有界區(qū)域上自治Cahn- Hilliard方程的指數(shù)吸引子

王 艷，姜金平，張 鳳，嚴(yán)建軍

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

有界區(qū)域上自治Cahn- Hilliard方程的指數(shù)吸引子

王 艷，姜金平*，張 鳳，嚴(yán)建軍

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

自治Cahn- Hilliard方程；Lipschitz特性；Squeezing特性；指數(shù)吸引子

近年來，有關(guān)吸引子的存在性問題是無窮維動力系統(tǒng)研究的一個熱點(diǎn)問題，如文獻(xiàn)[1][2]系統(tǒng)研究了方程吸引子的存在性和其它性質(zhì)，文獻(xiàn)[3]用到擠壓性，證明了指數(shù)吸引子的存在性，文獻(xiàn)[4][5]研究了Cahn- Hilliard方程的全局吸引子存在性。本文借助文[2]中的方法，考慮如下自治Cahn- Hilliard方程在有界區(qū)域上指數(shù)吸引子的存在性，

ut+v△2u=△f(u)，(x，t)∈Ω×(0，)

(1)

(2)

u(x，τ)=uτ(x)，t>τ。

(3)

其中Ω?Rn(n≤3)是具有光滑邊界的有界區(qū)域。

1 預(yù)備知識

f′(s)≤l，?s∈R，

(4)

(5)

?u，v∈B?V。

2 指數(shù)吸引子的存在性

引理3 假設(shè)f滿足條件(4)和(5)，u(t)、v(t)是問題(1)的兩個解。初值分別為u0，v0∈B，則

(6)

又由(4)式知

故有

由Poincare不等式可知:

應(yīng)用Gronwall引理可得

‖w(t)‖2≤e2lt‖w(0)‖2

其中Pm:V→Vm是正交投影。即對任意的w∈H可以進(jìn)行如下的正交分解

由于

(△(f(u)-f(v))，q)

(7)

如若不然，假設(shè)

因此

由定義2知擠壓性成立，即可得如下定理。

定理1 假定f滿足條件(4)和(5)，則方程(1)-(3)的解半群S(t)在L2(Ω)上存在指數(shù)吸引子。

[1] Teman R. Infinite- Dimensional Dynamicai Systems in Mechanics and Physics(Second Edition) [M].New York:Springer，1997.

[2] Dai Z，D，Guo B.Inertial Fractal sets for Dissipative zakharov Systems[J].A- cta Math Appl Sinica，1997，13(3):279-288.

[3] Eden A，F(xiàn)oias C，Kalantarov V.A remark on two constructions of exponential attractors for α- contractions[J].J Dyn Diff Eqs，1998，10:37-45.

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[5] 董超雨，姜金平，張曉明.粘性Cahn- Hilliard方程在L2(Ω)空間中的全局吸引子[J]．貴州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，30(4):7-8，35.

[6] SUN C Y，WANG S Y，ZHONG C K.Global Attractors for a Nonclassical Diffusion Equations[J].Acta Mathematic Sinina(English series)，2007，23(7):1271-1280.

(責(zé)任編輯：周曉南)

Exponential Attractors for Autonomous Cahn- Hilliard Equation on Bounded Domains

WANG Yan，JIANG Jinping*，ZHANG Feng，YAN Jianjun

(College of Mathematics and Computer Science, Yan’an University ,Yan’an 716000,China)

In this paper, by proving Lipschitz,and.and the squeezing property, the existence of exponentiall attractors for autonomous Cahn- Hilliard equation in the spaceL2(Ω) was gained.

autonomous Cahn- Hilliard equation; Lipschitz property; Squeezing property; exponential attractor

1000-5269(2016)06-0014-02

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.06.04

2016-04-26

2016年陜西省教育廳科研項(xiàng)目資助(16JK1856)；延安大學(xué)校級科研引導(dǎo)項(xiàng)目資助(YD2015-09)

王艷(1989-)，女，在讀碩士，研究方向:無窮維動力系統(tǒng)，Email: wangjinxiaxia@qq.com.

*通訊作者： 姜金平，Email:yadxjjp@163.com.

O175.29

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