雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的籃子期權(quán)定價

淡靜怡,薛 紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的籃子期權(quán)定價

淡靜怡,薛 紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

為了更貼合股票價格變化的實際過程,假定股票價格遵循雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程, 在期望收益率和波動率均為常數(shù)的情況下, 利用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的隨機(jī)分析理論和保險精算方法,得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的歐式幾何籃子期權(quán)定價公式.

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動;保險精算方法;幾何籃子期權(quán)

0 引 言

隨著金融市場的不斷發(fā)展,期權(quán)種類不斷增多,近年來市場上出現(xiàn)了許多新型期權(quán).籃子期權(quán)就是新型期權(quán)的一種,由于其在價格上的優(yōu)勢與其本身所具有的靈活性,使得人們對這種投資組合型期權(quán)的需求在不斷增加. 籃子期權(quán)是一種多資產(chǎn)期權(quán),其收益由多個標(biāo)的資產(chǎn)的加權(quán)平均價格決定,歐式籃子期權(quán)的加權(quán)平均價格可分為幾何平均和算數(shù)平均.對于籃子期權(quán)的定價問題的研究始于1973年Merton于文獻(xiàn)[1]中在標(biāo)的股票價格滿足Black-Scholes模型下給出的歐式看漲期權(quán)定價公式. 文獻(xiàn)[2-3]給出了其他類型的籃子期權(quán)價格公式. 文獻(xiàn)[4]利用風(fēng)險中性方法給出了布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式幾何籃子期權(quán)定價公式. 文獻(xiàn)[5]利用偏微分方程得到了布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式幾何籃子期權(quán)定價公式,由于幾何布朗運(yùn)動本身的局限性,使其只能描述股價與過去無關(guān)的股票價格,而無法準(zhǔn)確描述股價未來變化情況與過去有關(guān)的股票價格.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是一種具有平穩(wěn)增量但不具有獨立增量的高斯過程,這使基能夠描述未來股價與過去有關(guān)的股價變動過程.文獻(xiàn)[6]利用保險精算法討論了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式籃子期權(quán)定價公式.有關(guān)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的期權(quán)定價問題可參見文獻(xiàn)[7-8].作為是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的推廣,雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是一種比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動更一般的自相似高斯過程,它不僅具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動所具有的性質(zhì),且其增量不具有平穩(wěn)性,這使其能夠描述一些分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動所不能描述的股價變化過程.文獻(xiàn)[9]首次提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的概念.用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程來刻畫資產(chǎn)的價格變化更符合實際的需求,可以描述更廣泛的金融現(xiàn)象[10-13]. 目前有關(guān)期權(quán)定價的方法主要有風(fēng)險中性方法、偏微分方程方法和保險精算方法等,其中保險精算方法不但適用于無套利完備的金融市場,適用于有套利不完備的金融市場,其思想是將期權(quán)定價問題轉(zhuǎn)化為公平保費問題. 有關(guān)保險精算方法的應(yīng)用可參見文獻(xiàn)[14-15]. 當(dāng)前國內(nèi)外對雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的各種期權(quán)定價的研究比較少. 本文在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下,建立更貼合市場的金融數(shù)學(xué)模型,對籃子期權(quán)定價公式進(jìn)行推廣，得到雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式幾何看漲、看跌籃子期權(quán)定價公式，以及兩者之間的平價關(guān)系.

1 金融市場模型

其中H∈(0,1),K∈(0,1].

當(dāng)K=1時,雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動就退化為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動,當(dāng)K=1,H=1/2時,雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動就退化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.

假設(shè)股票價格Si(t)滿足微分方程

(1)

引理1 隨機(jī)微分方程(1)的解為

定義2[17]股票價格{Si(t),t≥0}在[t,T]上的期望回報率βi(u),u∈[t,T]定義為

引理2 股票價格{Si(T),T≥0}在[t,T]上的期望回報率βi(u),u∈[t,T]為

βi(u)=μi,u∈[t,T].

證明 由引理1可知

又因為

所以

2 籃子期權(quán)定價公式

歐式幾何籃子期權(quán)的收益函數(shù)為

定義3 (ⅰ)歐式幾何看漲籃子期權(quán)在0時刻的保險精算價格定義為

(2)

(ⅱ) 歐式幾何看跌籃子期權(quán)在0時刻的保險精算價格定義為

(3)

定理1 歐式幾何看漲籃子期權(quán)在0時刻的保險精算價格為

(4)

其中

令

(5)

將式(5)化簡后兩邊取對數(shù)得

的高斯過程, 因此可得

令

(6)

由式(6)可得

且

因此得證

定理2 歐式幾何籃子看跌期權(quán)的保險精算價格為

其中

證明 類似定理1的證明.

推論1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下,歐式幾何籃子期權(quán)看漲與看跌的平價關(guān)系為

注 當(dāng)K=1時, 可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的歐式幾何籃子期權(quán)定價公式[6]. 特別地當(dāng)H=1/2時, 可得布朗運(yùn)動環(huán)境下的歐式幾何籃子期權(quán)定價公式[5].當(dāng)n=1時,可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式期權(quán)定價公式[18].

3 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上,采用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動刻畫金融市場的資產(chǎn)價格,使其更符合實際,利用隨機(jī)分析理論與保險精算方法,得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下籃子期權(quán)定價公式,并對分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的籃子期權(quán)定價的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了推廣,使其更具有實際意義. 本文假定利率為常數(shù),對于非常數(shù)利率情形下的籃子期權(quán)定價問題還有待于進(jìn)一步研究.

