2 m SiC主鏡Kinematic側(cè)支撐方法設(shè)計(jì)與優(yōu)化

劉 博，張景旭，王富國(guó)，劉祥意

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2 m SiC主鏡Kinematic側(cè)支撐方法設(shè)計(jì)與優(yōu)化

劉 博1,2，張景旭1，王富國(guó)1，劉祥意1

( 1. 中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049 )

基于運(yùn)動(dòng)學(xué)原理的支撐結(jié)構(gòu)在大口徑望遠(yuǎn)鏡的底支撐中早已得到廣泛運(yùn)用，但是在主鏡側(cè)支撐中的應(yīng)用還不成熟。本文首先解釋了一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)原理的側(cè)支撐結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，然后針對(duì)一個(gè)直徑2.04 m的主鏡, 使用有限元軟件ANSYS中的參數(shù)化設(shè)計(jì)語言進(jìn)行了具體的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析。接著以主鏡在光軸豎直狀態(tài)下的鏡面面形誤差的均方根值(RMS)為目標(biāo)函數(shù)，采用模擬退火算法，對(duì)支撐結(jié)構(gòu)中各支撐桿的支撐反力進(jìn)行了優(yōu)化。最后得到的鏡面變形的RMS值為16.67 nm。計(jì)算不同俯仰角下的鏡面變形，均達(dá)到了RMS小于/30的技術(shù)要求。

運(yùn)動(dòng)學(xué)；側(cè)支撐；大口徑主鏡

0 引 言

為了滿足探索更遙遠(yuǎn)的宇宙空間奧秘的需要，人們希望將天文光學(xué)望遠(yuǎn)鏡的口徑越造越大，以得到更強(qiáng)的集光能力和更高的分辨能力[1]。對(duì)于傳統(tǒng)的望遠(yuǎn)鏡而言，主鏡的變形往往對(duì)軸向支撐更為敏感，但是隨著大口徑反射鏡徑厚比的增大，以及凹面鏡、彎月鏡的應(yīng)用，側(cè)向支撐的設(shè)計(jì)也變得越來越重要了。

常見的側(cè)支撐方法有杠桿平衡重支撐、液壓/氣動(dòng)支撐、水銀帶支撐等。杠桿平衡重支撐效果穩(wěn)定，對(duì)溫度的適應(yīng)性好，但是這種方法不僅會(huì)額外的增加主鏡室的重量，還會(huì)大大降低系統(tǒng)的諧振頻率[2]。液壓/氣動(dòng)支撐采用液壓(或氣壓)元件代替機(jī)械部件對(duì)鏡子進(jìn)行側(cè)支撐，可以消除由摩擦產(chǎn)生的一些問題，但是在俯仰角變化時(shí)需要對(duì)支撐點(diǎn)壓力進(jìn)行調(diào)節(jié)控制[3]，液壓/氣壓元件對(duì)密封性的要求也會(huì)一定程度上降低系統(tǒng)穩(wěn)定性。水銀帶支撐是將一個(gè)圓環(huán)形的、填充有水銀的管子放置在反射鏡側(cè)面和剛性的圓柱筒壁之間，產(chǎn)生一個(gè)近似于“理想”安裝的力場(chǎng)，但是這種方法的支撐效果受水銀管的不規(guī)則度影響較大，且只適合應(yīng)用于比較好的環(huán)境中，水銀本身也對(duì)人的身體有危害[4]。此外還有六點(diǎn)切向柔性側(cè)支撐[5]和推-拉-剪切側(cè)向支撐[6]等方式，它們都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。出于某2 m級(jí)望遠(yuǎn)鏡制備的需要，本文在前人研究的基礎(chǔ)上提出了一種全新的、基于Kinematic原理的級(jí)聯(lián)側(cè)支撐結(jié)構(gòu)。這種被動(dòng)支撐結(jié)構(gòu)有著支撐精度高，裝調(diào)簡(jiǎn)單，對(duì)桿件精度要求較低，易于擴(kuò)展與優(yōu)化等特點(diǎn)。以該2 m級(jí)主鏡為研究對(duì)象，分析了該結(jié)構(gòu)的原理與特點(diǎn)，并以鏡面均方根值(RMS)值為目標(biāo)函數(shù)，使用Isight整合了ANSYS與Matlab[7]，對(duì)支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，證明了這種結(jié)構(gòu)的合理性與可行性。

1 Kinematic原理在側(cè)支撐中的應(yīng)用

Kinematic(運(yùn)動(dòng)學(xué)的)作為Dynamic的一個(gè)分支，是A.M.Ampere(1775-1836)在分析物體在外力作用下的自身運(yùn)動(dòng)性質(zhì)時(shí)提出的概念。

