向位移的導(dǎo)數(shù)建立了曲桿單元的切線剛度矩陣。同時(shí)對(duì)于梁?jiǎn)卧紤]彎矩扭矩一階效應(yīng)、軸力二階效應(yīng)及梁?jiǎn)卧笞冃涡?yīng)變，忽略剪切變形和翹曲影響，建立了梁?jiǎn)卧獥U端力桿端位移本構(gòu)關(guān)系，并通過矩陣微分方法建立了梁?jiǎn)卧芯€剛度矩陣。劉樹堂等[10]基于曲桿軸線為正弦半波函數(shù)和零態(tài)弧長(zhǎng)不變?cè)?，得到了曲桿中點(diǎn)撓度弦長(zhǎng)關(guān)系，根據(jù)曲桿中點(diǎn)截面力矩平衡微分方程和塑性鉸方程，建立了曲桿彈性受壓、彈塑性受壓、塑性鉸受壓、受壓卸載、彈性受拉、塑性鉸受拉及受拉卸載等受力狀態(tài)的應(yīng)力弦長(zhǎng)本構(gòu)關(guān)系。

在結(jié)構(gòu)彈塑性屈曲分析中，荷載位移平衡路徑需要由單元切線剛度矩陣來(lái)預(yù)測(cè)，單元切線剛度矩陣的精確與否對(duì)于有效完成結(jié)構(gòu)彈塑性屈曲分析起著關(guān)鍵性作用，特別是對(duì)于非線性很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[11]。目前，建立單元切線剛度矩陣的方法主要有勢(shì)能變分法和矩陣微分法，勢(shì)能變分法應(yīng)用較多[1213]，矩陣微分法應(yīng)用較少。盡管勢(shì)能變分法應(yīng)用較多，但卻存在著明顯不足，采用勢(shì)能變分法建立單元切線剛度矩陣需要略去式中一些高階項(xiàng)，導(dǎo)致切線剛度矩陣精確度降低，以至于不能完成強(qiáng)非線性的屈曲后階段預(yù)測(cè)。然而，采用矩陣微分法建立單元切線剛度矩陣無(wú)需忽略任何高階項(xiàng)，所得到的單元切線剛度矩陣公式即是精確的，它能夠有效完成強(qiáng)非線性的屈曲后階段預(yù)測(cè)任務(wù)[1415]。對(duì)于直桿單元，基于矩陣微分法已成功建立了單元切線剛度矩陣公式[14]，并應(yīng)用于直桿單元結(jié)構(gòu)彈塑性后屈曲分析。對(duì)于曲桿單元，其單元切線剛度矩陣建立方法還未見報(bào)道。

為了有效完成曲桿單元鉸接單層網(wǎng)殼彈塑性后屈曲分析，本文基于文獻(xiàn)[10]曲桿單元應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系模型，采用矩陣微分法建立曲桿單元各種受力狀態(tài)下的單元切線剛度矩陣。利用本文曲桿單元切線剛度矩陣，基于廣義位移控制法（GDC）[11]，對(duì)跨度為64.866 m的K8鉸接單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性后屈曲分析。

1曲桿單元受力階段及其應(yīng)力應(yīng)變曲線當(dāng)曲桿經(jīng)歷受壓→卸壓→受拉→卸拉受力過程時(shí)，曲桿平均應(yīng)力弦線應(yīng)變曲線如圖1所示，其中，OA為彈性受壓階段，AB為彈塑性受壓階段，BC為塑性鉸受壓階段，CD為卸壓再拉階段，DE為塑性鉸受拉階段，EF為屈服受拉階段，F(xiàn)G為卸拉階段。對(duì)于曲桿單元，當(dāng)曲桿經(jīng)歷受拉→卸拉→受壓→卸壓受力過程時(shí)，曲桿平均應(yīng)力弦線應(yīng)變曲線如圖2所示，其中，op為彈性受拉階段，pq為塑性鉸受拉階段，qr為屈服受拉階段，rs為卸拉再壓階段，st為彈塑性受壓階段，tu為塑性鉸受壓階段，uv為卸壓階段。

