基于非線性方程組的吸引子圖形繪制

孔祥昆， 于萬波

(大連大學(xué) 信息學(xué)院，遼寧 大連 116622)

基于非線性方程組的吸引子圖形繪制

孔祥昆， 于萬波

(大連大學(xué) 信息學(xué)院，遼寧 大連 116622)

利用線性函數(shù)迭代系統(tǒng)進(jìn)行迭代可以繪制出樹與山等自然景物，而非線性系統(tǒng)在這方面的研究結(jié)果相對(duì)較少。本文利用輔助函數(shù)與一個(gè)隨機(jī)生成的多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)，其中輔助函數(shù)具備類似正弦函數(shù)的性質(zhì)，而多項(xiàng)式函數(shù)只含有二次項(xiàng)或者一次項(xiàng)，通過繪制分形圖等方法對(duì)系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行分析，結(jié)果表明，一組三維正弦函數(shù)與兩個(gè)三維多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)造的動(dòng)力系統(tǒng)是混沌的概率很高，通過迭代可以得到眾多的具有觀賞和實(shí)用價(jià)值的三維吸引子。除了可以輔助繪制吸引子圖形外，這種構(gòu)造混沌的方法也是混沌理論研究的一個(gè)實(shí)例。

混沌；吸引子；曲面；迭代

0 引言

近年來，研究人員對(duì)函數(shù)迭代系統(tǒng)(Iterated Function System)進(jìn)行了深入的研究[1]，取得了許多研究成果。例如，研究人員使用線性迭代系統(tǒng)繪制出樹、山等自然景物，從而誕生了分形幾何這一新的學(xué)科分支；在非線性函數(shù)迭代的研究方面得到了著名的Julia集合與Mandelbrot集合等研究成果[2]。此外還有M.F.Barnsley研究得出的拼貼定理[3]。在其他各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，都有關(guān)于迭代系統(tǒng)的經(jīng)典實(shí)例，例如，由簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的描述大氣運(yùn)動(dòng)的Lorenz系統(tǒng)[4]，這一系統(tǒng)促使研究人員開始對(duì)混沌進(jìn)行深入研究；化學(xué)反應(yīng)中也有著許多混沌系統(tǒng)，如Brussels振子[5]；一些人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的系統(tǒng)等也可以出現(xiàn)混沌[6]。對(duì)于什么樣的函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)才可以出現(xiàn)混沌，文獻(xiàn)[7]選擇插值擬合曲面進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[7]研究發(fā)現(xiàn)，如果式(1)

(1)中的曲面f(x,y)是雙二次有理貝塞爾(曲面)函數(shù)，而另外一個(gè)曲面g(x,y)是隨機(jī)生成的多項(xiàng)式曲面，則式 (1)所示的動(dòng)力系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的概率可以大于十分之一。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[8-9]研究了三角函數(shù)曲面與隨機(jī)多項(xiàng)式曲面構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)的混沌特性，發(fā)現(xiàn)在一定的參數(shù)區(qū)間內(nèi)，出現(xiàn)混沌的概率可以超過90%，所以三角函數(shù)是一種(目前來看)最好的輔助函數(shù)。文獻(xiàn)[9]使用三維輔助函數(shù)，例如三維三角函數(shù)、小波函數(shù)、Logistic函數(shù)等與兩個(gè)三維隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)，研究發(fā)現(xiàn)其是否出現(xiàn)混沌與三維函數(shù)的截面形狀有直接關(guān)系。

本文在以上研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了什么樣的曲面構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)是混沌的，以及如何使用迭代函數(shù)系統(tǒng)生成更多的圖形圖案，以用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)漫設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。

1 二維正弦函數(shù)與隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)

作為輔助函數(shù)，正弦函數(shù)具有很好的特性，振蕩并占有一定的空間，與另外一個(gè)二次隨機(jī)多項(xiàng)式構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)，如式(2)所示。使用該動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行迭代，能夠構(gòu)造出大量的混沌系統(tǒng)[8]。

(2)

本文進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)與其他形式的隨機(jī)多項(xiàng)式構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)也可以很容易出現(xiàn)混沌，并且能夠產(chǎn)生大量獨(dú)特的吸引子圖形。

1.1 二維正弦函數(shù)與沒有xy項(xiàng)的隨機(jī)二次函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)

