一類具有時滯脈沖的口腔恒化器模型的動力學性態(tài)分析

盧 琨, 曹 慧， 王 莉

(陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021)

一類具有時滯脈沖的口腔恒化器模型的動力學性態(tài)分析

盧 琨, 曹 慧， 王 莉

(陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021)

研究了一類單資源和兩種微生物的時滯脈沖口腔系統(tǒng)的恒化器模型.利用脈沖微分方程比較定理、持久性理論和Floquet算子理論討論了模型滅絕周期解的存在性；給出了滅絕周期解全局吸引性的臨界條件；得到了系統(tǒng)持久性的充分條件.最后在滿足條件θ1<1|θ2>1時,利用數(shù)值模擬結果說明本文的主要結論.

口腔系統(tǒng)； 恒化器模型； 時滯； 脈沖； 持久性

0 引言

在日常生活中，人類的口腔異味已經成為一種疾病，影響著人類的溝通交流，是人類社交中的一種障礙，也直接影響著人類的身心健康.隨著口腔保健意識的提高，越來越多的人們開始重視這個問題.事實上，人類的口腔系統(tǒng)是一個生態(tài)系統(tǒng),在這個生態(tài)系統(tǒng)中，存在著多種微生物，以及這些微生物生長、繁殖所需要的營養(yǎng)液.這些微生物存在于口腔中的不同部位，并且共同競爭和拮抗.當這些微生物的生長和繁殖出現(xiàn)不平衡時，就會出現(xiàn)口腔中的微生物生長失衡，從而引發(fā)口腔異味.

恒化器是一種用于連續(xù)培養(yǎng)微生物的實驗室裝置，可用于模擬湖泊和海洋中單細胞藻類浮游植物的生長，在工業(yè)上主要用于發(fā)酵過程和廢水處理.也有一些學者將恒化器模型應用于研究人類的口腔系統(tǒng)，但是相關的研究很少.文獻[1-4]中分別建立了口腔系統(tǒng)的恒化器模型，并對這些模型進行了理論和數(shù)值分析.但是這些模型沒有考慮微生物在吸取了營養(yǎng)液之后進行轉化所需要的時間滯后作用.

在本文中，將基于文獻[5],建立一類具有時滯脈沖作用的恒化器微生物培養(yǎng)模型，并應用于研究人類的口腔系統(tǒng).本文考慮的一類具有脈沖時滯的口腔系統(tǒng)恒化器模型如下：

(1)

式(1)中：x(t)表示t時刻營養(yǎng)基的濃度,y1(t)和y2(t)分別表示t時刻口腔中微生物的濃度，x0表示進入口腔中的營養(yǎng)基的濃度.D是輸出率,滿足0

系統(tǒng)(1)的初始條件為

φi(0)>0,i=1,2,3.

(2)

1 主要結果

利用文獻[6]中的方法，參考文獻[7-12],首先給出一些有關時滯脈沖方程有用的引理和結論；接著，用脈沖微分方程比較定理、持久性理論和Floquet算子理論討論模型的滅絕周期解的存在性，以及滅絕周期解全局吸引性的臨界條件；最后，討論系統(tǒng)的持久性.

1.1 定義

(2)V關于x滿足局部Lipschitz條件.

定義2[14]若存在常數(shù),M≥m>0,使m≤x(t)≤M,m≤y1(t)≤M,m≤y2(t)≤M對充分大的t成立,則稱系統(tǒng)(1)是一致持續(xù)生存的.

1.2 部分引理

引理1 假設(φ1(t),φ2(t),φ3(t))>0,t∈(-τ,0),則系統(tǒng)(1)的解是嚴格正的.

