改進灰色GM(1,1)模型在滑坡預測中的應用

王旭昭，侯 磊，蘇 龍*，白夢潔

（1.湖南農(nóng)業(yè)大學 資源環(huán)境學院，湖南 長沙 410128；2.湖南農(nóng)業(yè)大學 東方科技學院，湖南 長沙 410128）

改進灰色GM(1,1)模型在滑坡預測中的應用

王旭昭1，侯 磊2，蘇 龍1*，白夢潔1

（1.湖南農(nóng)業(yè)大學 資源環(huán)境學院，湖南 長沙 410128；2.湖南農(nóng)業(yè)大學 東方科技學院，湖南 長沙 410128）

滑坡形成因素復雜，具有典型的灰色不確定性。為研究滑坡發(fā)展趨勢，在已有滑坡預測技術的基礎上，分析了典型灰色GM(1,1)模型在運算過程的誤差原因，建立了改進灰色GM(1,1)模型；并運用滑坡實例驗證了改進模型，直觀顯示曲線擬合情況。結果表明，改進后的模型預測精度等級明顯提高，相對誤差減?。徽f明所建滑坡預測模型效果好，在滑坡位移預測中有效可行。

灰色理論；改進；GM(1,1)模型；滑坡預測

由于滑坡地質(zhì)過程、形成條件、誘發(fā)因素的復雜性、多樣性及其變化的隨機性、不穩(wěn)定性，導致滑坡動態(tài)信息難以捕捉。建立滑坡預測模型可以有效減少滑坡災害對人民生命財產(chǎn)的危害。針對滑坡預測模型，李秀珍[1]、王騰軍[2]等通過不同計算方法對傳統(tǒng)GM(1,1)模型進行優(yōu)化，建立的滑坡預測模型精度均有不同程度的提高，但未對傳統(tǒng)模型公式的不合理性進行改進；曹洪洋[3]等采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡方法和GIS分析技術，建立了群發(fā)性降雨型滑坡災害預測模型；畢華興[4]、喻根[5]等采用GIS技術建立了滑坡預測模型；賀小黑[6]、周中[7]等對Verhulst模型進行了相關改進，并建立了滑坡預測模型。這些滑坡預測模型的建立為滑坡預測分析提供了重要參考。

大多數(shù)滑坡預測模型都是根據(jù)灰色預測理論建立的，其中灰色GM(1,1)模型最為常用，其彌補了傳統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計的不足，對于樣本的多少、有無規(guī)律均無要求。GM(1,1)模型是一階單變量微分方程，與利用離散數(shù)據(jù)所建立的、按時間作逐段分析的、遞推的、離散的模型有著本質(zhì)的區(qū)別。GM(1,1)模型不是原始數(shù)學模型，而是生成數(shù)據(jù)序列模型；通過對生成數(shù)列的處理，使無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性[8-9]；但傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型存在預測精度不高的問題。鑒于此，何昕[10]、馬維軍[11]等分別運用馬爾科夫鏈理論、補充殘差和加權平均的方法對灰色GM(1,1)模型進行了改進，并對改進后的模型進行了誤差檢驗；結果表明，改進后的灰色GM(1,1)模型的精度均有所提高，但上述改進并沒有針對模型公式本身的不足進行優(yōu)化。本文通過對模型公式的分析，采用自動尋優(yōu)定權法及最小二乘法對灰色GM(1,1)模型進行改進，并運用長、短期監(jiān)測數(shù)據(jù)（新灘滑坡、黃茨滑坡的監(jiān)測數(shù)據(jù)）對改進后的模型進行了實例分析。

1 灰色GM(1,1)模型的建立

基于灰色GM(1,1) 模型的滑坡預測模型是由一個包含單變量的一階微分方程構成的模型。其建模的實質(zhì)是對原始數(shù)據(jù)先進行一次累加生成，使生成的數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)一定規(guī)律，然后通過建立一階微分方程模型，求得擬合曲線，用以對系統(tǒng)進行預測[11-13]。

滑坡位移原始數(shù)列為：

對原始數(shù)據(jù)進行1-AGO變換，生成一階累加序列，即

鄰均值等權生成序列為：

式中，μ為權重系數(shù)，μ∈[0，1]，一般假定μ=0.5，則有：

灰色GM(1,1)模型的微分方程為：

式中，a、u為位置參數(shù)，運用最小二乘法進行求解，

式中為x(1)序列的預測值；c為待定常數(shù)。為求解c，需要事先確定預測初始值，一般假定x?(1)(1)=x(0)(1)，則有，即

鄰均值等權還原序列為：

2 灰色GM(1,1)模型精度檢驗

在實際滑坡預測中，為達到高精度預測，需要對數(shù)據(jù)進行殘差檢驗以及對滑坡預測模型所用原始數(shù)據(jù)、預測數(shù)據(jù)進行后驗差檢驗，只有檢驗結果符合精度等級要求，才能運用建立的灰色GM(1,1)模型進行滑坡位移的預測。

2.1 殘差檢驗

絕對殘差序列計算公式為：e(0)(k)=x(0)(k)-x?(0)(k) ；為考察絕對殘差大小，計算相對殘差；在相對殘差基礎上，計算平均殘差

2.2 后驗差檢驗

1）滑坡原始數(shù)據(jù)平均值、均方差計算。

2）絕對殘差平均值、均方差計算。

2.3 預測精度等級

灰色關聯(lián)度檢驗與殘差、后驗差檢驗有著不一致的檢驗結果[14]，不適合灰色GM(1,1)模型的檢驗，因此不對關聯(lián)度進行分析。預測精度等級分類見表1[15]。