一個(gè)Kinematic連接限制機(jī)械系統(tǒng)所有的六個(gè)自由度，而沒有任何一個(gè)強(qiáng)加的約束。相比于其他連接方式，Kinematic連接具有位置的重復(fù)性能力和對(duì)嚴(yán)重的機(jī)械扭曲或彎曲的自動(dòng)調(diào)整能力[8-10]。

以光軸方向?yàn)橄颍?dāng)?shù)字我呀?jīng)完美約束主鏡沿軸平移，繞軸旋轉(zhuǎn)，繞軸旋轉(zhuǎn)這三個(gè)自由度時(shí)，側(cè)支撐需要約束主鏡剩下的三個(gè)自由度。圖1為最經(jīng)典的符合Kinematic原理的側(cè)支撐方式，由于側(cè)支撐與主鏡的接觸處使用柔性桿件，側(cè)支撐與主鏡的之間的運(yùn)動(dòng)副可等效為旋轉(zhuǎn)副。

此時(shí)，任意兩根桿與主鏡組成一個(gè)四連桿機(jī)構(gòu)，在兩根桿的約束下，主鏡可繞瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)三個(gè)瞬心不重合時(shí)，主鏡在該平面上的三個(gè)自由度被完美約束。當(dāng)主鏡為大口徑平凹鏡時(shí)，一組經(jīng)典的Kinematic結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生可重復(fù)的、不可改正的、過大的波前像散誤差[11]，因此需要對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造。改變支撐桿圍城的三角形的內(nèi)切圓大小可有效減小產(chǎn)生的像散誤差，但是當(dāng)三個(gè)瞬心交于一點(diǎn)，主鏡繞瞬心旋轉(zhuǎn)的自由度被放開，三個(gè)約束中有一個(gè)退化成為虛約束，需要再加一組定位桿抑制主鏡的旋轉(zhuǎn)，結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖1 經(jīng)典的符合Kinematic原理的3點(diǎn)側(cè)支撐概念圖

圖2 瞬心交于一點(diǎn)時(shí)的側(cè)支撐概念圖

使用Whiffletree級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，可以在不增減約束個(gè)數(shù)的情況下增加支撐點(diǎn)的數(shù)目，從而減小各支撐點(diǎn)的應(yīng)力。

2 側(cè)支撐方案的設(shè)計(jì)與優(yōu)化

2.1 主鏡模型

本文使用有限元軟件Ansys進(jìn)行有限元分析，以某2 m級(jí)SiC輕量化平凹主鏡為研究對(duì)象進(jìn)行側(cè)支撐方案的設(shè)計(jì)與優(yōu)化，鏡子的有限元模型如圖3所示。鏡子的直徑為2 040 mm，中間孔直徑320 mm，鏡子邊緣厚度為190 mm，在外圈有寬約為20 mm的壓邊。該模型采用SOLID186單元，使用105 776個(gè)單元精確模擬了鏡子包括輕量化蜂窩結(jié)構(gòu)在內(nèi)的各種主要特征。鏡子的光軸方向與系統(tǒng)坐標(biāo)系的軸一致，鏡子的背部平面與系統(tǒng)坐標(biāo)系下的平面重合。該2 m級(jí)望遠(yuǎn)鏡采用表面均方根(RMS)作為主鏡面形的評(píng)價(jià)指標(biāo)，要求RMS值優(yōu)于波長(zhǎng)(=632.8 nm)的1/30。由于系統(tǒng)一階諧振過低會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)控制帶寬過窄，嚴(yán)重影響系統(tǒng)響應(yīng)速度[12]，因此要求一階諧振頻率需高于15 Hz。

圖3 主鏡及底支撐模型

該主鏡的底支撐采用的是18點(diǎn)Whiffletree結(jié)構(gòu)。18點(diǎn)分為內(nèi)外兩圈，內(nèi)圈6點(diǎn)，均布于直徑為783 mm的圓周上，外圈12點(diǎn)，均布于直徑為1 708 mm的圓周上。背部支撐桿通過剛性墊固接在鏡子背部，通過柔性關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)對(duì)自由度的釋放，通過支撐桿自身的柔性實(shí)現(xiàn)與側(cè)支撐系統(tǒng)的解耦。底部支撐約束了主鏡沿向平移，繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)自由度。支撐結(jié)構(gòu)使用BEAM188單元，不同位置的桿件根據(jù)各自剛度的需要使用了不同的截面面型。

