高階中立型泛函微分方程周期解的存在性

汪代明，倪前月

（1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037；2.阜陽市第二中學(xué)，安徽 阜陽 236000）

高階中立型泛函微分方程周期解的存在性

汪代明1，倪前月2

（1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037；2.阜陽市第二中學(xué)，安徽 阜陽 236000）

運(yùn)用相關(guān)文獻(xiàn)的引理與 Mawhin重合度拓展理論，對一類高階中立型方程(x(t)-cx(t-r))(n)+h(x′(t))+f(x(t))x′(t)+g(t,x(t-τ(t)))=p(t)進(jìn)行了研究，得到了該方程至少存在一個T周期解的一組新條件。

周期解；重合度；高階中立型泛函微分方程

由于在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)和人口動力系統(tǒng)等實(shí)際問題中廣泛應(yīng)用，微分方程周期解存在性一直是眾多研究者所關(guān)注問題[1-9]。杜波，魯世平在文獻(xiàn)[8]中討論了二階方程

周期解存在性條件，本人也在文獻(xiàn)[9]中討論了高階方程

周期解存在的充分條件?？紤]到中立型方程比非中立型微分方程更具一般性，研究結(jié)果也更有實(shí)際意義，當(dāng)然其周期解存在性研究難度自然會大大增加。本文研究高階中立型微分方程

的周期解，使用Mawhin重合度理論，得到了方程（3）在n≥2的情況下周期解存在的一組新條件，文獻(xiàn)[8-9]的主要定理得到了推廣。本文假設(shè)c,r為常數(shù)且|c|≠1，τ(t),p(t)為T周期函數(shù)，h,f,τ,p:R→R與g:R×R→R是連續(xù)函數(shù)，g(t,x)是t的T周期函數(shù)。

1 主要引理

引理1（Mawhin重合度拓展定理[10]）設(shè)X,Y是Banach空間，L：Dom（L）?X?Y是指標(biāo)為零Fredholm的算子，Ω?X為有界開集，N:X?Y在上是L-緊的.若下列條件：

滿足，則方程Lx=Nx在?Dom(L)上至少存在一個解。

引理2[11]如果|c|≠1，那么算子A存在唯一有界連續(xù)逆，且滿足下列條件：

引理3[11]設(shè)x(t)∈Cm(R,R),m≥2,并且存在常數(shù)T＞0，使得t∈R有x(t+T)=x(t),則存在與x(t)無關(guān)的Mi＞0，使得

