概率論中幾個(gè)事件之間的聯(lián)系與區(qū)分

楊彥琴++王娜

摘要：對(duì)事件之間的關(guān)系理解與掌握是學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，本文主要從概率論中幾個(gè)易混淆事件及其概率做了區(qū)別與聯(lián)系，起到對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)有幫助。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；事件；區(qū)別；聯(lián)系

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程在我校是經(jīng)管類(lèi)、理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的一門(mén)必修課程，也是全國(guó)研究生入學(xué)考試內(nèi)容之一，在學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)學(xué)科時(shí)涉及到很多的基本概念，尤其是對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)在第一章會(huì)遇到對(duì)幾個(gè)事件之間的關(guān)系區(qū)分有所困難，導(dǎo)致遇到實(shí)際問(wèn)題無(wú)法解決。本文主要從概率論中幾個(gè)易混淆事件及概率：不可能事件與概率為零的事件；互斥事件與相互獨(dú)立事件；條件概率、無(wú)條件概率與交事件的概率做研究，探究他們之間的聯(lián)系與區(qū)別，在教學(xué)時(shí)應(yīng)注重對(duì)它們概念之間的詳細(xì)講授與區(qū)分。

一、不可能事件與概率為零的事件

在學(xué)到概率密度函數(shù)時(shí)會(huì)遇到若 為離散型型隨機(jī)變量， 為任意常數(shù)，則 ，若 為連續(xù)型隨機(jī)變量， 為任意常數(shù)，則 ，說(shuō)明 但是{ }是可能會(huì)發(fā)生的事件，且在前面也學(xué)過(guò) ，即不可能事件的概率為零，概率為零的事件不一定是不可能事件，很多同學(xué)剛學(xué)時(shí)對(duì)這部分內(nèi)容理解起來(lái)有困難，認(rèn)為概率為零即事件發(fā)生的可能性為零，事件怎么可能會(huì)發(fā)生呢？ 在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題： ，學(xué)生會(huì)認(rèn)為A與B互斥。

一般情況下用定積分的幾何意義去解釋?zhuān)e分區(qū)間趨于零，值趨于零。對(duì)任給 ，總有

令 ，得上式右端趨于零。所以 。

這里的概率為零分為兩種情況：1、概率恒為零的事件：概率恒為零，說(shuō)明不管試驗(yàn)多少次，事件總是不會(huì)發(fā)生，這類(lèi)事件是不可能事件2、概率趨于零的事件：比如拋擲一枚硬幣一次，幣值面向上的概率為 ，當(dāng)拋擲無(wú)窮多次時(shí)，每次都是幣值面 向上的概率為 ，像這樣的事件就是概率趨于零的事件，但拋擲無(wú)窮多次時(shí)每次都是正面向上卻是一個(gè)可能會(huì)發(fā)生的事件。事件的概率是對(duì)事件發(fā)生的可能性大小描述，概率值大，即事件發(fā)生的可能性大，概率值小，即事件發(fā)生的可能性小.概率趨于零稱(chēng)為零概率事件，但是是可能會(huì)發(fā)生的事件，只是發(fā)生的可能性趨于零。

二、互斥事件與相互獨(dú)立事件

兩個(gè)事件A，B互斥指的是A，B不可能同時(shí)發(fā)生，即 ，兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立指的是A，B中一個(gè)事件的發(fā)生與另一個(gè)事件發(fā)生的概率無(wú)關(guān)，即 。兩事件獨(dú)立與兩事件互斥這兩者之間沒(méi)有必然聯(lián)系。在教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)他們之間的關(guān)系不清楚。一般情況下，互斥的事件是一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件沒(méi)有共同的樣本點(diǎn)。而相互獨(dú)立的事件是兩個(gè)系統(tǒng)的兩個(gè)事件，從概率的角度看為一個(gè)事件的發(fā)生與另一個(gè)事件發(fā)生的概率無(wú)關(guān)，且 且由條件概率的公式 推出 ，同理也可推出 ，它表示一個(gè)事件的發(fā)生并不影響另一個(gè)事件的發(fā)生。

例如：某年級(jí)有兩個(gè)班，共有85人，其中一班有40人，男生人數(shù)為10人，女生人數(shù)為30人，二班有45人，男生人數(shù)為15人，女生人數(shù)為30人，又設(shè) 為“抽到的是第i班男生”， 為“抽到的是第i班女生”， ，現(xiàn)從中任意取出一名同學(xué)。

這里 與 為兩個(gè)系統(tǒng)的事件，相互之間沒(méi)有影響，這兩個(gè)系統(tǒng)之間的事件相互獨(dú)立，所以 與 相互獨(dú)立， 與 相互獨(dú)立。 為同一個(gè)系統(tǒng)的兩個(gè)事件，且兩者之間沒(méi)有交集， ，所以 與 互斥，同理 與 互斥?；コ馀c獨(dú)立是兩個(gè)不同屬性的概念，他們之間沒(méi)有必然的聯(lián)系。

三、條件概率、無(wú)條件概率與交事件的概率

條件概率是概率論中很重要的概念之一。在初學(xué)時(shí)容易將條件概率、無(wú)條件概以及交事件的概率相混淆。設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，從概念上理解交事件P（AB）指是A，B同時(shí)發(fā)生的概率，條件概率 P（A|B）是在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，無(wú)條件概率P（A）指的是在沒(méi)有任何條件下事件A發(fā)生的概率。設(shè)n：樣本空間 中基本事件的總數(shù)， ：事件A包含其中k個(gè)基本事件，從概率運(yùn)算上理解無(wú)條件概率： ，條件概率： ，交事件的概率： ，發(fā)現(xiàn) 和 樣本空間都是 ，所包含的的基本事件數(shù)不一樣， 與 所包含的基本事件數(shù)一樣，而 的樣本空間縮小為B，這三者之間的區(qū)別很顯然。

例 某年級(jí)有兩個(gè)班，共有85人，其中一班有40人，男生人數(shù)為10人，女生人數(shù)為30人，二班有45人，男生人數(shù)為15人，女生人數(shù)為30人，現(xiàn)隨機(jī)的抽取一名同學(xué)。

由上例，并設(shè)A為“抽到的是男生”，B為“抽到學(xué)生來(lái)自一班”，易知n=85， =25，事件AB為“指抽到的是來(lái)自一班的男生”，它所包含的基本事件的個(gè)數(shù) =10，所以P（A）= ，P（AB）= ，而P（A|B）= ，事件B發(fā)生的條件下，樣本空間包含的總的基本事件數(shù)縮減為40，即為B所包含的基本事件數(shù)。

結(jié)論

對(duì)這三個(gè)典型問(wèn)題結(jié)論的理清可以考驗(yàn)學(xué)生對(duì)概念的理解程度，只有理解了遇到問(wèn)題就不會(huì)陷入困擾之中，從概念歸納出問(wèn)題所屬類(lèi)型直接掌握概率論這門(mén)課程。教學(xué)時(shí)，用上述方法把這三個(gè)問(wèn)題講解清楚，讓學(xué)生容易理解和掌握各個(gè)概念，使學(xué)習(xí)更有效率，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

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