具有風(fēng)險(xiǎn)偏好的企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的保險(xiǎn)賠償期問題

馬中華，焦元珠

(上海海事大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，上海 201306)

具有風(fēng)險(xiǎn)偏好的企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的保險(xiǎn)賠償期問題

馬中華，焦元珠

(上海海事大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，上海 201306)

考慮企業(yè)為轉(zhuǎn)移突發(fā)事件導(dǎo)致生產(chǎn)中斷的損失而購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷保險(xiǎn)，其保險(xiǎn)賠償期的優(yōu)化問題。由于保險(xiǎn)賠償期的長(zhǎng)度會(huì)影響保險(xiǎn)費(fèi)率以及生產(chǎn)中斷后的保險(xiǎn)賠償金，進(jìn)而影響企業(yè)收益，本文在市場(chǎng)需求、銷售價(jià)格外生給定的情況下，考慮企業(yè)購(gòu)買保險(xiǎn)成本、生產(chǎn)中斷導(dǎo)致的缺貨成本、恢復(fù)生產(chǎn)成本等約束，運(yùn)用金融風(fēng)險(xiǎn)控制工具——CVaR，建立企業(yè)購(gòu)買保險(xiǎn)決策模型，在對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化求解的基礎(chǔ)上，分別給出企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)中性、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和風(fēng)險(xiǎn)喜好情況下的最優(yōu)保險(xiǎn)賠償期。研究表明：保險(xiǎn)賠償期決策會(huì)隨著企業(yè)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的變化而變化；特別的在風(fēng)險(xiǎn)喜好情況下，企業(yè)傾向于不購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)可能。最后通過算例對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了解釋說明。

生產(chǎn)中斷；風(fēng)險(xiǎn)偏好；營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)；保險(xiǎn)賠償期

一、引言

生產(chǎn)制造型企業(yè)在遭遇突發(fā)事件導(dǎo)致生產(chǎn)中斷的情況下，往往面臨失去客戶的利潤(rùn)損失和恢復(fù)生產(chǎn)的成本增加的雙重壓力，企業(yè)可以通過購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)來彌補(bǔ)生產(chǎn)中斷造成的損失。營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)，又稱為利潤(rùn)損失險(xiǎn)[1]，是指物質(zhì)財(cái)產(chǎn)遭受損失而導(dǎo)致投資者的營(yíng)業(yè)收到干擾或暫時(shí)中斷而遭受損失的風(fēng)險(xiǎn)。營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)作為企業(yè)重要的風(fēng)險(xiǎn)管理措施，在國(guó)際上有著廣泛的應(yīng)用，但在我國(guó)的發(fā)展相對(duì)滯后[2]。美國(guó)9.11事件后，營(yíng)業(yè)中斷保險(xiǎn)賠償額占當(dāng)時(shí)保險(xiǎn)公司總賠償額的三分之一左右；我國(guó)2008年年初的雪災(zāi)帶來巨額直接和間接的經(jīng)濟(jì)損失，但所有的保險(xiǎn)賠償款總和卻僅占到了直接經(jīng)濟(jì)損失的百分之一。營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)能夠在很大程度上減少企業(yè)生產(chǎn)中斷損失，2013年SK海力士[3]無錫工廠大火造成DRAM生產(chǎn)線全面中斷，據(jù)估計(jì)企業(yè)投保的物質(zhì)損失險(xiǎn)及營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的保險(xiǎn)賠付金額在6億美元至9億美元之間。

在對(duì)營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)定性研究的過程中有學(xué)者指出營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)是企業(yè)轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)的有效手段，對(duì)企業(yè)運(yùn)營(yíng)和財(cái)務(wù)管理具有重要的意義[4]，同時(shí)由于突發(fā)事件的不確定性，管理者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度會(huì)發(fā)生變化，而這種變化會(huì)在很大程度上影響企業(yè)的決策[5]，營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)因?yàn)槠涑斜?nèi)容的不同而與其他保險(xiǎn)有很大的差別，具有深入研究的價(jià)值，保險(xiǎn)賠償期是企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的重要決策之一，是指在保險(xiǎn)期限內(nèi)發(fā)生了災(zāi)害事故后，自發(fā)生災(zāi)害事故導(dǎo)致?lián)p失之日起到企業(yè)恢復(fù)正常營(yíng)業(yè)止保險(xiǎn)人負(fù)責(zé)賠償投保人利潤(rùn)損失的期限。最優(yōu)賠償期的確定會(huì)受到許多外在因素的影響，成本因素包括購(gòu)買保險(xiǎn)成本、生產(chǎn)中斷導(dǎo)致的缺貨成本、恢復(fù)生產(chǎn)成本等。本文考慮企業(yè)在對(duì)諸多成本因素權(quán)衡下的購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的的最優(yōu)賠償期決策問題。

