M-矩陣性質(zhì)的注記

張瑞霞,任芳國(guó)

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710062)

M-矩陣性質(zhì)的注記

張瑞霞,任芳國(guó)

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710062)

首先利用M-矩陣的基本性質(zhì),討論了M-矩陣乘積及凸組合特性,獲得關(guān)于M-矩陣乘積及凸組合的相關(guān)結(jié)論;隨后通過(guò)比較矩陣及非負(fù)矩陣的性質(zhì),探討了矩陣的逆及行列式性質(zhì),推導(dǎo)出了M-矩陣的不等式關(guān)系.

M-矩陣;非負(fù)矩陣;比較矩陣;行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣

1 引言及預(yù)備知識(shí)

M-矩陣是一類重要的特殊矩陣,它在經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.M-矩陣是由Ostrowski在1937年首次提出的,作為矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)研究分支和方法,關(guān)于M-矩陣的研究一直備受關(guān)注[1-3].文獻(xiàn)[4-8]討論了M-矩陣的性質(zhì)，得出了一些關(guān)于M-矩陣的不等式，文獻(xiàn)[9-13]討論了逆M-矩陣的不等式及其相關(guān)不等式,文獻(xiàn)[14-16]研究了非負(fù)矩陣和M-矩陣之間的關(guān)系.文獻(xiàn)[17-18]研究了M-矩陣以及逆M-矩陣的主子式的問(wèn)題.在此基礎(chǔ)上,本文主要討論M-矩陣的乘法性質(zhì)及凸組合性質(zhì),得出關(guān)于M-矩陣的一些結(jié)果.

為了敘述方便,對(duì)符號(hào)進(jìn)行如下約定:Mn(R)表示實(shí)數(shù)域R上的所有n×n階矩陣的集合;AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置,|A|表示n階方陣(|aij|),ρ(A)表示矩陣A的譜半徑,其中A=(aij)∈Mn(R);設(shè)A=(aij)∈Mn(R),如果aij≥0,則稱A為非負(fù)矩陣,記作A≥0;設(shè)A=(aij)n,B=(bij)n∈Mn(R),如果B-A≥0,稱B控制A,記作A≤B.其他未加說(shuō)明的符號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

下面是與本論文有關(guān)的幾個(gè)定義及引理.

定義1[1]設(shè)Zn={A=(aij)∈Mn(R)|aij≤0,i≠j,i,j=1,2,…,n},稱Zn中的矩陣A為Z-矩陣.

定義2[1]若A∈Zn,如果A是正穩(wěn)定矩陣,稱A是M-矩陣.

定義4[1]設(shè)A∈Mn(R),如果A的比較矩陣M(A)是M-矩陣,稱A是H-矩陣.

引理1[1]若A∈Zn,則下列條件互相等價(jià):

(1) A是M-矩陣;

(2) A=αI-P,P≥0,α>ρ(P);

(3) A是非奇異的,且A-1≥0;

(4) 存在正對(duì)角矩陣D,使得DA+ATD正定;

(5)A的主對(duì)角元素是正的且存在正對(duì)角矩陣D,使得AD是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣;

(6) 存在正向量x>0,使得Ax>0;

(7) AT是M-矩陣.

引理2[1]A,B∈Zn是給定的矩陣,假設(shè)A=[aij]是M-矩陣,且B≥A.則

(1) B是M-矩陣;

(2) A-1≥B-1≥0;

(3) detB≥detA>0.

引理3[2]設(shè)A=(aij)n,B=(bij)n∈Mn(R)且B是非負(fù)矩陣,如果A≤B,則有ρ(A)≤ρ(B).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A∈Mn是M-矩陣,D∈Mn(R)是正對(duì)角矩陣,則DA和AD也是M-矩陣.

證明 (1) 首先證DA是M-矩陣.由于A∈Mn是M-矩陣且D是正對(duì)角矩陣,則DA∈Zn.由于A是M-矩陣,則由引理1中(4)知,存在一個(gè)正對(duì)角矩陣E,使得EA+ATE正定.此外對(duì)于正對(duì)角矩陣D,顯然ED-1也是正對(duì)角矩陣,且有(ED-1)(DA)+(DA)T(ED-1)=EA+ATE正定,于是由引理1中(4)可得,DA是M-矩陣.(2)其次證AD是M-矩陣.設(shè)A∈Mn是M-矩陣,由引理1中(7)可知,AT也是M-矩陣.由已證得(1)可知DAT是M-矩陣,因此由引理1中(7)得,(DAT)T=ADT=AD是M-矩陣.綜上可知,DA和AD都是M-矩陣.

定理2 設(shè)A,B∈Mn是M-矩陣,則

(1) AB是M-矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AB∈Zn;

(2) 如果A,B是2階方陣,則AB是M-矩陣.