式(2)中系數(shù)是隨機(jī)生成的，其中某個(gè)系數(shù)為0的可能性比較小。如果令某些系數(shù)為0，則：

(3)

令式(3)中的k=3.141 59，隨機(jī)生成g(x,y)表達(dá)式的系數(shù)，其為-1～1之間的數(shù)。為了確保迭代能夠正常進(jìn)行，將多項(xiàng)式g(x,y)函數(shù)值調(diào)整到-1～1之間。調(diào)整方法是：首先計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)在[0, 1]× [0, 1]區(qū)域上的最大值g(x,y)max和最小值g(x,y)min，然后使用式(4)進(jìn)行調(diào)整：

(4)

調(diào)整之后的函數(shù)經(jīng)過仿真模擬繪制出吸引子圖形，如圖1所示。

圖1 沒有xy項(xiàng)的隨機(jī)二次函數(shù)繪制出的吸引子圖形矢量

得到4個(gè)吸引子的系數(shù)a0，a1，a2，a3，a4分別為:

(a)0.401 3，0.965 4，0.613 3，0.407 1，-0.030 1;

(b)0.831 9，0.204 0，-0.492 9，0.746 9，0.026 8;

(c)0.656 1，0.835 1，-0.773 8，0.624 3，0.816 5;

(d)-0.086 1，0.576 3，-0.437 9，-0.550 4，0.817 7。

當(dāng)式(3)中g(shù)(x,y)的常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)都為0時(shí)，如式(5)所示，這種情形下，也易于出現(xiàn)混沌，但是因?yàn)閰?shù)少，所以吸引子樣式減少，很容易得到一些中間過渡的吸引子圖形，如圖2所示，其中f(x,y)的參數(shù)k=3.141 59。

(5)

圖2 只有平方項(xiàng)的隨機(jī)二次函數(shù)繪制出的吸引子圖形

系數(shù)分別為:(a)0.756 6，0.283 3;(b)0.369 3，0.957 0;(c)-0.812 1，0.300 1;(d)-0.990 6，0.206 2。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)g(x,y)沒有平方項(xiàng)或有xy項(xiàng)時(shí)，如式(6)與式(7)，不易出現(xiàn)混沌。

(6)

(7)

當(dāng)g(x,y)有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、平方項(xiàng)，也有立方項(xiàng)時(shí)，如式(8)所示，可以繪制出眾多吸引子，如圖3所示。

(8)

得到的吸引子系數(shù)分別為：

圖3 有立方項(xiàng)的隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)繪制出的吸引子圖形

(a)-0.120 2，0.866 8，0.366 7，0.678 5，0.257 6，-0.574 9，-0.732 5；

(b)-0.535 3，0.609 7，0.816 8，-0.521 4，-0.900 5，-0.536 2，-0.843 2；

(c)-0.248 2，-0.980 2，-0.160 3，0.587 7，0.839 9，0.507 3，0.689 4；

(d)0.867 7，-0.725 6，0.043 2，0.790 4。

由圖3可知，當(dāng)式(8)中g(shù)(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x3時(shí)，出現(xiàn)混沌吸引子的概率小一些(大約在0.5)，不過會(huì)出現(xiàn)一些面積比較大的混沌，如圖2(d)所示。

為了提升出現(xiàn)混沌吸引子的概率，把式(8)中的f(x,y)調(diào)整為f(x,y)=sin(k1x2+k2y2)，就會(huì)很容易出現(xiàn)混沌，如圖4所示。

圖4 有立方項(xiàng)的隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)繪制出的吸引子圖形

此時(shí)，吸引子系數(shù)分別為：

(a)0.539 8，-0.249 9，0.646 8，-0.906 7，0.195 8，0.898 3，-0.422 4，k1=3.141 59,k2=3.8;

(b)0.332 2，-0.738 1，-0.809 2，-0.970 3，-0.423 6，0.633 5，0.971 0，k1=3.141 59,k2=2.8。

1.2 二維正弦函數(shù)與隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)迭代出現(xiàn)混沌的條件分析

周期點(diǎn)在混沌研究中有著重要的作用。如果一個(gè)系統(tǒng)沒有不動(dòng)點(diǎn)(一周期點(diǎn))和二周期點(diǎn)，那它就不是Li-Yorke混沌的，也不是Devaney混沌的。另外文獻(xiàn)[8]分析了二維Devaney混沌產(chǎn)生的必要條件與周期點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的乘積的絕對(duì)值之間的關(guān)系。

