非線性Schr?dinger方程的對(duì)稱約化和精確解

曹 瑞

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274015)

非線性Schr?dinger方程的對(duì)稱約化和精確解

曹 瑞*

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274015)

本文研究一類立方非線性Schr?dinger方程的對(duì)稱約化和精確解問(wèn)題。 首先，利用直接對(duì)稱方法，得到非線性Schr?dinger方程的對(duì)稱；其次，根據(jù)求解相應(yīng)的特征方程獲得非線性Schr?dinger 方程的相似約化；最后，結(jié)合輔助方程獲得非線性Schr?dinger方程的精確解。 這些解包括孤立波解、Jacobi橢圓函數(shù)解以及三角函數(shù)解。

非線性Schr?dinger方程的對(duì)稱；對(duì)稱約化；精確解；孤立子

作為描述復(fù)雜非線性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，非線性發(fā)展方程涉及了眾多自然科學(xué)領(lǐng)域，如物理學(xué)，化學(xué)，生物，工程等。 非線性發(fā)展方程的精確解在解釋復(fù)雜非線性現(xiàn)象中有著重要作用。 為了尋找非線性發(fā)展方程的精確解，許多專家和學(xué)者提出了一系列行之有效的求解非線性發(fā)展方程精確解的方法，例如齊次平衡法[1]，Painleve截尾展開(kāi)法[2]，Hirota直接法[3]，sine- cosine方法[4]，雙曲函數(shù)法[5]，試探函數(shù)法[6]，Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法[7]以及Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)方法一般化的F-展開(kāi)法[8]，G'/G展開(kāi)法[9，10]，對(duì)稱約化法[11，12]等。

利用這些方法得到了非線性發(fā)展方程許多豐富的精確解，其中包括孤立波解，周期波解，激波解等。

文獻(xiàn)[13]中研究了如下非線性Schr?dinger方程

其中p，q是非零實(shí)常數(shù)，ψ=ψ(x，t) 是關(guān)于變量x，t的復(fù)值函數(shù)。 N.Taghizadeh 等運(yùn)用首次積分方法構(gòu)造了非線性Schr?dinger方程的精確解。 當(dāng)p=1，q=μ時(shí)，我們可以得到文獻(xiàn)[14]中的方程，Ma 和Chen 利用直接方法獲得了非線性Schr?dinger方程的精確解。 在本文中我們討論如下的立方非線性Schr?dinger方程

(1)

其中ψ=ψ(x，t)是復(fù)函數(shù)，i2=-1。 非線性Schr?dinger方程(1)與它的各種推廣形式在非線性光學(xué)、等離子物理以及玻色-愛(ài)因斯坦凝聚等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[15-17]。 本文的目的是通過(guò)直接對(duì)稱方法尋找非線性Schr?dinger方程(1)的精確解。

本文第一部分，介紹直接對(duì)稱方法的基本思想；第二部分，利用直接對(duì)稱方法構(gòu)造非線性Schr?dinger方程的對(duì)稱；然后，根據(jù)求解相應(yīng)的特征方程組得到非線性Schr?dinger方程的相似約化；最后，通過(guò)一個(gè)四階輔助方程獲得了非線性Schr?dinger方程的精確解；第三部分，得出一些結(jié)論。

1 直接對(duì)稱方法

下面列出直接對(duì)稱方法的基本步驟: 對(duì)于給定的非線性偏微分方程

F(x，t，u，ut，ux，uxx，…)=0，

(2)

其中F是關(guān)于u及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。 利用直接對(duì)稱方法求方程對(duì)稱的基本步驟為：

第一步：假設(shè)方程(2)有下列形式的對(duì)稱

σ=α(x，t)ut+β(x，t)ux+γ(x，t)u+δ(x，t)，

(3)

其中α，β，γ，δ都是x，t的待定函數(shù)，而函數(shù)u滿足方程(2)。

(4)

將對(duì)稱(3)代入(4)式，得到關(guān)于u的決定方程組，令u的各階導(dǎo)數(shù)系數(shù)為零，解的α，β，γ，δ，進(jìn)而可求得相應(yīng)的對(duì)稱σ。

第二步：通過(guò)對(duì)稱σ為零求解一階偏微分方程，可以得到群不變量。

第三步：利用第二步得到的不變量約化原方程。

2 立方非線性Schr?dinger方程的對(duì)稱約化和精確解

2.1 方程的對(duì)稱

為了求出方程(1)的對(duì)稱，我們假定

σ=a(x，t)ψt+b(x，t)ψx+c(x，t)ψ+d(x，t)，

(5)