引理2[13]令函數(shù)ω∈PC′([0,∞),R),滿足以下不等式組

(3)

此處f(t),g(t)∈PC′([0,∞),R),fk(fk>0),gk,ω0是常數(shù)，對任意t>0有

引理3[15]考慮下面的時滯微分方程:

其中r1,r2,τ都是正數(shù)；x(t)>0,t∈[-τ,0].則有

1.3 微生物滅絕周期解的存在性

當y1(t)=y2(t)=0時，系統(tǒng)(1)可變?yōu)橄旅娴南到y(tǒng)

(4)

通過直接計算系統(tǒng)(4)就可得到下面的引理4：

1.4 微生物滅絕周期解的全局吸引性

證明：因為θ1<1，選擇ε>0足夠小，使得

(5)

由系統(tǒng)(1)可得， x′≤-Dx.

考慮下面的脈沖微分方程系統(tǒng)

(6)

令(x(t),y1(t),y2(t))是系統(tǒng)(1)具有初值條件(2)的解，且x(0)=x0>0,z(t)是系統(tǒng)(6)具有初值z(0+)=x0的解,由引理4可知,對于任意的ε>0，存在n1∈N,使得對于任意的t>n1T,有

(7)

由系統(tǒng)(1)的第2,3個方程，結合(7)可得

(8)

考慮如下的比較系統(tǒng)：

(9)

由式(5)和(7)有μ1η

因為y1(s)=z2(s)=φ2(s)>0,y2(s)=z3(s)=φ3(s)>0,s∈[-τ,0],由微分方程比較原理和解的正性可知當t→∞時，y1(t)→0,y2(t)→0.因此存在足夠小的正數(shù)ε1,ε2以及正整數(shù)n2(n2T>n1T+τ),對任意的t>n2T,y1(t)<ε1,y2(t)<ε2.

(10)

1.5 持久性

首先證明系統(tǒng)(1)的所有解是一致有界的.

定理2 系統(tǒng)(1)的任意正解(x(t),y1(t),y2(t)),當t足夠大時，存在一常數(shù)M>0,滿足x(t)≤M,y1(t)≤M,y2(t)≤M.

證明：令V(t)=V1V2x(t)+V2y1(t+τ)+V1y2(t+τ),則V(t)∈V0.

沿系統(tǒng)(1)求導有

顯然可以選擇任意的K>0,滿足

由引理2得

因此V(t)是最終有界的，故對系統(tǒng)(1)的任意正解(x(t),y1(t),y2(t)),當t足夠大時，存在一常數(shù)M>0,使得x(t)≤M,y1(t)≤M,y2(t)≤M.

定理3 若θ2>1,則系統(tǒng)(1)是持久的.其中

證明： 假設(x(t),y1(t),y2(t))是系統(tǒng)(1)具有初值條件的任一解，由定理2有x(t)≤M,y1(t)≤M,y2(t)≤M.

由系統(tǒng)(1)有

考慮下面的比較系統(tǒng)

(11)

根據(jù)引理4有

利用比較原理及引理4，對足夠小的ε4>0,有x(t)≥u(t)>u*(t)-ε4>0.

系統(tǒng)(1)的第2,3個方程可以改寫成如下形式

(12)

定義

則Vi(t),i=1,2沿系統(tǒng)(1)解曲線的導數(shù)為

(13)

(14)

(15)

當t≥t0考慮下面的脈沖微分方程

(16)

根據(jù)引理4，系統(tǒng)(16)的正周期解為

因而有

(17)

結合(13)、(17)可得

(18)

以下只對(18)的第一個式子討論.

以下證明對于足夠大的t,有y1(t)≥m.分兩種情況.

2 數(shù)值模擬

在這個部分，利用數(shù)值模擬的方法展示所得到的結論.取a1=0.1,a2=0.1,T=2,m1=0.2,m2=0.1,V1=0.3,V2=0.2,x0=0.5,y0=2,z0=1,x10=x0,y10=y0,z10=z0,γ=0.3,x0=0.35.

當D=0.5,可以得到θ1=0.066 44，滿足定理1的條件.相應地可以得到圖1、圖2.由圖1～2可知，當θ1<1時，微生物會滅絕.

圖1 營養(yǎng)基x(t)的時間序列圖

圖2 微生物y1(t)的時間序列圖

當D=0.046,θ2=2.368 7>1相應地可以得到圖3、圖4.由圖3～4可知，當θ2>1時，微生物會持久生存.