營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)作為企業(yè)應(yīng)對(duì)突發(fā)事件的有效策略之一，在風(fēng)險(xiǎn)管理中具有不容忽視的地位，然而理論研究成果卻非常有限。與本文研究?jī)?nèi)容相關(guān)的文獻(xiàn)主要包括三大類：一是對(duì)營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)條款的相關(guān)研究；二是購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的企業(yè)的運(yùn)營(yíng)決策問題；三是關(guān)于企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)偏好問題的研究。

營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的保險(xiǎn)條款研究主要包括保險(xiǎn)的承保方式、保險(xiǎn)責(zé)任、賠償期、賠償金等，丁欣[4](2013)、 徐常梅[1](2007)等學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了定性分析。陶存文[6](2008)從保險(xiǎn)的承保方式、保險(xiǎn)責(zé)任與條款、保險(xiǎn)金額和理賠期限等各個(gè)角度闡述了世界發(fā)達(dá)國(guó)家營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)制度的特征，提出相關(guān)條款的計(jì)算基礎(chǔ)。基于營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的具體條款研究、保額、賠償額計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，有學(xué)者針對(duì)企業(yè)實(shí)踐采用實(shí)證分析的方法作了進(jìn)一步研究：Drew[7](2013)認(rèn)為營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)能夠在很大程度上賠償企業(yè)由于突發(fā)事件而造成營(yíng)業(yè)中斷帶來的損失，并以Joplin龍卷風(fēng)為例進(jìn)行驗(yàn)證；Downs,Andrew B[8](2004)區(qū)分了一般財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)與營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的賠償范圍，指出由于民事暴動(dòng)或者恐怖襲擊造成企業(yè)營(yíng)業(yè)中斷時(shí)，保險(xiǎn)公司應(yīng)向被保人提供賠償；Hummer Paul M[9](2002)以一家企業(yè)遭遇雷擊造成供應(yīng)中斷為例說明營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的賠付條款和范圍；Harshani Kaushalya[10](2014)通過分析斯里蘭卡的商業(yè)性災(zāi)難實(shí)證研究的數(shù)據(jù)指出購(gòu)買保險(xiǎn)是企業(yè)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的重要戰(zhàn)略之一，同時(shí)也是快速恢復(fù)業(yè)務(wù)的策略。綜合以上研究可以發(fā)現(xiàn)，突發(fā)事件的發(fā)生會(huì)給企業(yè)帶來巨大的損失，不僅會(huì)破壞企業(yè)的機(jī)械設(shè)備，造成營(yíng)業(yè)的中斷，而且還會(huì)給企業(yè)帶來恢復(fù)期間的利潤(rùn)損失，營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)是企業(yè)彌補(bǔ)突發(fā)事件造成的損失的有效手段。

