注重通性通法,回歸本真課堂
——對一般數(shù)列基本量及基本關系教學的思考

◇ 甘肅 程斌斌

注重通性通法,回歸本真課堂
——對一般數(shù)列基本量及基本關系教學的思考

◇ 甘肅 程斌斌

隨著新課改的深入,高中數(shù)學教學及評價都發(fā)生了很大變化.以全國卷Ⅱ“數(shù)列”內(nèi)容為例,高考考查要求較之前有所降低,這導致了我們在教學中對這一部分的要求也隨之降低,通常是重點學習高考頻率較高的等差數(shù)列、等比數(shù)列.

宋明理學包含兩大流派——“程朱理學”和“陸王心學”，這兩大流派代表人物的觀點中有相同之處也有不同之處，學生難以區(qū)分，因此教師可提供以下幾則材料幫助學生分析理解“程朱理學”與“陸王心學”的異同。

《普通高中數(shù)學課程標準》對數(shù)列的教學內(nèi)容與要求是:

1)數(shù)列的概念和簡單表示法;

晚飯開始進行，祖輩坐在正桌正位，兒孫們圍坐在周圍，媳婦侍奉一家老小，忙前忙后，不能上桌。除夕晚飯菜肴豐富，但以手把肉為主，手把肉好的部位要首先請長輩們享用，長輩們也將肉切割成若干份分給晚輩們。吃飯時，晚輩不能先于長輩動筷子進食，這被視為對長輩不尊重、不懂規(guī)距。

2)等差數(shù)列、等比數(shù)列.

從圖1可見，1) 在350 nm波長處生物總堿的吸光度隨小檗堿標準溶液濃度升高而升高，即二者間存在線性關系，其回歸方程為y=0.022 4x+0.009 7(R2=0.999 4)，即小檗堿溶液濃度為7.712～38.56 μg/mL時與吸收度有良好的線性關系。2) 隨著小檗堿含量(C)升高，峰面積(A)呈上升趨勢，二者間存在線性關系，其直線回歸方程為A=0.025 2C-0.100 2(R2=0.999 9)。表明，小檗堿含量在48.2～867.6 μg與峰面積有良好的線性關系。

平常教學中,我們只注重等比、等差這些特殊的數(shù)列,弱化了一般數(shù)列,所以我們要重新審視數(shù)列的教學.下面通過對相關高考題的研究,針對此問題談一些自己的認識.

1 一般數(shù)列中的基本量

對于一般數(shù)列{an}有3個基本量:序號n,通項an,前n項和Sn.

2 一般數(shù)列中的基本關系

一個數(shù)列的基本關系是上述3個基本量之間或內(nèi)部的關系.

當出霧口管徑為51 mm時，則所需吹氣流量Q為:Q=π×(0.051÷2)2×0.27=33.1 L/min由式(4)可得出式(5):

1)通項公式.

實質(zhì)是數(shù)列{an}的第n項an與序號n這2個基本量之間的關系式.

線上教學是普通高校社區(qū)學院的重要教學方式，網(wǎng)絡學習可以有效緩解社區(qū)成員的工學矛盾，減輕社區(qū)成員路途不便、行動不便、時間不便等問題。許多普通高校利用網(wǎng)絡教育平臺開展社區(qū)教育，建設網(wǎng)上學習社區(qū)、虛擬社區(qū)學院、數(shù)字社區(qū)學習環(huán)境的技術條件已經(jīng)成熟，網(wǎng)絡教育的課程體系、教育手段應用、支持服務體系比較成熟。社區(qū)學院應充分運用現(xiàn)代信息技術，打造網(wǎng)絡教學、移動教學、泛在學習、微課程學習、MOOC學習等現(xiàn)代學習方式。

2)遞推公式.

如果數(shù)列{an}的第n項與它前1項或幾項的關系可以用一個式子來表示,那么這個關系式叫做這個數(shù)列的遞推公式.數(shù)列的遞推公式可以認為是基本量an內(nèi)部的關系式.

3)an與Sn的關系.

4)由關系式f(an,Sn)＝0求an及Sn.

3 與一般數(shù)列基本量、基本關系相關的問題及解法

1)由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項an.

此類問題需仔細觀察分析,抓住其幾方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相鄰項的聯(lián)系特征;拆項后的各部分特征;符號特征等.應多進行對比、分析,從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.

2)由數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項公式.

此類問題一般只要求寫出數(shù)列的前幾項,求通項可用歸納、猜想的方法.如果數(shù)列的前幾項規(guī)律不好找,猜想通項公式有難度,往往需要通過累加、累乘、構造等方法進行推導.

氣壓傳感器一旦發(fā)生了故障，就會導致氣象站不能夠準確獲取氣壓信息，一般情況下氣壓傳感器發(fā)生了故障之后需要及時進行斷電處理，將氣壓傳感器的供電電源快速切斷。氣壓傳感器的主要故障表現(xiàn)為氣壓值具體數(shù)值起伏不定，脫離正常的數(shù)值范圍，此時就需要查看氣壓傳感器的接線狀況。首先需要檢車各個部件的鏈接，以及通氣口是否暢通，部分的故障是由通氣口存在異物造成的。如果不是外界的因素影響到了氣壓傳感器導致故障的產(chǎn)生，那么可能是傳感器自身的老化和損壞，需要進行更換新設備。

例1數(shù)列{an}中,a1＝1,an＋1＝3an＋2,則它的通項公式an＝________.