這里a(x，t)，b(x，t)，c(x，t)，d(x，t) 是待定函數(shù)，其中σ滿足下面的方程

(6)

將方程(5)代入方程(6)，并考慮方程(1)以及如下方程

(7)

a(x，t)=2c4t+c2，b(x，t)=c4x-c3t+c1，

c(x，t)=ic3x+ic5+c4，d(x，t)=0。

(8)

其中c1，c2，c3，c4，c5是任意常數(shù)。 由此可得所求對(duì)稱

σ= (2c4t+c2)ψt+(c4x-c3t+c1)ψx+

(ic3x+ic5+c4)ψ，

(9)

其交換圖如圖1所示。

[σi，σj]σ1σ2σ3σ4σ5σ100σ5σ10σ200-σ12σ20σ3-σ5σ10-σ30σ4-σ1-2σ2σ300σ500000

圖1 交換圖

(10)

從向量場(chǎng)(10)，可得對(duì)應(yīng)的五維李代數(shù)L={V1，V2，V3，V4，V5} ，有下列一組基

(11)

并且，可以得到與向量場(chǎng)(11)相對(duì)應(yīng)的單參數(shù)變換群

g1:(x，t，ψ)→(x+ε，t，ψ)，

g2:(x，t，ψ)→(x，t+ε，ψ)，

g4:(x，t，ψ)→(eεx，e2εt，e-εψ)，

g5:(x，t，ψ)→(x，t，e-iεψ)。

(12)

這里ε群參數(shù)，g1是空間變換 ，g2是時(shí)間變換，g3是伽利略變換 ，g4是尺度變換，g5是標(biāo)量變換。

根據(jù)上述單參數(shù)群可知，如果f(x，t)是方程(1)的解，那么ψi(i=1，2，3，4，5)也是方程(1)的解。

ψ1(x，t)=f(x-ε，t)，

ψ2(x，t)=f(x，t-ε)，

ψ4(x，t)=e-εf(e-εx，e-2εt)，

ψ5(x，t)=e-iεf(x，t)。

(13)

2.2 方程的對(duì)稱約化和精確解

本節(jié)利用方程σ=0的相容性求方程(1)的對(duì)稱約化及精確解。 方程(1)的對(duì)稱σ=(2c4t+c2)ψt+(c4x-c3t+c1)ψx+(ic3x+ic5+c4)ψ。

特征方程為

1. 當(dāng)c1=0，c2=0，c3=0，c4≠0，c5=0時(shí)，求解特征方程

可得

此時(shí)，f(ξ)滿足方程

(14)

2.當(dāng) c1≠0，c2≠0，c3=0，c4=0，c5≠0時(shí)，求解特征方程

可得

ξ=x-vt，ψ=f(ξ)e-iωt。

此時(shí)，f(ξ)滿足方程

(15)

并且若f(ξ)是上式的解，那么ψ=f(ξ)e-iωt就是方程(1)的解。

下面我們求方程(1)的精確解。 假設(shè)

ψ(x，t)=v(x，t)exp(iη)，η=αx+βt，

(16)

其中v(x，t)是實(shí)值函數(shù)，且α，β是實(shí)數(shù)。 把(16)代入，方程(1)成為一個(gè)實(shí)系統(tǒng)

vt+αvx=0，vxx-(α2+2β)v+2μv3=0。

(17)

令v(x，t)=v(ξ)，ξ=k(x-αt)，k≠0。方程(17)可化為

k2v″-(α2+2β)v+2μv3=0，

(18)

上式乘以2v′積分一次得到

(19)

情形1 Jacobi橢圓函數(shù)解

(1.1)當(dāng)a0=1，a2=-(1+m2)，a4=m2時(shí)，

ψ1=eiηsn(ξ)，ψ2=eiηcd(ξ)。

(1.2)當(dāng)a0=1-m2，a2=2m2-1，a4=-m2時(shí)，v(ξ)=cn(ξ)， 此時(shí)

ψ3=eiηcn(ξ)。

(1.3)當(dāng)a0=m2-1，a2=2-m2，a4=-1時(shí)，v(ξ)=dn(ξ)，此時(shí)

ψ4=eiηdn(ξ)。

(1.4)當(dāng)a0=m2，a2=-(1+m2)，a4=1時(shí)，

ψ5=eiηns(ξ)，ψ6=eiηdc(ξ)。

(1.5)當(dāng)a0=-m2，a2=2m2-1，a4=1-m2時(shí)，

ψ7=eiηnc(ξ)。

(1.6)當(dāng)a0=-1，a2=2-m2，a4=m2-1時(shí)，v(ξ)=nd(ξ)， 此時(shí)

