小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想

吳偉娟

摘要：數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。而小學(xué)數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識系統(tǒng)，看不到由特殊實(shí)例的觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、抽象概括或探索推理的 心智活動過程。而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；思想

數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”。而小學(xué)數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識系統(tǒng)，看不到由特殊實(shí)例的觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、抽象概括或探索推理的 心智活動過程。而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識系統(tǒng)。數(shù)學(xué)思想是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉和概括，在后繼的認(rèn)識活動中被反復(fù)證實(shí)其正確性，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征。它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著指引方向的作用，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動，是數(shù)學(xué)的靈魂。而數(shù)學(xué)方法則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想，在自然辯證法一書的導(dǎo)言中，恩格斯敘述了笛卡兒制定了解析幾何，耐普爾制定了對數(shù)，來布尼茨和牛頓制定了微積分后指出：“最重要的數(shù)學(xué)方法基本上被確定了”，對數(shù)學(xué)而言，可以說最重要的數(shù)學(xué)思想也基本上被確定了。

一、化歸思想

所謂“化歸”，可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。化歸思想就是把將要解決的問題化為已知的或已經(jīng)解決的問題的一種數(shù)學(xué)思想方法?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，要根據(jù)學(xué)生的年齡特征和教學(xué)要求，從學(xué)生熟悉的情景和已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)開展教學(xué)活動。因此，教師應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行教學(xué)，可以促使學(xué)生把握事物的發(fā)展過程，對事物內(nèi)部結(jié)構(gòu)、縱橫關(guān)系、數(shù)量特征等有較深刻的認(rèn)識。

二、方程和函數(shù)思想

在已知數(shù)與未知數(shù)之間建立一個等式，把生活語言“翻譯”成代數(shù)語言的過程就是方程思想。笛卡兒曾設(shè)想將所有的問題歸為數(shù)學(xué)問題，再把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成方程問題，即通過問題中的已知量和未知量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號語言轉(zhuǎn)化為方程（組），這就是方程思想的由來。

在小學(xué)階段，學(xué)生在解應(yīng)用題時仍停留在小學(xué)算術(shù)的方法上，一時還不能接受方程思想，因?yàn)樵谒闱蠼忸}時，只允許具體的已知數(shù)參加運(yùn)算，算術(shù)的結(jié)果就是要求未知數(shù)的解，在算術(shù)解題過程中最大的弱點(diǎn)是未知數(shù)不允許作為運(yùn)算對象，這也是算術(shù)的致命傷。而在代數(shù)中未知數(shù)和已知數(shù)一樣有權(quán)參加運(yùn)算，用字母表示的未知數(shù)不是消極地被動地靜止在等式一邊，而是和已知數(shù)一樣，接受和執(zhí)行各種運(yùn)算，可以從等式的一邊移到另一邊，使已知與未知之間的數(shù)學(xué)關(guān)系十分清晰，在小學(xué)中高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，若不滲透這種方程思想，學(xué)生的數(shù)學(xué)水平就很難提高。例如稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、行程問題、還原問題等，用代數(shù)方法即假設(shè)未知數(shù)來解答比較簡便，因?yàn)橛米帜竫表示數(shù)后，要求的未知數(shù)和已知數(shù)處于平等的地位，數(shù)量關(guān)系就更加明顯，因而更容易思考，更容易找到解題思路。在近代數(shù)學(xué)中，與方程思想密切相關(guān)的是函數(shù)思想，它利用了運(yùn)動和變化觀點(diǎn)，在集合的基礎(chǔ)上，把變量與變量之間的關(guān)系，歸納為兩集合中元素間的對應(yīng)。數(shù)學(xué)思想是現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系深入研究的必然產(chǎn)物，對于變量的重要性，恩格斯在自然辯證法一書有關(guān)“數(shù)學(xué)”的論述中已闡述得非常明確：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辨證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分與積分也立刻成為必要的了?！睌?shù)學(xué)思想本質(zhì)地辨證地反映了數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，是近代數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的重要基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材的練習(xí)中有如下形式：

6×3= 20×5= 700×800=

60×3= 20×50= 70×800=

600×3= 20×500= 7×800=

有些老師，讓學(xué)生計(jì)算完畢，答案正確就滿足了。有經(jīng)驗(yàn)的老師卻這樣來設(shè)計(jì)教學(xué)：先計(jì)算，后核對答案，接著讓學(xué)生觀察所填答案有什么特點(diǎn)（找規(guī)律），答案的變化是怎樣引起的？然后再出現(xiàn)下面兩組題：

45×9= 1800÷200=

15×9= 1800÷20=

5×9= 1800÷2=

通過對比，讓學(xué)生體會“當(dāng)一個數(shù)變化，另一個數(shù)不變時，得數(shù)變化是有規(guī)律的”，結(jié)論可由學(xué)生用自己的話講出來，只求體會，不求死記硬背。研究和分析具體問題中變量之間關(guān)系一般用解析式的形式來表示，這時可以把解析式理解成方程，通過對方程的研究去分析函數(shù)問題。中學(xué)階段這方面的內(nèi)容較多，有正反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪指對函數(shù)，三角函數(shù)等等，小學(xué)雖不多，但也有，如在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中十分常見，一個具體的數(shù)量對應(yīng)于一個抽象的分率，找出數(shù)量和分率的對應(yīng)恰是解題之關(guān)鍵。

三、極限的思想方法

極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)，了解它有重要意義。

現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透。在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時，教師可讓學(xué)生體會自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個，讓學(xué)生初步體會“無限”思想；在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，1÷3=0.333…是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的，是無限的；在直線、射線、平行線的教學(xué)時，可讓學(xué)生體會線的兩端是可以無限延長的。

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)教育中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想不只是單存的思維活動，它本身就蘊(yùn)涵了情感素養(yǎng)的熏染。而這一點(diǎn)在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育中往往被忽視了。我們在強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)知識和技能的過程和方法的同時，更加應(yīng)該關(guān)注的是伴隨這一過程而產(chǎn)生的積極情感體驗(yàn)和正確的價(jià)值觀?！稑?biāo)準(zhǔn)》把“情感與態(tài)度”作為四大目標(biāo)領(lǐng)域之一，與“知識技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“解決問題”三大領(lǐng)域相提并論，這充分說明新一輪的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)改革對培養(yǎng)學(xué)生良好的情感與態(tài)度的高度重視。

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