在彈性受拉和彈性受壓階段，曲桿材料處于彈性狀態(tài)，該階段的極限狀態(tài)為曲桿中點(diǎn)截面較大受拉邊緣或較大受壓邊緣達(dá)到屈服應(yīng)力。在塑性鉸受拉、塑性鉸受壓階段，曲桿中點(diǎn)截面形成了塑性鉸，該截面彎矩始終等于塑性鉸彎矩。卸壓再拉階段是指曲桿從彈塑性受壓或塑性鉸受壓狀態(tài)卸載到零態(tài)，再?gòu)牧銘B(tài)受拉達(dá)到曲桿中點(diǎn)截面較大受拉邊緣屈服的受力階段。卸拉再壓階段是指曲桿從塑性鉸受拉或屈服受拉狀態(tài)卸載到零態(tài)，再?gòu)牧銘B(tài)受壓達(dá)到曲桿中點(diǎn)截面較大受壓邊緣屈服的受力階段。在卸壓再拉和卸拉再壓階段，曲桿材料處于彈性狀態(tài)。曲桿經(jīng)歷彈塑性受壓階段、塑性鉸受拉、受壓階段時(shí)，曲桿零態(tài)弦長(zhǎng)l0和中點(diǎn)撓度δ0均發(fā)生很大改變，但零態(tài)弧長(zhǎng)s0不變。在屈服受拉階段，曲桿應(yīng)力始終等于材料屈服應(yīng)力，但其零態(tài)弧長(zhǎng)s0產(chǎn)生塑性伸長(zhǎng)。

由圖5，6還可以看出，荷載位移平衡路徑具有很長(zhǎng)后屈曲段。這說明本文曲桿單元切線剛度矩陣具有較高精度，這對(duì)于有效完成大型鉸接單層網(wǎng)殼彈塑性后屈曲分析具有重要意義。

為了考察構(gòu)件初彎曲對(duì)結(jié)構(gòu)極限荷載的影響程度，繪制出結(jié)構(gòu)極限荷載因子構(gòu)件初彎曲曲線，如圖7所示。由圖7可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)支座為可動(dòng)鉸支座時(shí)，結(jié)構(gòu)極限荷載顯著降低，比固定鉸支座情況降低約46%。這說明結(jié)構(gòu)支座剛度變化對(duì)單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)極限荷載的影響比較大。為提高單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)極限荷載，可從兩方面采取措施：①提高單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的支座剛度和下部支承結(jié)構(gòu)的水平剛度；②提高最外環(huán)環(huán)向構(gòu)件的抗拉剛度。

由圖7還可以看出：構(gòu)件初彎曲越大，結(jié)構(gòu)極限荷載越低；構(gòu)件初彎曲對(duì)固定鉸支座結(jié)構(gòu)極限荷載影響較大，對(duì)可動(dòng)鉸支座結(jié)構(gòu)極限荷載影響較小。

本文算例分析耗時(shí)為207 s，說明本文方法求解速度比較快。5結(jié)語(yǔ)

（1）基于矩陣微分法建立曲桿單元切線剛度矩陣無(wú)需忽略任何高階項(xiàng)，本文曲桿單元切線剛度矩陣公式是精確的。

（2）鉸接單層網(wǎng)殼構(gòu)件初彎曲越大，結(jié)構(gòu)極限荷載越小。

（3）支座剛度對(duì)鉸接單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)極限荷載影響很大。構(gòu)件初彎曲對(duì)固定鉸支座結(jié)構(gòu)極限荷載影響較大，對(duì)可動(dòng)鉸支座結(jié)構(gòu)極限荷載影響較小。

（4）本文曲桿單元切線剛度矩陣可有效完成大型鉸接單層網(wǎng)殼彈塑性后屈曲分析。

參考文獻(xiàn)：

References：[1]YANG Y B，YANG C T，CHANG T P，et al.Effects of Member Buckling and Yielding on Ultimate Strengths of Space Trusses[J].Engineering Structures，1997，19（2）：179191.

[2]LIEW J Y R，PUNNIYAKOTTY N M，SHANMUGAM N E.Advanced Analysis and Design of Spatial Structures[J].Journal of Constructional Steel Research，1997，42（1）：2148.

[3]HILL C D，BLANDFORD G E，WANG S T.Postbuckling Analysis of Steel Space Trusses[J].Journal of Structural Engineering，1989，117（4）：38293830.