主鏡要求俯仰角范圍為0°~90°。當(dāng)主鏡俯仰角為90°時(shí)，光軸垂直于水平面，鏡子重力完全由底支撐承擔(dān)，側(cè)支撐僅提供主鏡的位置約束；當(dāng)主鏡俯仰角為0°時(shí)，光軸平行于水平面，鏡子重力完全由側(cè)支撐承擔(dān)，底支撐僅提供主鏡位置約束。側(cè)向支撐所引起的最大鏡面變形發(fā)生在望遠(yuǎn)鏡指向地平方向的時(shí)候[13]，因此首先考慮重力沿鏡子徑向(軸負(fù)向)的情況。

2.2 側(cè)支撐支撐點(diǎn)位置的選擇

為保證足夠多的支撐點(diǎn)，側(cè)支撐在經(jīng)典的三點(diǎn)Kinematic側(cè)支撐基礎(chǔ)上，通過增加Whiffletree級(jí)聯(lián)的方式使支撐點(diǎn)擴(kuò)充至12個(gè)。當(dāng)徑向力作用在水平反射鏡的中性表面上時(shí)，鏡子的像散畸變最小，因此所有的側(cè)向支撐點(diǎn)均位于鏡子中性面，距離背部平面85.579 mm的平面上。在設(shè)計(jì)支撐桿件時(shí)，首先用有限元軟件計(jì)算得到各約束點(diǎn)的支撐反力，再根據(jù)支撐反力的大小設(shè)計(jì)各旋轉(zhuǎn)副的位置，以完成支撐力的合理分配。

第一種支撐方案如圖4所示，3組Whiffletree結(jié)構(gòu)彼此成120°角，12個(gè)支撐點(diǎn)圍繞鏡子外圓周等間距排列。

圖4 第1種側(cè)支撐方法示意圖

圖5 第1種支撐方法效果云圖

這種支撐方式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，對(duì)稱性好，但是由于上面兩組Whiffletree結(jié)構(gòu)傾斜角度過大，在提供一定的方向的支撐力的同時(shí)，會(huì)各自在方向上附加更大的干擾力，從而導(dǎo)致較大的，無法修正的像散畸變。圖5表示了這種支撐下鏡面應(yīng)變(圖5(a))與鏡面應(yīng)力(圖5(b))。

在該支撐作用下，鏡面RMS值為134.46 nm，主要畸變?yōu)橄裆ⅰＳ蓤D5右可知，第一種支撐方法會(huì)給鏡面帶來不可忽視的分布較廣且不均勻的巨大應(yīng)力，使得鏡面出現(xiàn)了極大的像散。為改善鏡面的應(yīng)力分布，改變支撐點(diǎn)的位置，提出第二種支撐方法，如圖6所示，下方1~4號(hào)點(diǎn)位置不變，5~12號(hào)點(diǎn)改為等角間距22.5°，各支撐點(diǎn)位置關(guān)于平面對(duì)稱，支撐效果如圖7所示。其鏡面RMS為113.48 nm，主要畸變依然為像散。由圖7(b)可以看出，鏡面上的應(yīng)力已經(jīng)得到了極大的改善。由RMS的變化可知，鏡子表面變形量也有了一定程度的減小。

通過改變支撐點(diǎn)位置的方法雖然有效減小了鏡面上的應(yīng)力，但是鏡面RMS值與像散過大，支撐效果并不理想。考察各桿支撐力時(shí)發(fā)現(xiàn)，上方兩組支撐桿件一共只承擔(dān)了主鏡一半的重量，卻各自帶來了主鏡重力大小的方向的干擾力。下方支撐桿件中壓力過大，上方桿件又帶來了較大的干擾力，共同導(dǎo)致了較大的鏡面變形與像散。

圖6 第2種側(cè)支撐方法示意圖

圖7 第2種支撐方法效果云圖

2.3 支撐方案優(yōu)化

為得到符合要求的鏡面RMS值與像散值，需針對(duì)各桿提供的支撐力進(jìn)行優(yōu)化。影響支撐力的因素有三個(gè)，一是支撐點(diǎn)的位置，二是桿件的偏轉(zhuǎn)角度，三是各級(jí)杠桿中旋轉(zhuǎn)副的位置。支撐點(diǎn)的位置以桿件的偏轉(zhuǎn)角度共同決定了每一組支撐桿件中總的支撐力的大小與方向，旋轉(zhuǎn)副的位置則決定了每一個(gè)杠桿系統(tǒng)中杠桿兩端力的比例。由于鏡子結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，有限元單元較細(xì)密，改變支撐點(diǎn)位置十分困難，因此只針對(duì)桿件的偏轉(zhuǎn)角度與杠桿結(jié)構(gòu)中旋轉(zhuǎn)副的位置進(jìn)行優(yōu)化。由于像散值與鏡面RMS值往往成正相關(guān)關(guān)系，為節(jié)省優(yōu)化時(shí)間，目標(biāo)函數(shù)選為計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單的RMS值。