證明 (1) 若AB是M-矩陣,顯然有AB∈Zn;若AB∈Zn,因?yàn)锳,B∈Mn是M-矩陣,由引理1中(3)得A和B都是非奇異矩陣,且A-1≥0,B-1≥0.因此,(AB)-1=B-1A-1≥0,于是由引理1(3)知,AB是M-矩陣.

注 一般地,兩個(gè)M-矩陣的乘積不一定是M-矩陣,如

定理3 設(shè)A,B∈Mn(R)是M-矩陣,α∈[0,1],則

(1) 若αA+(1-α)B是M-矩陣,則B-1A沒(méi)有負(fù)的實(shí)特征值;

(2) 如果B-1A是M-矩陣,則A和B的凸組合是M-矩陣;

(3) B-1A是M-矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B-1A∈Zn.

證明 (1)假設(shè)B-1A有負(fù)的實(shí)特征值-λ,其中λ>0,即

det(-λI-B-1A)=(-1)ndet(λI+B-1A)=0,

這與αA+(1-α)B是M-矩陣矛盾,因此B-1A沒(méi)有負(fù)的實(shí)特征值.

(2) 因?yàn)棣罙+(1-α)B=B(αB-1A+(1-α)I),且A,B都是M-矩陣,所以A∈Zn,B∈Zn,αA+(1-α)B∈Zn.又B-1A是M-矩陣,所以αB-1A+(1-α)I,α∈[0,1]是M-矩陣.又B是M-矩陣,αA+(1-α)B=B(αB-1A+(1-α)I)∈Zn,由定理2知,αA+(1-α)B是M-矩陣.

(3) 必要性.設(shè)B-1A是M-矩陣,顯然有B-1A∈Zn.

充分性.由于A是M-矩陣,由引理1中(6)知,存在正向量x>0,使得Ax>0.再由B是M-矩陣,知B-1≥0,顯然B-1的每一行至少有一個(gè)是正數(shù),所以B-1Ax>0,故由引理1中(6)知,B-1A是M-矩陣.

定理4 設(shè)A,B∈Zn,且A是M-矩陣,且B≥A,則

(1) B-1A≤I且AB-1≤I,

(2) B-1A和AB-1都是M-矩陣,

(3) 對(duì)于所有的α∈[0,1],αA+(1-α)B是M-矩陣,

(4) ?α∈[0,1],αC+(1-α)I是M-矩陣,其中C=B-1A或C=AB-1,

(5) (αA+(1-α)B)-1≤αA-1+(1-α)B-1,?α∈[0,1].

證明 (1) 由引理2(1)知,B是M-矩陣,則 B-1≥0,于是由B≥A知,B-1(B-A)≥0且(B-A)B-1≥0,因而有B-1A≤I,且AB-1≤I.

(2) 由已證得(1)知B-1A∈Zn,AB-1∈Zn,此外由于B≥A,即B-A≥0,以及A是M-矩陣知,(B-A)A-1≥0且A-1(B-A)≥0,即A-1B≥I,BA-1≥I,因而A-1B,BA-1都是非負(fù)矩陣,再由于(B-1A)-1=A-1B,(AB-1)-1=BA-1及由引理1中(3)知,BA-1與AB-1都是M-矩陣.

(3) 因?yàn)锳∈Zn,B∈Zn,所以?α∈[0,1],αA+(1-α)B∈Zn,又因?yàn)锳≤B,于是有A≤αA+(1-α)B≤B,由引理2中(1)知,αA+(1-α)B是M-矩陣.

(4) 因?yàn)镃是M-矩陣,所以?α∈[0,1],αC+(1-α)I∈Zn且有αC+(1-α)I≥αC.當(dāng)α=0時(shí),顯然αC+(1-α)I=I是M-矩陣,當(dāng)α≠0時(shí),由引理2(1)知,αC+(1-α)I是M-矩陣.

(5) 令G=AB-1,?α∈[0,1],由于

及B,G,αG+(1-α)I都是M-矩陣且I-G≥0，可知B-1≥0,C-1≥0,(αC+(1-α)I)-1≥0,于是就有αA-1+(1-α)B-1-(αA+(1-α)B)-1≥0,因此(αA+(1-α)B)-1≤αA-1+(1-α)B-1.

定理5 設(shè)A,B=[bij]∈Mn(R),如果A是M-矩陣,且M(B)≥A,則有

(1) B是H-矩陣;

(2) B與|B|都是可逆矩陣;

(3) 0≤|B-1|≤A-1;

(4) 0

證明 (1) 由于M(B)∈Zn,又M(B)≥A,則由引理2中(1)知,M(B)是M-矩陣,因此B是H-矩陣.