圖3 營養(yǎng)基x(t)的時間序列圖

圖4 微生物y1(t)的時間序列圖

3 結論

本文建立了一類具有時滯脈沖作用和Monod型功能反應函數(shù)的口腔系統(tǒng)恒化器模型.討論了該模型微生物滅絕周期解的存在性；證明了微生物滅絕周期解的全局吸引性的臨界條件；最后給出了系統(tǒng)持久的充分條件,也通過數(shù)值模擬的方式展示了理論結果.

[1] 喬偉民,樊明文.口腔恒化器的研制[J].口腔醫(yī)學縱橫，1997,13(3)：148-150.

[2] 李鳴宇，劉 正.磷脂壁酸-葡糖基轉移酶-葡聚糖相互作用對口腔鏈球菌粘附作用的影響[J].牙體牙髓牙周病學雜志，1994,4(2)：70-71.

[3] 楊坤一，信 鴿.改進的口腔微生物種群模型及其Lyapunov穩(wěn)定性[J].數(shù)學的實踐與認識，2012,42(23):157-163.

[4] 李德懿，李宗林.可控模擬口腔環(huán)境的改良MD-300恒化器的建立及應用[J].臨床口腔醫(yī)學雜志，2002,18(4):243-245.

[5] 阮士貴.恒化器模型的動力學[J].華中師范大學學報(自然科學版)，1997,31(4):377-397.

[6] 孫樹林，張瑞娟.具有時滯和脈沖輸入的一類雙資源和兩種微生物恒化器模型的分析[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2012,32(1):111-120.

[7] Zhang Y J,Xiu Z L,Chen L S.Chaos in a food chain chemostat with pulsed input and washout[J].Chaos,Solitons & Fractals,2005,26(1):159-166.

[8] Xia H X,Wolkowicz G S K,Wang L.Transient oscillations induced by delayed growth response in the chemostat[J].Journal of Mathematical Biology,2005,50(5):489-530.

[9] Meng X Z,Zhao Q L,Chen L S.Global qualitative analysis of new monod type chemostat model with delayed response and input in polluted environment[J].Applied Mathematics and Mechanics,2008,29(1):75-87.

[10] 魏春金,陳蘭蓀.具時滯增長反應及脈沖輸入Monod-Hakldane 恒化器模型的分析[J].南京師范大學學報,2008,31(3):6-11.

[11] Wang F Y,Pang G P,Lu Z Y.Analysis of a Beddington-DeAngelis food chain chemostat with periodically varying dilution rate[J].Chaos, Solitions and Fractals,2009,40(2):1 609-1 615.

[12] Miled E H,Alain R.Practical coexistence of two species in the chemostat A slow-fast characterization[J].Mathematical Bioscience,2009,218(1):33-39.

[13] Lakshmikantham V,Bainov D D,Simeonov P S.Theory of impulsive differential equations[M].Singapore:World Scientific,1989.

[14] 陳蘭蓀，陳 健.非線性生物動力系統(tǒng)[M].北京：科學出版社，1993.

[15] Kuang Y.Delay differential equations with application dynamics[M].California:Academic Press Inc,1993.

【責任編輯：陳 佳】

Analysis of a class of oral chemostat model with time delay and pulse input

LU Kun, CAO Hui, WANG Li

(School of Arts and Sciences , Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

An oral chemostat model with periodic pulse and time delay is discussed in this paper.Using the comparison theorem of impulsive differential equations，persistence theory and floquet operator theory,the existence of the microorganism-free periodic solution is proved,which is globally attractive under some critical conditions.Moreover,the sufficient conditions on permanence of the system is obtained.Finally,under the condition ofθ1<1|θ2>1,some numerical simulations are given to illustrate the main results.

oral cavity system; chemostat model; delay; pulse; persistence

2016-07-12

國家自然科學基金項目(11301314); 陜西省教育廳專項科研計劃項目(15JK1081)

盧 琨(1980-)，女，陜西西安人，講師，碩士,研究方向：生物數(shù)學

1000-5811(2017)01-0188-05

O175

A