其中，當(dāng)m為偶數(shù)時，

當(dāng)m為奇數(shù)時，

其中，諸Bm-2s,B2m-4s,Bm-2s-1,B2m-4s-2是伯努數(shù)，可由如下遞推公式求得

顯然，Mi(m)＜Tm-(i+1)。

2 主要結(jié)果

定理1若以下條件

成立，其中常數(shù)r1≥0,r2≥0,K1,K2,D為正常數(shù)，則方程（3）至少有1個T周期解存在。

證明考慮方程

設(shè)上述方程（5）的任一T周期解為x(t)，由，并對該方程兩邊同在[0,T]積分，有

由中值定理知?ξ∈[0,T],使得

下面先證存在t?∈[0,T],使得

第一種情形：r1=0。若|x(η-τ(η))|＞D，則由式（7）和定理1條件得顯然矛盾，故

第二種情形：r1＞0。若|x(ξ-τ(ξ))|＞D，則同樣由式（7）和定理1條件，得

所以

總之，根據(jù)（9）（10）式，不管r1=0還是r1＞0，都有

又因ξ-τ(ξ)∈R,所以一定存在整數(shù)k和t?∈[0,T],使得ξ-τ(ξ)=kT+t?,從而由（11）式，得

可見（8）式成立，因此有

不妨令

對上述ε＞0，由定理條件（IV）知，一定存在與λ和x無關(guān)的常數(shù)ρ≥D，使得當(dāng)x＜-ρ時，有

由（7）式得，

由引理3，知

令（23）式中k=n-2，并結(jié)合引理2的條件，知

由引理3，可知

又考慮(12)式，有

顯然ω0,ω1,…,ωn-1都是與λ和x無關(guān)的常數(shù)。取M=max{ω0,ω1,…,ωn-1}.令

顯然KerL=R。定義投影算子P和Q分別為：

則 KerL=ImP,KerQ=ImL。L是指標(biāo)為零Fredholm 的算子，且N在上L-緊。?x∈?Ω?Dom(L)和?λ∈(0,1)有Lx≠λNx。顯然，引理1條件滿足。又對 ?x∈?Ω?KerL，則當(dāng)x=M+1(＞D)或者x=-(M+1)(＜-D),于是由定理1條件得

故F(x,u)是同倫映射，所以

顯然，引理1三條件皆滿足，所以本文所研究方程（3）至少有一個T周期解存在得證。

推論1用下列條件代替定理1中條件，則定理1的結(jié)論仍成立：

與定理1證明類似，也可得以下定理：

定理2若以下條件成立：

則方程（3）至少有1個T周期解存在，其中，常數(shù)r1≥0,r2≥0,K1,K2,D為正常數(shù)。

3 實(shí)例

考慮方程

其中

進(jìn)而由引理3知

因此，定理1的推論的五個條件均滿足。根據(jù)推論1，方程（24）式至少有1個T周期解存在。顯然上述結(jié)論并不能由文獻(xiàn)[8]或[9]得出，況且文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[8]分別為本文研究方程（3）的c=0及c=0,n=2的特殊情形，因此本文的討論推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[8-9]的主要定理。

[1]Liu X Y.Existence of three positive solutions of neutral functionl difference[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics,2015,30(2)：172-183.

[2]武躍祥，武 鋼．二階中立型泛函微分方程的周期解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2014，44（24）：311-315.

[3]羅芳瓊，姚曉潔，秦發(fā)金.一類具多個偏差變元的二階中立型泛函微分方程的周期解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42（20）：167-175.

[4]羅芳瓊，姚曉潔，秦發(fā)金.一類具有偏差變元的高階中立型Rayleigh方程周期解的存在性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42（22）：189-197.

[5]陳文斌，高 芳，魯世平.一類時滯微分方程周期解的存在性[J].四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，51（3）：455-458.

[6]汪代明，馮春華.一類時滯脈沖微分方程的3個正周期解[J].吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2011，49（3）：391-396.

[7]汪小明，孫楊劍.一類具偏差變元的高階泛函微分方程周期解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報，2013，49（3）：16-19.

[8]杜 波，魯世平.一類具有偏差變元的二階微分方程的周期解[J].數(shù)學(xué)研究，2007，40（1）：16-21.

[9]汪代明.一類具有偏差變元的高階泛函微分方程的周期解[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，32（4）：25-28.

[10]Gains R E,Mawhin J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations[M].Heidelberg：Springer-Verlag,1977.

[11]李曉靜.具偏差變元的高階中立型泛函微分方程的周期解存在性問題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，23（3）：394-401.

Existence of periodic solutions for higher order functional differential equations

WANG Dai-ming1,NI Qian-yue2
(1.School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China；2.The Second Middle School of Fuyang,Fuyang Anhui236000,China)

By using the lemma of related documents and the Mawhin coincidence degree theory，a kind of higher order functional differential equations as follows (x(t)-cx(t-r))(n)+h(x′(t))+f(x(t))x′(t)+g(t,x(t-τ(t)))=p(t) is studied,some new conditions on the existence of periodic solutions were given.

periodic solution;coincidence degree;high order neutral functional differential equation

O175.12

：A

：1004-4329（2016）04-001-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)04-001-05

2016-08-19

安徽省高校自然科學(xué)研究項目（KJ2011Z290）資助。

汪代明（1979- ），女，碩士，副教授，研究方向：微分方程。