具有反饋控制變量的偏害模型穩(wěn)定性研究

黃宏韜，林錦賢

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州 350116)

具有反饋控制變量的偏害模型穩(wěn)定性研究

黃宏韜，林錦賢

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州 350116)

研究具有反饋控制變量的兩種群偏害共生模型正平衡點的穩(wěn)定性. 通過構(gòu)造適當?shù)腖yapunov函數(shù)，討論系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性. 研究表明，如果原系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的，反饋控制變量僅改變正平衡點的位置，使得種群平衡密度變小，不會改變正平衡點的穩(wěn)定性； 如果原系統(tǒng)是絕滅的，加入適當?shù)姆答伩刂谱兞?，可以使絕滅的種群變穩(wěn)定.

偏害模型; 反饋控制; Lyapunov函數(shù); 全局穩(wěn)定; 絕滅

0 引言

偏害共生關(guān)系是兩種生物間共生關(guān)系的一種, 其主要特征為當兩個物種生活在一起時，由于一個物種的存在，對另一方物種起到抑制作用，而自身卻無影響. 在自然界中，具有這種作用關(guān)系的生物種群很多. 如胡桃樹分泌一種叫做胡桃醌的物質(zhì)，它能抑制其他植物的生長，因此，在胡桃樹下的土表層中是沒有其他植物的; 又如青霉素就是由青霉菌所產(chǎn)生的一種細菌抑制劑. 近年來，孫廣才[1]提出了如下兩種群偏害共生模型

其中:ri，ki，i=1，2均為正常數(shù). 借助特征根分析的方法研究系統(tǒng)(1)的各個平衡點的局部穩(wěn)定性問題. 祝占法等[2]研究了一類更為廣泛的偏害系統(tǒng)

其中: 系統(tǒng)(2)的所有參數(shù)均為正常數(shù). 對系統(tǒng)(2)進行定性分析，研究表明，如果系統(tǒng)(2)的系數(shù)滿足

如果系統(tǒng)(2)的系數(shù)滿足

則系統(tǒng)(2)是絕滅的. 即系統(tǒng)(2)的所有正解滿足:

另一方面，在現(xiàn)實生活中，生態(tài)系統(tǒng)會受到不定因素的干擾, 為此，學者們引入了反饋控制變量. 近年來，具有反饋控制的生態(tài)系統(tǒng)的動力學行為得到學者們的高度重視[3-8]. Han等[8]提出如下兩種群偏利反饋控制模型

其中：xi，i=1，2是種群在t時刻的生長密度；ui，i=1，2是反饋控制變量. Han等[8]研究表明: 在原系統(tǒng)具有唯一的全局穩(wěn)定的正平衡點時，反饋控制變量僅改變正平衡點的位置，使得種群的平衡密度減小，不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 至今尚未有學者研究具有反饋控制變量的偏害關(guān)系的Lotka-Volterra模型：

其中： 系統(tǒng)所有的參數(shù)均為正常數(shù)；xi，i=1，2是種群在t時刻的生長密度；ui，i=1，2是反饋控制變量. 其中第2個種群對第1個種群的生長起到不利作用，而第1個種群卻對第2個種群的生長不起作用.

系統(tǒng)(4)滿足初值

容易驗證滿足初始條件(5)的系統(tǒng)(4)的解是恒正的.

對于系統(tǒng)(4)而言，一個有趣的問題是: 系統(tǒng)(4)是否會如同系統(tǒng)(3)一樣，對于原來全局穩(wěn)定的正平衡點，加上反饋控制變量后，系統(tǒng)正平衡點的穩(wěn)定性仍不變? 進一步，對于絕滅的種群，加入反饋控制變量后，是否還是絕滅?

1 主要結(jié)果

記

下面探討系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定性.

證明 今構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下

其中: δi，i=1，2，3，4是待定的正常數(shù). 沿著系統(tǒng)(4)的正解計算V(t)的右上導數(shù)，有

注1容易知道(H1)成立即(H)也成立. 定理1表明對于偏害合作系統(tǒng)而言，在原系統(tǒng)具有唯一的全局穩(wěn)定的正平衡點的情況下，反饋控制變量僅改變正平衡點的位置，使得種群的平衡密度減小，但是不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

注2當

2 數(shù)值模擬

舉例驗證定理的可行性.

