一維廣義Cantor集上擬對(duì)稱映射的等價(jià)刻畫

李彥哲

(1.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510641)

一維廣義Cantor集上擬對(duì)稱映射的等價(jià)刻畫

李彥哲1,2

(1.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510641)

對(duì)滿足幾何正則條件的一維廣義Cantor集之間的擬對(duì)稱映射，給出等價(jià)刻畫.

擬對(duì)稱映射；廣義Cantor集；幾何正則

0 引言

擬對(duì)稱映射來源于1956年Beurling等[2]對(duì)上半平面到其自身的擬共形自同胚的邊界問題的研究.擬對(duì)稱映射在一般度量空間中的定義于1980年由Tukia等[3]給出.Vaisala等[4-5]還證明了高維歐氏空間中擬對(duì)稱映射與擬共形自同胚是等價(jià)的.作為一種同胚，擬對(duì)稱映射除了保持集合的拓?fù)湫再|(zhì)外，還保持集合的許多度量性質(zhì)和幾何性質(zhì)[1]，在度量空間分析學(xué)中起著重要的作用.

本研究的是分形集上的擬對(duì)稱映射，對(duì)擬對(duì)稱映射對(duì)分形集分形維數(shù)的改變的研究是近年來國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的一個(gè)熱門課題，相關(guān)文章有很多(如文獻(xiàn)[6]).分形集上的擬對(duì)稱映射有許多良好的性質(zhì)，所以判斷一個(gè)分形集上的映射是否為擬對(duì)稱映射是很有必要的，但擬對(duì)稱映射的定義比較復(fù)雜，對(duì)于一個(gè)同胚，判斷其是否為擬對(duì)稱映射是比較困難的，我們需要對(duì)擬對(duì)稱映射進(jìn)行一些等價(jià)刻畫，用一些相對(duì)簡(jiǎn)單的等價(jià)條件來刻畫擬對(duì)稱映射.為解決這個(gè)問題，1980年Tukia等[3]提出了弱擬對(duì)稱映射的概念：如果對(duì)于同胚f:X→Y，存在常數(shù)H>0，使得對(duì)任意3個(gè)不同點(diǎn)a,b,x∈X有，

則稱f為一個(gè)弱(H-)擬對(duì)稱映射.

易驗(yàn)證擬對(duì)稱映射必是弱擬對(duì)稱映射，但反之不然.那么自然就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問題：擬對(duì)稱映射與弱擬對(duì)稱映射在什么情況下等價(jià)？

關(guān)于這個(gè)問題Vaisala[7]和Heinonen[1]給出了連通集上的擬對(duì)稱映射與弱擬對(duì)稱映射等價(jià)的一個(gè)條件：連通加倍空間到加倍空間上的擬對(duì)稱映射與弱擬對(duì)稱映射等價(jià). 但我們遇到的分形集通常是全不連通的，從而我們自然地會(huì)有一個(gè)問題：連通性可否減弱？但在文獻(xiàn)[8]中可知，即使對(duì)于滿足開集條件或強(qiáng)分離條件的自相似集，也不一定成立文獻(xiàn)[7]和[1]中的結(jié)論.為此， Li[8]在2015年導(dǎo)出弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射的概念，證明了實(shí)直線上滿足λ-small gap條件的一維Moran集到加倍空間的擬對(duì)稱映射與弱 (λ,H)-擬對(duì)稱映射等價(jià)；并且對(duì)幾何正則的一維Moran集之間的擬對(duì)稱映射給出了一個(gè)等價(jià)刻畫.進(jìn)一步，我們?cè)?016年將文獻(xiàn)[7]中的第一個(gè)結(jié)果推廣到一致完全空間以及一維廣義Cantor集上[8]，得到緊λ-一致完全空間到加倍空間的擬對(duì)稱映射以及滿足λ-small gap條件的一維廣義Cantor集到加倍空間的擬對(duì)稱映射與弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射是等價(jià)的.一維廣義Cantor集比一維Moran集范圍更廣泛，那么對(duì)一維廣義Cantor集之間的擬對(duì)稱映射，我們能否像文獻(xiàn)[8]對(duì)幾何正則的一維Moran集的一樣，給出等價(jià)刻畫呢？本文中對(duì)此進(jìn)行了研究，證明了對(duì)于幾何正則的一維廣義Cantor集，也可以進(jìn)行類似的等價(jià)刻畫.