賴爾，本名周麗，作家，曾獲中國“五個一工程獎”貢獻獎，因其作品長篇魔幻小說《魔法城》而被意少小讀者熟知。生活中的她，時而是縱橫游戲世界大殺四方的女漢子，時而是獨自行走領略各國風情的游者，時而又是咖啡館里安靜讀書的文藝淑女……自由灑脫和沉穩(wěn)睿智這兩種特質(zhì)在她身上得以完美融合。

黃偉想對孫敬文說什么,傅正悄悄扯了他一下,對他使眼色,意思是,沒事,他姐哄哄他就好了。黃偉沒再說什么,跟著傅正離去。

又a1＝1也滿足上式,故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2×3n－1－1.

3)由數(shù)列的前n項和Sn求數(shù)列的通項an.

此類問題的求解可直接利用關系式

當n＝1時,若a1適合Sn－Sn－1,則n＝1的情況可并入n≥2時的通項an;若a1不適合Sn－Sn－1,則用分段函數(shù)的形式表示.

例3(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn＝2an－1(n∈N?),則an＝________.

解析

由Sn＝2n＋1,得Sn－1＝2n－1＋1,2式相減

通過這個案例我們發(fā)現(xiàn)開展教學時，可以根據(jù)小學生對新鮮事物有特殊的興趣，抓住了他們的獵奇心理，設計好有趣的活動和游戲環(huán)節(jié)，為學生搭建了一個“見異思遷”的思維連接點，整個教學設計以學生原有知識經(jīng)驗為基礎，為學生提供多樣化學習資源，創(chuàng)設生動有趣的學習環(huán)境，創(chuàng)設特定的審美情景。使學生在合作中積極、主動參與學習，提高學生學習的興趣，從而訓練學生思維的連貫性、變通性和發(fā)散性，同時豐富學生的想象力、挖掘?qū)W生的創(chuàng)造潛能，真正成為學習的主人。

因為當n＝1時,a1＝S1＝21＋1＝3,所以

為了更好的方便學生線上的學習，必須認真設計網(wǎng)絡教學平臺。本課程的教學平臺內(nèi)容主要包括，課程信息、教學資源、單元學習、拓展學習、課程活動等。單元學習是學生集中學習的地方。它集中了7個項目，每個項目又分為若干個任務。每個任務又根據(jù)課前、課中、課后的這三個線上學習環(huán)節(jié)的需要分為：課前導學、任務實施和拓展提升。

例2在數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn＝2n＋1,求an.

得an＝2n－2n－1＝2n－1,a1＝20＝1.

(2)(2015年全國卷Ⅱ)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1＝－1,an＋1＝SnSn＋1,則Sn＝________.

解析

(1)當n＝1時,S1＝2a1－1,所以a1＝1.當n≥2時,Sn－1＝2an－1－1,所以an＝2an－2an－1,從而an＝2an－1.所以{an}是等比數(shù)列且a1＝1,q＝2,故an＝2n－1.

(2)由式an＋1＝Sn＋1－Sn,代入已知條件可得

2017年，某零售企業(yè)的零售網(wǎng)點包括小區(qū)周邊連鎖便利超市已經(jīng)超過3212家，陜西、山西、甘肅、青海、寧夏、河北、河南等7個省份都有其業(yè)務，年銷售總額突破40億元。經(jīng)營規(guī)模持續(xù)擴大，原本企業(yè)有一個自營的小配送中心，它的功能幾乎和傳統(tǒng)倉庫一樣，自營配送中心占地面積小，設施設備落后，缺乏信息技術管理，工作人員信息素養(yǎng)相對較低。消費市場需求愈加旺盛，就得增加門店銷售商品品種和數(shù)量，現(xiàn)有配送中心無論從軟件還是硬件上就無法滿足企業(yè)經(jīng)營規(guī)模擴大的需要。落后的配送中心經(jīng)營已經(jīng)不適應現(xiàn)在經(jīng)營的需求，服務跟不上時代的需要。

5)基本關系式的綜合應用.

例4設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.

(1)設bn＝an＋1－2an,證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列{an}的通項公式.

其二，對自由時間的認識。在馬克思那里，人的全面自由發(fā)展的基礎就在于對自由時間的充分享有。已有成果主要集中于對自由時間的內(nèi)涵、存在空間和存在意義等維度的研究，充分肯定自由時間對人的全面自由發(fā)展的意義的同時，努力探尋自由時間實現(xiàn)的現(xiàn)實性路徑。

又bn＝an＋1－2an,所以bn＝2bn－1,故{bn}是首項b1＝3、公比為2的等比數(shù)列.

總之,基本量法既是解決等差、等比數(shù)列的重要方法,也是解決一般數(shù)列的常用方法.由此可見,我們在教學中應強調(diào)通性通法的教學而淡化一些技巧性的內(nèi)容,這樣的數(shù)學課堂才是回歸本真的高效課堂.

(作者單位:甘肅省張掖市肅南裕固族自治縣第一中學)