與營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)相關(guān)的企業(yè)運(yùn)營(yíng)決策研究主要集中于庫(kù)存策略以及企業(yè)管理。Tomlin 和Dong[11](2012)考慮了企業(yè)保險(xiǎn)、庫(kù)存和緊急采購(gòu)之間的定量關(guān)系，給出了不同條件下的最優(yōu)策略組合；Xueping Zhen[12](2016)，建立了企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷保險(xiǎn)戰(zhàn)略下配送中心損失的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而給出企業(yè)購(gòu)買保險(xiǎn)的決策依據(jù)；A.C. Gon?alves Neto[13](2012)用模糊凈現(xiàn)值法研究企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)決策，指出營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)與免賠額或者免賠期結(jié)合可以更好的提高企業(yè)的凈現(xiàn)值。國(guó)內(nèi)也有學(xué)者作了相關(guān)的研究：蔡鵬[2](2013)等研究發(fā)現(xiàn)企業(yè)購(gòu)買保險(xiǎn)后會(huì)影響庫(kù)存決策和企業(yè)的利潤(rùn)，而且?guī)齑嬉膊荒芡耆姹ｋU(xiǎn)；楊寶華[14](2011)研究營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)、業(yè)務(wù)持續(xù)經(jīng)營(yíng)管理以及保險(xiǎn)產(chǎn)品創(chuàng)新之間存在內(nèi)在聯(lián)系,三者有效結(jié)合可以產(chǎn)生新的管理模式。在營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)概念條款的基礎(chǔ)上，學(xué)者們?cè)谄髽I(yè)實(shí)際運(yùn)營(yíng)管理背景下研究庫(kù)存、采購(gòu)、應(yīng)急、配送決策，及風(fēng)險(xiǎn)管理，給出基于購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的企業(yè)運(yùn)營(yíng)策略優(yōu)化，為企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)提供了決策依據(jù)。但較少涉及企業(yè)購(gòu)買保險(xiǎn)本身這一行為的決策，綜合考慮企業(yè)購(gòu)買保險(xiǎn)成本和營(yíng)業(yè)中斷損失給出最優(yōu)保險(xiǎn)策略對(duì)企業(yè)乃至保險(xiǎn)行業(yè)都具有重要的意義。

在實(shí)踐中，企業(yè)不可能是完全的風(fēng)險(xiǎn)中性，而其對(duì)待突發(fā)事件導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)中斷的風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，將成為企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)決策的關(guān)鍵影響因素。關(guān)于不同風(fēng)險(xiǎn)偏好水平下企業(yè)決策問題，已有學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)的探討。黃金波[15](2014)指出風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR(value at risk)和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR(conditional value at risk)是目前主要的風(fēng)險(xiǎn)度量工具；肖群[16](2014)、朱傳波[17](2015)、李芹芹[5](2015)、于輝[18](2011)等學(xué)者運(yùn)用CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量準(zhǔn)則刻畫供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)偏好，研究不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的零售商和供應(yīng)商決策的變化。大量研究表明，企業(yè)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度會(huì)影響企業(yè)各個(gè)方面的決策，如何刻畫企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)于決策至關(guān)重要，而CVaR這一度量風(fēng)險(xiǎn)的工具能夠有效解決此類問題。

本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，綜合考慮購(gòu)買保險(xiǎn)成本、生產(chǎn)中斷損失、保險(xiǎn)賠付額度，運(yùn)用CvaR工具分別給出風(fēng)險(xiǎn)中性、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和風(fēng)險(xiǎn)喜好企業(yè)的最優(yōu)賠償期的決策，進(jìn)而分析賠償期與風(fēng)險(xiǎn)偏好水平的關(guān)系。

二、相關(guān)符號(hào)及假設(shè)

企業(yè)通過購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)轉(zhuǎn)移突發(fā)事件導(dǎo)致生產(chǎn)中斷風(fēng)險(xiǎn)，沒有應(yīng)急原材料和產(chǎn)成品庫(kù)存。在購(gòu)買的營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的保險(xiǎn)賠償期內(nèi)由于突發(fā)事件導(dǎo)致生產(chǎn)中斷后，企業(yè)可以從保險(xiǎn)公司獲得賠償金用于恢復(fù)生產(chǎn)，并且恢復(fù)生產(chǎn)所需資金額遠(yuǎn)大于購(gòu)買保險(xiǎn)的費(fèi)用。保險(xiǎn)賠償期越長(zhǎng)，保險(xiǎn)費(fèi)用越高，但是生產(chǎn)中斷時(shí)獲得足額賠償?shù)目赡苄栽礁摺?/p>

有風(fēng)險(xiǎn)偏好的企業(yè)制定決策不僅受成本因素的影響還受自身的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避水平或風(fēng)險(xiǎn)喜好水平的影響。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避企業(yè)，采用條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值CVaRA來描述企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)情況下發(fā)生生產(chǎn)中斷的總成本，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)喜好企業(yè)，采用條件風(fēng)險(xiǎn)喜愛值CVaRT來描述企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)情況下發(fā)生生產(chǎn)中斷的總成本。