三組桿件中共有9個(gè)杠桿結(jié)構(gòu)，加上各自的偏轉(zhuǎn)角共有12個(gè)參數(shù)，考慮到支撐結(jié)構(gòu)關(guān)于的對(duì)稱性，兩側(cè)桿件的偏轉(zhuǎn)角度以及旋轉(zhuǎn)副對(duì)應(yīng)的位置應(yīng)該一致，底部的旋轉(zhuǎn)副位于底部桿件的中心。優(yōu)化問題可以表示為

以第二種方法中的參數(shù)為起始點(diǎn)，在經(jīng)過347次迭代后得到最優(yōu)值，優(yōu)化結(jié)果列于表1，為便于加工，將優(yōu)化值取整，精確到0.01。

最終RMS從起始點(diǎn)的113.48 nm優(yōu)化到了16.67 nm，對(duì)應(yīng)的鏡面面形如圖9所示。計(jì)算其Zernike系數(shù)可知，主鏡的0°像散和45°像散僅為0.23 nm和0.16 nm，完全符合側(cè)支撐的技術(shù)要求。

圖8 優(yōu)化參數(shù)示意圖

圖9 優(yōu)化后鏡面變形云圖

表1 優(yōu)化結(jié)果

使用Ansys對(duì)該支撐下的主鏡進(jìn)行模態(tài)分析，得到前六階模態(tài)，如表2。由表2可知，系統(tǒng)一階模態(tài)為39.51 Hz，滿足一階諧振頻率高于15 Hz的要求。

2.4 側(cè)支撐俯仰角分析

以上設(shè)計(jì)與優(yōu)化均是針對(duì)光軸水平，主鏡重力完全由側(cè)支撐提供的情況，但在實(shí)際使用中需要望遠(yuǎn)鏡能在0°到90°的俯仰角范圍內(nèi)都正常工作。通過改變有限元模型中的重力方向，模擬在當(dāng)側(cè)支撐與底支撐共同作用時(shí)，主鏡在不同俯仰角狀態(tài)下的變形情況，分析結(jié)果如表3所示。

表2 系統(tǒng)前六階模態(tài)與振型

表3 不同俯仰角q下鏡面RMS值

3 結(jié) 論

本文基于Kinematic原理，針對(duì)某2 m級(jí)大口徑輕量化平凹鏡主鏡，提出了Whiffletree側(cè)支撐結(jié)構(gòu)，利用有限元模型，分析了不同支撐點(diǎn)位置與支撐桿角度對(duì)支撐效果的影響，使用模擬退火算法對(duì)各支撐桿的支撐反力進(jìn)行優(yōu)化，最終得到了一個(gè)達(dá)到面形精度要求的側(cè)支撐結(jié)構(gòu)。主鏡在光軸水平狀態(tài)下RMS為16.67 nm，在不同的俯仰角下鏡面的面形均小于/30，系統(tǒng)一階諧振頻率為39.51 Hz，優(yōu)于15 Hz的設(shè)計(jì)指標(biāo)，說明所設(shè)計(jì)的側(cè)支撐可以達(dá)到要求。該基于Kinematic原理的Whiffletree側(cè)支撐方法在今后的大口徑望遠(yuǎn)鏡的側(cè)支撐方案的選擇上具有較高的指導(dǎo)意義。

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Design and Optimization of Kinematic Lateral Support on 2 m SiC Primary Mirror

LIU Bo1,2，ZHANG Jingxu1，WANG Fuguo1，LIU Xiangyi1

( 1. Changchun Institude of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences, Changchun 130033, China;2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing100049, China )

The support structure based on kinematic principle had been wildly used in the axial support on large-diameter telescope. But it is not maturely applied in the lateral support system. A lateral support structure based on kinematic principle is explained. Based on a primary mirror with a diameter of 2.04 m, a support structure with more details was designed and analyzed by the ANSYS Parametric Design Language. Selected the Root Mean Square (RMS) of the primary mirror when the optical axis was vertical as the objective function, the support reaction was optimized by the simulated annealing algorithm. Final surface error RMS was 16.67 nm. Surface error with different obliquities were calculated, which meets the requirement that the RMS should be less than/3.

kinematic; lateral support; large-diameter primary mirror

1003-501X(2016)12-0046-06

TH751

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.12.008

2016-06-19；

2016-07-13

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11403023)

劉博(1992-)，男(漢族)，湖北黃岡人。碩士研究生，主要研究工作是大口徑望遠(yuǎn)鏡主鏡支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。-mail: liubo2014@mails.ucas.ac.cn。