例1考慮如下方程

例2考慮如下具有反饋控制變量的系統(tǒng)

從例1、2可知，如果系統(tǒng)(10)的正平衡點是全局穩(wěn)定的，加入反饋控制變量不會影響正平衡點的穩(wěn)定性.

圖1 系統(tǒng)(10)的數(shù)值模擬圖

圖2 系統(tǒng)(11)的數(shù)值模擬圖

例3考慮如下方程

例4考慮如下反饋控制系統(tǒng)

從例3、4可知，如果系統(tǒng)(12)是絕滅的，加入適當?shù)姆答伩刂谱兞亢螅到y(tǒng)變成穩(wěn)定. 即反饋控制變量使得系統(tǒng)的動力學行為發(fā)生了變化.

圖3 系統(tǒng)(12)數(shù)值模擬圖

圖4 系統(tǒng)(13)的數(shù)值模擬圖

3 結(jié)語

在文獻[2]的基礎(chǔ)上進一步研究具有反饋控制變量的偏害合作模型，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 研究表明，如果原系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的，反饋控制變量只改變正平衡點的位置，不會改變正平衡點的穩(wěn)定性. 此外，進一步研究對于原系統(tǒng)絕滅的情形，加入反饋控制變量后使系統(tǒng)變得全局穩(wěn)定. 這表明反饋控制變量對系統(tǒng)的動力學行為有著重要影響.

[1] 孫廣才. 兩種群偏害作用模型的定性分析[J]. 佳木斯大學學報，2003，21(3): 283-286.

[2] 祝占法，陳巧靈. 偏害關(guān)系的Lotka-Volterra模型的數(shù)學研究[J]. 雞西大學學報，2008，8(5): 100-101.

[3] 陳鳳德，謝向東. 合作種群模型動力學行為研究[M]. 北京: 科學出版社，2014.

[4] NIYAZ T，MUHAMMADHAJI A. Positive periodic solution of cooperative systems with delays and feedback controls[J]. International Journal of Differential Equations，2013，2013(24): 93-110.

[5] LI Z，HAN M，CHEN F. Influence of feedback controls on an autonomous Lotka-Volterra competitive system with infinite delays[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications，2013，14(1): 402-413.

[6] YANG W，LI X. Permanence of a discrete nonlinearN-species cooperation system with time delays and feedback controls[J]. Applied Mathematics and Computation，2011，218(7): 3 581-3 586.

[7] CHEN L，XIE X. Permanence of anN-species cooperation system with continuous time delays and feedback controls[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications，2011，12(1): 34-38.

[8] HAN R，CHEN F. Global stability of a commensal symbiosis model with feedback controls[J]. Communications in Mathematical Biology and Neuroscience，2015，2015(15): 1-10.

[9] 陳蘭蓀，宋新宇，陸征一. 數(shù)學生態(tài)學模型與研究方法[M]. 成都: 四川科學技術(shù)出版社，2003.

(責任編輯： 洪江星)

Global stability of an amensalism system with feedback controls

HUANG Hongtao，LIN Jinxian

(College of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China)

An amensalism system with feedback controls is investigated. By constructing a suitable Lyapunov function，we discuss the global stability of the equilibrium. Research results show that if the amensalism system is global stability，the feedback control variables have no influence on the global stability. If the amensalism system is extinct，by choosing suitable feedback control variables，the extinct population becomes stability.

amensalism system; feedback controls; Lyapunov function; global stability; extinction

10.7631/issn.1000-2243.2017.01.0069

1000-2243(2017)01-0069-05

2015-05-06

林錦賢(1957- )，教授，主要從事計算機網(wǎng)絡(luò)、數(shù)據(jù)庫、高性能計算等方面的研究，jxlin@fzu.edu.cn

福建省科技計劃資助項目(2012H6008)； 福州市科技計劃資助項目(2013-G-83)

O175.14

A