[4]CHAN S L，GU J X.Exact Tangent Stiffness for Imperfect Beamcolumn Members[J].Journal of Structural Engineering，2000，126（9）：10941102.

[5]李國(guó)強(qiáng)，劉玉姝.一種考慮初始缺陷影響的非線性梁?jiǎn)卧猍J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22（1）：6972.

LI Guoqiang，LIU Yushu.A Nonlinear Beam Element Considering Initial Imperfection[J].Chinese Journal of Computational Mechanics，2005，22（1）：6972.

[6]吳香國(guó)，安偉光，李宏亮.具有初彎曲的軸心受壓構(gòu)件彈塑性屈曲荷載研究[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，27（6）：821824.

WU Xiangguo，AN Weiguang，LI Hongliang.The Solution to Elasticplastic Buckling Load of Central Compression Strut with Initial Bending Imperfection[J].Journal of Harbin Engineering University，2006，27（6）：821824.

[7]范峰，嚴(yán)佳川，曹正罡.考慮桿件初彎曲的單層球面網(wǎng)殼穩(wěn)定性能[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，39（增2）：158164.

FAN Feng，YAN Jiachuan，CAO Zhenggang.Stability of Singlelayer Reticulated Domes with Initial Imperfection to Members[J].Journal of Southeast University：Natural Science Edition，2009，39（S2）：158164.

[8]嚴(yán)佳川，范峰，曹正罡.桿件初彎曲對(duì)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)彈塑性穩(wěn)定性能影響研究[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2012，33（12）：6371.

YAN Jiachuan，F(xiàn)AN Feng，CAO Zhenggang.Research on Influence of Initial Curvature of Members on Elastoplastic Stability of Reticulated Shells[J].Journal of Building Structures，2012，33（12）：6371.

[9]周臻，吳京，孟少平.基于初彎曲單元的某弦支穹頂非線性穩(wěn)定承載力分析[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（4）：721726.

ZHOU Zhen，WU Jing，MENG Shaoping.Nonlinear Stability Bearing Capacity Analysis for a Suspended Dome Based on the Initial Curvature Elements[J].Chinese Journal of Computational Mechanics，2010，27（4）：721726.

[10]劉樹堂，陳原，朱文正.端部鉸接初彎曲構(gòu)件彈塑性本構(gòu)關(guān)系研究[J].建筑鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)展，2014，16（2）：612.

LIU Shutang，CHEN Yuan，ZHU Wenzheng.Study on the Elastoplastic Constitutive Relationship of Endpinned Initially Curved Members[J].Progress in Steel Building Structures，2014，16（2）：612.

[11]YANG Y B，LIN S P，LEU L J.Solution Strategy and Rigid Element for Nonlinear Analysis of Elastically Structures Based on Updated Lagrangian Formulation[J].Engineering Structures，2007，29（6）：11891200.

[12]王天英，鄧長(zhǎng)根.結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣與割線剛度矩陣之間的關(guān)系[J].強(qiáng)度與環(huán)境，2008，35（2）：3135.

WANG Tianying，DENG Changgen.General Relationship Between Structural Secant and Tangent Stiffness Matrices[J].Structure & Environment Engineering，2008，35（2）：3135.

[13]陳常松，陳政清，顏東煌.勢(shì)能增量駐值原理與切線剛度矩陣的解構(gòu)規(guī)則[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，36（5）：892898.

CHEN Changsong，CHEN Zhengqing，YAN Donghuang.Principle of Stationary Incremental Potential Energy and Formation Rules of Tangent Stiffness Matrix[J].Journal of Central South University：Science and Technology，2005，36（5）：892898.

[14]劉樹堂.等直桿單元切線剛度矩陣的精確分析方法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2014，31（1）：4853.

LIU Shutang.Accurate Analysis Method on the Tangential Stiffness Matrix of Pinned Straight Rod Element[J].Chinese Journal of Computational Mechanics，2014，31（1）：4853.

[15]劉樹堂.空間梁?jiǎn)卧芯€剛度矩陣的精確分析方法[J].建筑科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2014，31（4）：135142.

LIU Shutang.Accurate Analysis Method on Tangent Stiffness Matrix for Space Beam Element[J].Journal of Architecture and Civil Engineering，2014，31（4）：135142.