由于營(yíng)業(yè)中斷保險(xiǎn)是在財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，故保險(xiǎn)條款規(guī)定，營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)基本費(fèi)率應(yīng)以財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的費(fèi)率為基礎(chǔ)費(fèi)率，本文采用u表示這一基礎(chǔ)費(fèi)率，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合賠償期進(jìn)行一定比例的調(diào)整，記調(diào)整的比例為m。

模型相關(guān)符號(hào)如下：

S：上一年度的營(yíng)業(yè)額；

α：營(yíng)業(yè)額年增長(zhǎng)率；

β：年通貨膨脹率；

r：企業(yè)的毛利潤(rùn)率；

b：恢復(fù)生產(chǎn)階段單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本的增加額，因?yàn)橥话l(fā)事件導(dǎo)致企業(yè)生產(chǎn)設(shè)備等受損，恢復(fù)期內(nèi)實(shí)際生產(chǎn)成本要大于出險(xiǎn)前生產(chǎn)成本；

P：?jiǎn)挝划a(chǎn)品批發(fā)價(jià)格；

q：生產(chǎn)中斷前單位時(shí)間內(nèi)最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量；

T：保險(xiǎn)賠償期(決策變量)；

t：企業(yè)在生產(chǎn)中斷之后到重新恢復(fù)生產(chǎn)所花費(fèi)的時(shí)間，服從(0,tm)上的均勻分布，分布函數(shù)為F(t)，密度函數(shù)為f(t)

φ(t)：生產(chǎn)恢復(fù)產(chǎn)量，φ(t) =εat，因?yàn)樯a(chǎn)恢復(fù)期間產(chǎn)量一定小于相同時(shí)間內(nèi)正常生產(chǎn)的產(chǎn)量，所以0<φ(t)

三、保險(xiǎn)賠償期優(yōu)化模型

考慮風(fēng)險(xiǎn)中性企業(yè)和風(fēng)險(xiǎn)偏好企業(yè)在諸多成本因素權(quán)衡下營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的最優(yōu)賠償期決策問題。企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)中性情況下，建立由購(gòu)買保險(xiǎn)費(fèi)用、保險(xiǎn)公司賠償金額和由于企業(yè)簽訂的賠償期少于實(shí)際恢復(fù)期所帶來的需自身承擔(dān)的額外費(fèi)用約束下的期望成本模型，進(jìn)而求得最優(yōu)賠償期。企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)偏好的情況下，采用Rockafellar R, Uryasev S[19]提出的CVaR求解公式，求解與不同偏好水平相關(guān)的最優(yōu)賠償期。

(一)企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)中性的情況

企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)情況下的總成本包括購(gòu)買保險(xiǎn)費(fèi)用、保險(xiǎn)公司賠償金額和由于企業(yè)簽訂的賠償期少于實(shí)際恢復(fù)期所帶來的需自身承擔(dān)的額外費(fèi)用，分兩種情況考慮：

1.當(dāng)企業(yè)實(shí)際恢復(fù)期小于企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的賠償期(t

2.當(dāng)企業(yè)實(shí)際恢復(fù)期大于企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的賠償期(t>T)時(shí)，保險(xiǎn)公司只賠付約定的賠償期內(nèi)的損失，超出賠償期限的損失由企業(yè)自身承擔(dān)。

則企業(yè)購(gòu)買保險(xiǎn)的總成本為：

其中，第一項(xiàng)為企業(yè)向保險(xiǎn)公司支付的購(gòu)買保險(xiǎn)的費(fèi)用，第二項(xiàng)為企業(yè)發(fā)生生產(chǎn)中斷后保險(xiǎn)公司賠付給企業(yè)的賠償金；第三項(xiàng)為企業(yè)未能在賠償期內(nèi)完全恢復(fù)生產(chǎn)而需要自身承擔(dān)的額外成本。

對(duì)上式取期望值，可得：

為求成本最低的最優(yōu)賠償期，對(duì)上式求一階導(dǎo)得：

二階導(dǎo)得：

因?yàn)閍εt

T*隨著最長(zhǎng)恢復(fù)期tm的增大而增大，即企業(yè)在不采取任何措施的情況下進(jìn)行生產(chǎn)恢復(fù)的時(shí)間越長(zhǎng)，說明企業(yè)恢復(fù)生產(chǎn)難度越大，此時(shí)企業(yè)應(yīng)該延長(zhǎng)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)的保險(xiǎn)賠償期。T*隨彈性系數(shù)ε的增大而減小，即生產(chǎn)恢復(fù)量彈性越大時(shí)，恢復(fù)產(chǎn)量的能力越強(qiáng)，能夠在較短的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)生產(chǎn)，企業(yè)就可以選擇簽訂較短的賠償期以減少支付給保險(xiǎn)公司的費(fèi)用。