下面，給出本文中的主要結(jié)論：

定理 設(shè)E和E′都是幾何正則的一維廣義Cantor集，f是E到E′的雙射，那么f是擬對(duì)稱映射當(dāng)且僅當(dāng)下面3個(gè)條件成立：

1)對(duì)于所有柱集Eσ，f(Eσ)是既開又閉的集合；

3)L(f(Eσ*i))-L(f(Eσ))≤c對(duì)所有σ和i成立，

其中c>0為常數(shù).

本文由下面兩部分構(gòu)成：第一部分介紹一些預(yù)備知識(shí)，包括弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射，一維廣義Cantor集，幾何正則等定義，以及需要用到的已知引理；第二部分是定理的證明.

1 預(yù)備知識(shí)

定理的證明需要用到弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射，給出其定義：

定義1.1[7](弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射) 設(shè)X和Y為兩個(gè)度量空間，f為X到Y(jié)的同胚，若存在常數(shù)λ>0及H>0，使得任意3個(gè)不同點(diǎn)a,b,x∈X都滿足

則稱f為一個(gè)弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射.

注：當(dāng)λ=1時(shí)，弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射與弱(H-)擬對(duì)稱映射等價(jià)；(η-)擬對(duì)稱映射都是弱(λ,η(λ))-擬對(duì)稱映射; 當(dāng)λ>1時(shí)，弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射都是弱(H-)擬對(duì)稱映射；當(dāng)0<λ<1時(shí)，弱(H-)擬對(duì)稱映射都是弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射.

定義1.2[9](一維廣義Cantor集) 設(shè)J?是閉區(qū)間，J的閉區(qū)間族F={Jσ：σ∈Ω}稱為具有廣義Cantor結(jié)構(gòu)，若它滿足：

記?{J，nk}為所有滿足i)ii)iii)的一維廣義Cantor集族.

本文中，我們假設(shè)對(duì)?σ∈Ωk，k≥0，Jσ*1，Jσ*2，…，Jσ*nk+1從左至右排列.如果Jσ*1，Jσ*2，…，Jσ*nk+1不是從左至右排列，我們也可以類似證明本文中的結(jié)論.

注：直線上滿足開集條件的自相似集是一類特殊的一維廣義Cantor集，一維Moran集也是一類特殊的一維廣義Cantor集，與一維Moran集相比，一維廣義Cantor集去掉了上下兩級(jí)基本區(qū)間長(zhǎng)度比的限制，一維廣義Cantor集E的k階基本區(qū)間Jσ與包含在Jσ中的任意k+1階基本區(qū)間Jσ*i(1≤i≤nk+1)的長(zhǎng)度比與階數(shù)k無關(guān).

下面引入一個(gè)重要定義：small gap條件.

則稱E滿足(λ-)small gap條件，其中diam表示集合的直徑.

引理1.1[6]設(shè)E為滿足(λ-)small gap條件一維廣義Cantor集，λ≥1，Y為加倍空間，則映射f:E→Y是擬對(duì)稱映射當(dāng)且僅當(dāng)存在H>0，使得f是弱(λ,H)-擬對(duì)稱映射.

定義1.4(幾何正則) 如果E∈? {J，nk}滿足c*>0且δ*>0，則稱一維廣義Cantor集E為幾何正則的.