ψ8=eiηnd(ξ)。

(1.7)當(dāng)a0=1，a2=2-m2，a4=1-m2時(shí)， v(ξ)=sc(ξ)，此時(shí)

ψ9=eiηsc(ξ)。

(1.8)當(dāng)a0=1，a2=2m2-1，a4=-m2(1-m2)時(shí)，v(ξ)=sd(ξ)，此時(shí)

ψ10=eiηsd(ξ)。

(1.9)當(dāng)a0=1-m2，a2=2-m2，a4=1時(shí)，v(ξ)=cs(ξ)，此時(shí)

ψ11=eiηcs(ξ)。

(1.10)當(dāng)a0=-m2(1-m2)，a2=2m2-1，a4=1時(shí)，v(ξ)=ds(ξ)，此時(shí)

ψ12=eiηds(ξ)。

ψ13=eiη(ns(ξ)±cs(ξ))。

ψ14=eiη(nc(ξ)±sc(ξ))。

ψ15=eiη(ns(ξ)±ds(ξ))。

ψ16=eiη(sn(ξ)±icn(ξ))。

情形2 三角函數(shù)解

(2.3)當(dāng)m→0時(shí)，情形1中的橢圓函數(shù)解ψ9退化三角函數(shù)解

ψ19=eiηtan(ξ)。

情形3 孤立子解

(3.3)當(dāng)m→1時(shí)，情形1中的橢圓函數(shù)解ψ3退化亮孤子解

ψ22=eiηsech(ξ)。

(3.4)當(dāng)m→1時(shí)，情形1中的橢圓函數(shù)解ψ1退化暗孤子解

ψ23=eiηtanh(ξ)。

注：(1)當(dāng)模m→1時(shí)，Jacobi橢圓函數(shù)退化為雙曲函數(shù)。

snξ→tanhξ，cnξ→sechξ，scξ→sinhξ，

csξ→cschξ，ncξ→coshξ。

(2)當(dāng)模m→0時(shí)，Jacobi橢圓函數(shù)退化為三角函數(shù)。

snξ→sinξ，cnξ→cosξ，scξ→tanξ，csξ→cotξ，

ncξ→secξ，nsξ→cscξ。

3 結(jié)語(yǔ)

本文把直接對(duì)稱方法應(yīng)用于具有重要物理背景的立方非線性Schr?dinger方程，成功得到了立方非線性Schr?dinger方程的對(duì)稱。 并根據(jù)所得對(duì)稱相應(yīng)的特征方程求出了方程的不變量和相似約化。 再通過(guò)行波約化，結(jié)合四階輔助方程獲得了立方非線性Schr?dinger方程的豐富的精確解，這些解包括孤立波解、Jacobi橢圓函數(shù)解以及三角函數(shù)解。當(dāng)Jacobi橢圓函數(shù)解中參數(shù)取特殊值時(shí)可以得到雙曲函數(shù)解、孤立波解。 這些精確解豐富了立方非線性Schr?dinger方程精確解的解系，同時(shí)，由于該方程是光學(xué)中的重要方程，這些得到的精確解將有助于物理上對(duì)該方程的研究。

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(責(zé)任編輯：周曉南)

Symmetry Reduction and Exact Solutions of Nonlinear Schr?dinger Equation

CAO Rui*

(Department of Mathematics, Heze University, Heze 274000, China)

Symmetry of nonlinear Schr?dinger equation was investigated. Applying direct symmetry method, symmetry of nonlinear Schr?dinger equation was derived. By solving corresponding characteristic equation associated with the symmetry equation, symmetry reduction of nonlinear Schr?dinger were obtained based on a fourth- order auxiliary equation, these solutions include solitary wave solutions, Jacobi elliptic function solutions and trigonometric function solutions.

nonlinear Schr?dinger equation; direct symmetry method; exact solution; soliton

1000-5269(2016)06-0001-04

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.06.01

2016-05-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(11347102，11401409)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(ZR2011AL018，ZR2011AQ008)；山東省高?？萍加?jì)劃項(xiàng)目資助(J13LI02)；荷澤學(xué)院自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(xy14KJ04)

曹瑞(1979-)，女，副教授，研究方向: 孤立子和可積系統(tǒng)，Email:ruicao999@126.com.

曹瑞，Email:ruicao999@126.com.

O175.2

A