(二)企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的情況

本文采用條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值CVaRA來描述企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷險(xiǎn)情況下發(fā)生生產(chǎn)中斷的總成本，CVaRA是指損失超過給定的規(guī)避水平的期望值，條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值隨著規(guī)避水平的增大而增大。假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避水平為U1。根據(jù)RockafellarR,UryasevS[19]提出的求解公式，企業(yè)的條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值為：

其中R為損失上限，是企業(yè)在成本為Cs(T)，規(guī)避值為U1的條件下的VaR(預(yù)計(jì)的最大損失)；

[Cs(T)-R]+=Max{0，Cs(T)-R}；

令

求得臨界值T1

(1)

令T1=0，得條件值R的臨界值R1，

同理，令

求得臨界值T2，

(2)

由于R2-R1=-pq(r+1)T+aε(pr+p-2b)T<0，故R2

為求得最優(yōu)的保險(xiǎn)賠償期，接下來分三種情形進(jìn)行討論：①RR1情況。

情形①R

i.T2≤0≤T≤T1

ⅱ.T2≤0≤T1≤T

將A、B帶入公式得此情況下的條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值為：

整理可得F(T)-F(T1)=U1即T1=T-tmU1，將T1帶入式(1)中求得最優(yōu)損失上限R*，

因?yàn)镽*>R2，所以最優(yōu)損失上限不在R取值范圍內(nèi)。為了找出該條件下的最優(yōu)損失上限R*，需要判斷CVaRAU1Cs(T)關(guān)于R在R

單調(diào)遞增，所以R*=R2時(shí)條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值取得最小值。

又因?yàn)門1>T與約束條件矛盾，所以此情況不存在。

情形②R2

ⅰ.0≤T1≤T,0≤T2≤T

整理可得F(T)-F(T1)=U1即T1=T-tmU1，將T1帶入式(1)求得最優(yōu)損失上限R*。

將R*代入CVaRAu1Cs(T)中可得：

為求風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避下的最優(yōu)賠償期，對(duì)條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值求一階導(dǎo)得：

由于條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值的一階導(dǎo)數(shù)無法判斷是否存在極值，故對(duì)條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值求二階導(dǎo)得：

ⅱ.0≤T1≤T,0≤T≤T2

ⅲ.T1≥T≥0,T2≥T≥0

求得F(T2)-F(T)=U1即T2=U1tm+T，將T2帶入式(2)可得

將R*代入CVaRAU1Cs(T)中得：

為求風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避下的最優(yōu)賠償期，對(duì)條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值求一階導(dǎo)得：

同理，對(duì)條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值求二階導(dǎo)得：

二階導(dǎo)數(shù)大于0，條件風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值是關(guān)于T的凹函數(shù)，故存在最小賠償期。

ⅳT1≥T≥0,0≤T2≤T

情形③R>R1情況

此時(shí)T1≥T，而T1<0，所以T<0，故此情況不存在。

兩種情況下求得的最優(yōu)賠償期都滿足

以上三種情形的討論結(jié)果如表1所示：

表1 企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避情況下最優(yōu)賠償期

綜上所述，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型企業(yè)只有在條件值R∈(R2,R1)時(shí)存在最優(yōu)保險(xiǎn)賠償期T*。通過結(jié)果研究可以發(fā)現(xiàn)，T*會(huì)隨著風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值U1的增大而增加即風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避水平越高，企業(yè)越愿意延長(zhǎng)賠償期、支付更多的保費(fèi)來購(gòu)買利潤(rùn)損失保險(xiǎn)以便獲得更多的賠償金額。

(三)企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)喜好的情況

條件風(fēng)險(xiǎn)喜愛值CVaRT是指在一定偏愛水平U下，損失風(fēng)險(xiǎn)不超過1-U的條件期望值。CVaRT(U)隨著U增大而減小；CVaRT(U)越小，決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏愛程度越高。假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)喜好型企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)偏好水平為U2(U2=1-U1)。