如果存在兩度量空間X與Y之間的擬對(duì)稱雙射，則稱X與Y擬對(duì)稱等價(jià).David和Semmes[9]得到了: 兩加倍、一致完全且一致不連通的緊度量空間是擬對(duì)稱等價(jià)的.幾何正則的一維廣義Cantor集是緊集，并且是加倍、一致完全且一致不連通的，所以任意兩個(gè)幾何正則的一維廣義Cantor集之間一定存在擬對(duì)稱雙射，本文中的定理給出了這些擬對(duì)稱雙射的等價(jià)刻畫.

為了后面的證明方便，我們給出以下幾個(gè)記號(hào)：設(shè)E∈? {J，nk}是幾何正則的一維廣義Cantor集，對(duì)任意σ∈Ω，記Eσ=E∩Jσ，我們稱Eσ為E的柱集.由δ*>0得柱集是即開又閉的集合.設(shè)A?E，定義：

2 定理的證明

必要性的證明：因?yàn)镋σ是柱集，所以Eσ既開又閉，又因?yàn)閒為擬對(duì)稱映射，則f是一個(gè)拓?fù)渫?，所以f(Eσ)既開又閉，i)成立.

為證明ii)，取x,a∈Eσ以及b∈EEσ使得

(1)

從而有

另一方面，取τ使得x,b∈Eτ和x∈Eτ*i″,b∈Eτ*j″(i″≠j″)，注意到Eσ?Eτ，我們有

得到

(2)

為證明iii)，取x,b∈Eσ*i以及a∈Eσ，使得

從而

(3)

(4)

由(3)-(4)式，利用f為(η-)擬對(duì)稱映射，得到

從而

(5)

(6)

由L的定義，我們有

(7)

(8)

注意(8)式中我們用到了條件 ii)和iii).

若E不是端點(diǎn)正則，我們考慮結(jié)構(gòu)與E相近的端點(diǎn)正則一維廣義Cantor集F，先構(gòu)造滿足本文中定理?xiàng)l件的雙射g:F→E′，再驗(yàn)證g是擬對(duì)稱映射，最后通過g與f的關(guān)系來證明f是擬對(duì)稱映射.分析如下：

若E∈? {J，nk}，其壓縮比和間隔比下界分別為c*和δ*，考慮F∈? {I，nk}，其中I?=I=J，且對(duì)任意σ∈Ωk-1(k≥1)滿足：

1)Iσ*1,Iσ*2,…,Iσ*nk為從左至右排列的Iσ的閉子區(qū)間；

2)Iσ*1與Iσ左端點(diǎn)重合且Iσ*nk與Iσ右端點(diǎn)重合；

3)dist(Iσ*i,Iσ*(i+1))=dist(Iσ*(i+1),Iσ*(i+2))對(duì)任意1≤i≤nk-2成立；

設(shè)g=f。π：F→E′,則由π的定義及f滿足本文中定理的條件i)ii)iii)，得到g滿足本文中定理的條件i)ii)iii)，又因?yàn)橐痪S廣義Cantor集F端點(diǎn)正則，所以g是擬對(duì)稱映射.又因?yàn)閒=g。π-1為兩擬對(duì)稱映射的復(fù)合映射，所以f是擬對(duì)稱映射.這樣就完成了定理充分性的證明.

致謝 感謝華南理工大學(xué)吳敏教授和熊瑛副教授在論文撰寫中給予的指導(dǎo)和幫助.

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(責(zé)任編輯 趙燕)

The equivalence of quasisymmetric mappings on 1-dimensional Cantor-like sets

LI Yanzhe

(College of Mathematics and Information Science， Guangxi University， Nanning 530004， China;College of Mathematics，South China University of Technology， Guangzhou 510641， China)

We gave a equivalent condition to the quasisymmetic mappings between two 1-dimensional geometrically regular Cantor-like sets.

quasisymmetic mapping; Cantor-like sets; geometrically regular

2016-05-15

國(guó)家自然科學(xué)基金天元基金(11626069)、廣西大學(xué)科研基金(XJZ150827)資助

李彥哲(1986-)，男，博士，講師，E-mail: lyzkbm@163.com

1000-2375(2017)01-0087-06

O174.12

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.01.017