[1] MERTON R C.The theory of rational option pricing[J].Bell Journal of Economics and Management Sciences,1973,(4):141-183.

[2] KLADIVKO K.Maximum likelihood estimation of the Cox-Ingersoll-Ross process:The Matlab implementation[J].Department of Statistics and Probability,2008(5):1-10.

[3] GRIEBSCH S A,WYSTEP U.On the valuation of fader and discrete barrier options in stochastic volatility model[J].Quantitative Finance,2011,11(8):1271-1271.

[4] 陳松男.金融工程學(xué)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2002:78-84.

CHEN Songnan.Financial engineering[M].Shanghai:Fudan University Press,2002:78-84.

[5] 姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003:224-226.

JIANG Lishang.Mathematical models and methods of option pricing[M].Beijing:Higher Education Press,2003:224-226.

[6] 黨柳夢,薛紅,盧俊香.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式籃子期權(quán)定價[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)：自然科學(xué)版，2013,29(5):599-600.

DANG Liumeng,XUE Hong,LU Junxiang.Pricing of european basket option in fractional Brownian motion environment[J].Journal of Harbin University of Commerce:Natural Sciences Edition,2013,29(5):599-600.

[7] 孫玉東,薛紅.分?jǐn)?shù)型歐式期權(quán)定價模型[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報,2009,22(2):204-206.

SUN Yudong,XUE Hong.Fractional european option pricing model[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2009,22(2):204-206.

[8] 何永紅,薛紅,王曉東.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下再裝期權(quán)的保險精算方法[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報,2012,25(3):384-387.

HE Yonghong,XUE Hong,WANG Xiaodong.The actuarial approach to reload option pricing in fractional Brownian motion environment[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2012,25(3):384-387.

[9] HOUDRE C,VILLA J.An example of infinite dimensional quasi-helix[J].Contemporary Math，2003,336:195-201.

[10] 肖瑋麟,張衛(wèi)國,徐維東.雙分式布朗運(yùn)動下股本權(quán)證的定價[J].系統(tǒng)工程學(xué)報,2013,28(3):348-354.

XIAO Weiling,ZHANG Weiguo,XU Weidong.Pricing equity warrants in a bifractional Brownian motion[J].Journal of Systems Engineering,2013,28(3):348-354.

[11] YAN Litan,XIANG Jing.The generalized quadratic covariation for a bi-fBm[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2011,28(5):587-603.

YAN Litan,XIANG Jing.The generalized quadratic covariation for a bi-fBm[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University,2011,28(5):587-603.

[12] XUE Hong,WU Jiangzeng.Pricing european option under bi-fractional jump-diffusion process[C]//The 2015 3rd International Conference on Advanced Information and Communication Technology for Education,Guangzhou:Atlantis Press,2015:267-270.

[13] 閆理坦.混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的信用風(fēng)險模型[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2012,29(5):586-592.

YAN Litan.A Model of credit risk drived by mixed-bi-fractional Brownian motion[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University,2012,29(5):586-592.

[14] 鄭紅,郭亞軍,李勇,等.保險精算方法在期權(quán)定價模型中的應(yīng)用[J].東北大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,29(3):429-432.

ZHENG Hong,GUO Yajun,LI Yong,et al.Application of actuarial approach to option pricing model[J].Journal of Northeastern University:Natural Science Edition,2008,29(3):429-432.

[15] 閆海峰,劉三陽.廣義Black-Scholes模型期權(quán)定價新方法——保險精算方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003,24(7):730-739.

YAN Haifeng,LIU Sanyang.New method to option pricing for the general Black-Scholes model——An acturarial approach[J].Applied Mathematics and Mechanics,2003,24(7):730-739.

[16] RUSSO F,TUDOR C.On the bi-fractional Brownian motion[J].Stochastic Processes and Applications,2006,116(5):830-856.

[17] BLADT M T,RYDBERG H.An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumption[J].Insurance:Mathematical and Economics,1998,22(1):65-73.

[18] 孫玉東,薛紅.分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散環(huán)境下歐式期權(quán)定價的Ornstein-Uhlenbeck模型[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2009,26(3):24-28.

SUN Yudong,XUE Hong.Ornstein-Uhlenbeck model of european option pricing in fractional jump-diffusion environment[J].Mathematics in Economics,2009,26(3):24-28.

編輯、校對：師 瑯

Pricing of basket option in bi-fractional Brownian motion environment

DANJingyi,XUEHong

(School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048, China)

In order to fit the actual process of stock price changes, assume that the stock price follows the stochastic differential equations driven by bi-fractional Brownian motion, the expected returns and the volatility are constant. The pricing of basket option is discussed by bi-fractional Brownian motion stochastic differential theory and the insurance actuary approach,and the pricing formula of european geometric basket option in bi-fractional jump-diffusion environment is obtained.

bi-fractional Brownian motion; insurance actuary approach; geometric european basket option

1006-8341(2016)04-0460-05

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.008

2016-05-11

陜西省教育廳自然科學(xué)專項基金資助項目(14JK1299)

薛紅(1964—),男,山西省萬榮縣人,西安工程大學(xué)教授,博士,研究方向為隨機(jī)分析與金融數(shù)學(xué).

E-mail:xuehonghong@sohu.com

淡靜怡,薛紅.雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的籃子期權(quán)定價[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報,2016,29(3)：460-464.

DAN Jingyi, XUE Hong.Pricing of basket option in bi-fractional Brownian motion environment[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(3):460-464.

O 211;F 830

A