根據(jù)Rockafellar R, Uryasev S[19]提出的求解公式，企業(yè)條件風(fēng)險(xiǎn)喜好值為：

CVaRA1-U2Cs(T)=CVaRAU1Cs(T)

與(二)中的證明過程類似，可知以下三種情形：(1)R

①R2

對(duì)企業(yè)條件風(fēng)險(xiǎn)喜好值求期望，可得下式：

為求風(fēng)險(xiǎn)喜好下的最優(yōu)賠償期，對(duì)條件風(fēng)險(xiǎn)喜好值求一階導(dǎo)得：

由結(jié)果可以看出，在T≥0的條件下，風(fēng)險(xiǎn)喜好值的一階導(dǎo)大于0，所以當(dāng)T=0時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)喜好下購(gòu)買保險(xiǎn)的成本最低，即

T*=0

②R2

為求風(fēng)險(xiǎn)喜好下的最優(yōu)賠償期，對(duì)條件風(fēng)險(xiǎn)喜好值求一階導(dǎo)得：

由結(jié)果可以看出，在T≥0的條件下，風(fēng)險(xiǎn)喜好值的一階導(dǎo)大于0。說明隨著賠償期T的增大企業(yè)購(gòu)買保險(xiǎn)的成本會(huì)增加。所以當(dāng)T=0時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)喜好下購(gòu)買保險(xiǎn)的成本最低，即

T*=0

綜上所述，當(dāng)企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)喜好者時(shí)，其最優(yōu)保險(xiǎn)賠償期等于零，說明風(fēng)險(xiǎn)喜好企業(yè)不會(huì)采取購(gòu)買保險(xiǎn)的措施。

四、數(shù)值分析

(一)φ(t) =εat情形下的數(shù)值分析

1.圖1給出了在企業(yè)成本最低條件下最優(yōu)賠償期與彈性系數(shù)、最長(zhǎng)恢復(fù)期之間的關(guān)系。當(dāng)企業(yè)最長(zhǎng)恢復(fù)期tm一定時(shí)，最優(yōu)賠償期T*隨彈性系數(shù)ε的增大而減小，企業(yè)恢復(fù)生產(chǎn)的彈性越大，說明恢復(fù)越快，能夠在較短的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)生產(chǎn)，企業(yè)選擇簽訂較短的賠償期以降低支付給保險(xiǎn)公司的費(fèi)用；企業(yè)恢復(fù)生產(chǎn)的彈性越小，則相反。當(dāng)企業(yè)恢復(fù)生產(chǎn)彈性系數(shù)一定時(shí)，最優(yōu)賠償期隨最長(zhǎng)恢復(fù)期tm的增大而增大，最長(zhǎng)恢復(fù)期越長(zhǎng)，說明恢復(fù)難度越大，企業(yè)傾向于簽訂較長(zhǎng)的賠償期以獲得全部賠償。

2.當(dāng)企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者時(shí)，不同彈性系數(shù)下風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值U1、最長(zhǎng)恢復(fù)期tm與最優(yōu)賠償期T*的關(guān)系在圖2、圖3、圖4、圖5中給出。彈性系數(shù)ε一定時(shí)，賠償期T*隨風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值U1、最長(zhǎng)恢復(fù)期tm的增大而大幅增加，表明風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避水平越高對(duì)風(fēng)險(xiǎn)越敏感，這類型的企業(yè)傾向于選擇盡可能的規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)造成的損失，在購(gòu)買保險(xiǎn)時(shí)會(huì)簽訂較長(zhǎng)的賠償期。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值U1、最長(zhǎng)恢復(fù)期tm一定時(shí)，賠償期隨彈性系數(shù)ε的增大而減小。企業(yè)選擇的賠償期會(huì)隨最長(zhǎng)恢復(fù)期的增加而增加，這與實(shí)際問題相符。

圖1 T*與tm、ε之間的關(guān)系 圖2 ε=0時(shí)，U1、tm與T*的關(guān)系

圖3 ε=0.1時(shí)，U1、tm與T*的關(guān)系 圖4 ε=0.5時(shí)，U1、tm與T*的關(guān)系

圖5 ε=1時(shí)，U1、tm與T*的關(guān)系 圖6 T*與tm、ε之間的關(guān)系

圖7 ε=0.5時(shí)，U1、tm與T*的關(guān)系 圖8 ε=0.7時(shí)，U1、tm與T*的關(guān)系

五、小結(jié)