表1 預測精度等級分類

3 模型存在的問題及改進

通過對灰色GM(1,1)模型一般形式的建立，發(fā)現(xiàn)其求解過程存在以下兩個問題：①對權重系數(shù)μ的假設，一般假設μ=0.5，但從理論上無法解釋在權重系數(shù)為0.5時模型的預測精度最高，故在此需對權重系數(shù)的取值進行修正。②對初始值的假設，將x(0)(1)作為求解微分方程的初始值，則預測的曲線擬合必定通過(1，x(0)(1))，但由于模型實質(zhì)上為外推法，擬合結果應滿足平均相對誤差最小，因此需要對初始值的選取進行改進。

為解決因假設造成的誤差，令初始權重系數(shù)μ=0，計算平均相對誤差，具體計算公式為：

令K=c·（1-ea），則有：

在μ=0的基礎上，增加一個微小量Δμ，令μ?μ+Δμ，重復至μ=1，取得平均相對誤差最小，即模型預測精度最高時的權重系數(shù)作為最佳權重，進行預測。

4 應用實例

4.1 新灘滑坡預測

三峽西陵峽中的新灘滑坡發(fā)生于1985年6月12 日，滑坡體積約為3 000余萬m3，滑坡體前部的土石堵塞了約1/3的長江江面。上段滑體巖土體結構由后緣的純崩積物組成的單一結構逐漸過渡到前端的上層為崩積物、下層為坡積物的雙層結構。新灘滑坡的位移監(jiān)測于1977 年11 月開始，長期的變形監(jiān)測為認識和研究滑坡的動態(tài)規(guī)律提供了豐富的數(shù)據(jù)和信息[16]。

運用傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型與改進灰色GM(1,1)模型分別進行數(shù)據(jù)處理，改進后的模型取μ=0.373時預測精度最高，平均相對誤差隨權值變化曲線見圖1。模型改進前后預測對比分析數(shù)據(jù)和該滑坡位移監(jiān)測值及預測值隨時間的變化曲線，見表2和圖2。

圖1 新灘滑坡預測模型平均相對誤差隨權值變化曲線

表2 新灘滑坡位移監(jiān)測值及模型預測值/mm

圖2 新灘滑坡位移監(jiān)測值及預測值隨時間的變化曲線

綜上可知，改進的灰色GM(1,1)模型的相對誤差為0.737 3，傳統(tǒng)模型的相對誤差為0.894 9。改進前后模型預測后驗差比值為C1=0.570 9、C2=0.208 9。小概率誤差p均為1，根據(jù)表1預測精度等級分類，改進前預測精度等級為三級，改進后預測精度等級為一級。

4.2 黃茨滑坡預測

甘肅省永靖縣黃茨滑坡起始監(jiān)測時刻為1994 年8 月1日，監(jiān)測時間間隔為15 d，滑坡發(fā)生時間為1995 年1月30日凌晨2點30分，根據(jù)黃茨滑坡A6號監(jiān)測點的地面位移信息資料[17]，改進后模型取μ=0.434時預測精度最高，平均相對誤差隨權值變化曲線見圖3，模型改進前后預測對比分析數(shù)據(jù)和該滑坡位移監(jiān)測值及預測值隨時間的變化曲線，見表3和圖4。

圖3 黃茨滑坡預測模型平均相對誤差隨權值變化曲線

表3 黃茨滑坡位移監(jiān)測值及模型預測值/mm

圖4 黃茨滑坡位移監(jiān)測值及預測值隨時間的變化曲線

綜上可知，改進的灰色GM(1,1)模型相對誤差為

0.112 8，傳統(tǒng)模型相對誤差為0.121 6。改進前后模型預測后驗差比值為C1=0.159 1、C2=0.102 6；改進滑坡灰色GM(1,1)模型精度均有提高。

從圖2、4中可以看出，改進后的灰色GM(1,1)模型的預測曲線更接近于原始數(shù)據(jù)的曲線，特別是對于數(shù)值波動比較大的數(shù)據(jù)，改進后的模型預測效果和精度明顯提高。從擬合效果和預測精度可看出，改進模型在滑坡預測上合理可行。

5 結 語

1） 本文通過對傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型公式的分析，運用最小二乘法和自動尋優(yōu)定權的方法對預測初始值及權重μ進行了改進，極大地提高了灰色模型的預測精確度。

2）通過實例驗證，改進后的灰色GM(1,1)模型具有對預測過程進行優(yōu)化的能力，能使長期滑坡預測的精度得到顯著提高，也同樣適用于短期滑坡預測，在理論與實際應用中均切實可行。

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P258

：B

：1672-4623（2016）11-0088-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.11.031

王旭昭，主要從事工程災害防治、安全管理與評價方面研究。

2015-07-22。

項目來源：2015年度湖南農(nóng)業(yè)大學大學生科技創(chuàng)新基金資助項目（ZK15015）；2015年度湖南農(nóng)業(yè)大學大學生創(chuàng)新性實驗計劃資助項目（XCX15116）；湖南農(nóng)業(yè)大學楊仁斌科學基金資助項目（DS0408）。

（*為通訊作者）