(2) 因?yàn)镸(B)是矩陣M-矩陣,由引理1中(5),存在正對(duì)角矩陣D使得M(B)D是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu).由于

所以BD與|B|D都是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),因而B(niǎo)D與|B|D是可逆矩陣.再由D是可逆陣知,B與|B|都是可逆矩陣.

[1] HORN R A,JOHNSON C R.Topics in matrix analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1991:112-133.

[2] HENRY M.Nonnegative matrices[M].New York:Wiley-Interscience Publication,1988:36-39；141-163.

[3] BERMAN A,PLEMMONS R J.Nonnegative matrices in the mathematical sciences[M].New York:Academic Press,1994:132-161.

[4] POOLE G,BOULLION T.A Survey onM-matrices[J].SIAM Review,1974,16(4):419-427.

[5] ANDOT.Inequalities forM-matrices[J].Linear and Multilinear Algebra,1980，67(8):291-316.

[6] 張曉東，楊尚駿.M-矩陣的行列式不等式[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1996，13(3):107-111.

ZHANG Xiaodong,YANG Shangjun.Inequalities for determinants ofM-matrices[J].Journal of Engineering Mathematics,1996,13(3):107-111.

[7] 杜吉佩,楊尚駿.可逆M-矩陣兩個(gè)問(wèn)題的討論[J].沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，22(3):165-168.

DU Jipei,YANG Shangjun.Discuss on two questions of inverseM-matrices[J].Journal of Shenyang Normal University:Natural Science,2004，22(3):165-168.

[8] 趙建中，楊傳勝，周本達(dá).M-矩陣的性質(zhì)與Hadamard-Fisher不等式的注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué) ，2008，24(2):113-117.

ZHAO Jiaozhong,YANG Chuansheng,ZHOU Benda.The properties ofM-matrices and notes aboutM-matrix′s Hadamard inequuality[J].College Mathematics,2008，24(2):113-117.

[9] LEWIN M,NEUMANN M.On the inverseM-matrix problem for (0,1) matrices[J].Linear Algebra and its Applications,1980,30:41-50.

[10] JOHNSON C R.InverseM-matrices [J].Linear Algebra and its Applications,1982,47:195-216.

[11] CHEN Shencan.Inequalities forM-matrices and iverseM-matrices[J].2007，426(2/3):610-618.

[12] NEUMAN M,NUNG Sing Sze.On the inverse mean first passage matrix problem and the inverseM-matrices problem[J].Linear Algebra and its Applications,2011,434(7):1620-1630.

[13] JOHNSON C R,SMITH R L.InverseM-matrices II[J].Linear Algebra and its Applications,2011,435:953-983.

[14] PENA J M.M-matrices whose inverses are totally positive[J].Linear Algebra and its Applications,1995,221:189-193.

[15] MARKHAM T L.Nonnegative matrices whose inverse areM-matrices[J].Proceedings of American Mathematical Society,1972,36(2):326-330.

[16] 朱輝華，劉建州.非負(fù)矩陣是逆M-矩陣的充要條件及其[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，22(2):13-15.

ZHU Huihua,LIU Jianzhou.The necessary and sufficient condition of inverseM-matrices[J].Journal of Hunan Institute of Science and Technology,2009，22(2):13-15.

[17] JOHNSON C R,SMITH R L.Almost principal minors of inverseM-matrices[J].Linear Algebra and its Applications,2001,337:253-265.

[18] BIERKENS J,RAN A.A singularM-matrix perturbed by a nonnegative rank one matrix has positive principal minors; is it D-stable?[J].Linear Algebra and its Applications,2014,457:191-208.

編輯、校對(duì)：師 瑯

Notes on the properties ofM-matrices

ZHANGRuixia,RENFangguo

(School of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710062,China)

The products and convex combination ofM-matrices are discussed on the base ofM-matrix basic properties, to some conclusion and some properties in these special operations are obtained. The inverse and determinant of matrix are investigated by using the characterization of comparison matrix and nonnegetive matrix,some inequality relationship ofM-matrix are presented.

M-matrix; nonnegative matrix;comparison matrix;strictly row diagonally dominant matrix

1006-8341(2016)04-0419-05

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.001

2016-07-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471200)

任芳國(guó)(1969—),男，陜西省乾縣人，陜西師范大學(xué)副教授，研究方向?yàn)榫仃囌?

E-mail:rfangguo@snnu.edu.cn

張瑞霞,任芳國(guó).M-矩陣性質(zhì)的注記[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2016,29(4)：419-423.

ZHANG Ruixia,REN Fangguo.Notes on the properties ofM-matrices[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):419-423.

O 152.21

A