本文考慮了具有風(fēng)險(xiǎn)偏好的企業(yè)購(gòu)買營(yíng)業(yè)中斷保險(xiǎn)的最優(yōu)賠償期的優(yōu)化問題。通過建模分析分別給出了風(fēng)險(xiǎn)中性、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和風(fēng)險(xiǎn)喜好的企業(yè)最優(yōu)賠償期的決策以及最優(yōu)賠償期與風(fēng)險(xiǎn)偏好水平的關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)：(1)企業(yè)最優(yōu)賠償期與最長(zhǎng)恢復(fù)期和生產(chǎn)恢復(fù)彈性系數(shù)相關(guān)：最長(zhǎng)恢復(fù)期越長(zhǎng)，最優(yōu)賠償期越長(zhǎng)；生產(chǎn)恢復(fù)彈性系數(shù)越大，最優(yōu)賠償期越短。 (2)當(dāng)企業(yè)是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避類型時(shí)，最優(yōu)賠償期會(huì)隨著風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避值的增大而增加即風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避水平越高，企業(yè)越愿意延長(zhǎng)賠償期、支付更多的保費(fèi)來購(gòu)買保險(xiǎn)以便獲得更多的賠償金；(3)當(dāng)企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)喜好類型時(shí)，最優(yōu)賠償期不隨風(fēng)險(xiǎn)喜好值的變化而發(fā)生變化，此類型企業(yè)可能不會(huì)采取購(gòu)買保險(xiǎn)的措施。

需要指出的是，(1)本文只考慮了生產(chǎn)企業(yè)的購(gòu)買保險(xiǎn)的最優(yōu)決策，沒有考慮在供應(yīng)鏈環(huán)境下的企業(yè)購(gòu)買保險(xiǎn)的最優(yōu)決策以及決策分別對(duì)上下游企業(yè)、供應(yīng)鏈的影響。(2)本文在考慮賠償金額時(shí)只考慮了毛利潤(rùn)損失賠償，但實(shí)際中還包括工資損失賠償、審計(jì)師費(fèi)用賠償?shù)取?3)本文假設(shè)市場(chǎng)需求、價(jià)格外生給定，但實(shí)踐可能存在因生產(chǎn)中斷，而導(dǎo)致市場(chǎng)需求以及價(jià)格發(fā)生變化的情況。(4)本文假設(shè)企業(yè)沒有安全庫(kù)存及應(yīng)急原材料，這將影響企業(yè)的最優(yōu)賠償期。將在后續(xù)的研究中對(duì)這幾方面的問題進(jìn)行探討。

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[責(zé)任編輯：郭秀艷]

Insurance Compensation Period Problem on Enterprises to Purchase Business Interruption Insurance with the Risk Preference

MA Zhong-hua，JIAO Yuan-zhu

(School of Economics and Management, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306,China)

This paper developed the optimization of insurance compensation period considering the enterprise purchases business interrupt insurance to transfer the loss of production interruption caused by the emergency.Due to the insurance compensation period will affect the insurance premium and the compensation that enterprises can get after production interruption, then will affect the enterprise income. Therefore, this paper consider that enterprises are facing the constraints of shortage cost and recovery cost of production caused by production interruption and purchase insurance cost under the circumstances that market demand and price are exogenously given. The optimal decision model of buying insurance is established by using the financial risk control tool- CvaR.The optimal insurance compensation period was given respectively about enterprise risk neutral and risk aversion and risk loving on the basis of the optimal solution of the model. The research shows that compensation period is changeable as the change of enterprises attitude to risks; especially enterprises may not purchase the insurance when the enterprise is risk loving. Finally, a numerical example is used to verify the model and explain the results.

production interruption；risk preference；business interrupt insurance；insurance compensation period

2016-08-08

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71473162，71373157，71301045,71511117)；上海市大學(xué)創(chuàng)新能力建設(shè)項(xiàng)目(15590501800)；上海海事大學(xué)研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目(2015ycx023)

馬中華(1979-)，女，遼寧西豐人，上海海事大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院副教授，博士，從事供應(yīng)鏈金融、供應(yīng)鏈合同管理研究.

F840

A

2095-5863(2016)06-0081-011