由文獻(xiàn)[8]結(jié)論1和結(jié)論2可知，在構(gòu)造混沌曲面迭代時(shí)，周期點(diǎn)處不能太平坦。這里所說的混沌需要滿足Devaney混沌定義中的遍歷性，即對(duì)定義域內(nèi)任何兩個(gè)開集U,V∈χ,存在自然數(shù)k，使得fk(U)∩V≠φ。

結(jié)論3 二元連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)如式(1)所示，如果對(duì)于N周期中的N個(gè)點(diǎn)(N為正整數(shù))，都滿足式(9)：

(9)那么該動(dòng)力系統(tǒng)不是混沌的。與Lyapunov指數(shù)相比，這種判斷條件雖然不是充分條件，但是也能夠排除諸多的非混沌系統(tǒng)，準(zhǔn)確地驗(yàn)證一個(gè)系統(tǒng)是否是遍歷混沌的。另外這種方法不需要計(jì)算特征值，不需要取對(duì)數(shù)，可以節(jié)省時(shí)間。

上面討論的都是二維函數(shù)構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)，三維函數(shù)構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)也存在著類似于結(jié)論1和結(jié)論2的結(jié)果。

2 多個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)構(gòu)成非線性函數(shù)迭代系統(tǒng)

在第1節(jié)中研究的是二維函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)的情形，下面將多個(gè)三維函數(shù)構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)組合在一起，構(gòu)成隨機(jī)非線性迭代系統(tǒng)，按照一定的概率，隨機(jī)選取其中的某個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行迭代，這樣，可以生成更多形式的更加復(fù)雜多樣的吸引子圖形。例如使用式(10)所示的動(dòng)力系統(tǒng)構(gòu)造隨機(jī)非線性迭代系統(tǒng)：

(10)

使用4個(gè)如式(10)所示的動(dòng)力系統(tǒng)組成一個(gè)迭代系統(tǒng)，當(dāng)f(x,y,z)參數(shù)k分別取1.5、2、2.5、3，g(x,y,z)的系數(shù)如表1所示，h(x,y,z)的系數(shù)如表2所示，這時(shí)繪制出的吸引子圖形如圖5所示。

使用4個(gè)如式(10)所示的動(dòng)力系統(tǒng)組成一個(gè)迭代系統(tǒng)，當(dāng)f(x,y,z)參數(shù)k分別取1.5, 2, 2.5, 3；g(x,y,z)的系數(shù)如表3所示；h(x,y,z)的系數(shù)如表4所示，這時(shí)繪制出的吸引子圖形如圖6所示。

表1 隨機(jī)生成的多項(xiàng)式系數(shù)表(a)

表2 隨機(jī)生成的多項(xiàng)式系數(shù)表(b)

圖5 根據(jù)表1和表2系數(shù)繪制出的吸引子

圖6 根據(jù)表3和表4系數(shù)繪制出的吸引子

a1a2a3a4a5a6a70.0278-0.3097-0.0146-0.24600.06940.31600.1965-0.1470-0.13260.3439-0.34070.1906-0.18070.4788-0.0489-0.4207-0.2335-0.16920.2437-0.0329-0.17540.4384-0.4547-0.28220.3046-0.2862-0.1590-0.3302

表4 隨機(jī)生成的多項(xiàng)式系數(shù)表(b)

3 結(jié)論

本文給出了一種實(shí)用的混沌吸引子生成方法，利用正弦函數(shù)等混沌性質(zhì)較好的函數(shù)與隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行迭代，可產(chǎn)生大量的具有觀賞和使用價(jià)值的吸引子。圖案幾乎不可以窮盡，變化多端，有很多具有相當(dāng)高的審美價(jià)值與研究?jī)r(jià)值。

使用少數(shù)的方程構(gòu)成線性IFS迭代可以生成樹、山等自然景物，使用非線性方程組進(jìn)行迭代能否很容易地生成動(dòng)物與人，這是一個(gè)需要進(jìn)一步研究的工作。

[1] DUMITRU D, LOANA L, SFETCU R C, et al．Topological version of generalized (infinite) iterated function systems[J] ．Chaos,Solitons & Fractals, 2015(71):78-90.

[2] AVERBECK N, RAINES B E. Distributional chaos in dendritic and circular Julia sets[J] ．Journal of Mathematical Analysis and Applications,2015,8(15): 951-958.

[3] Barnsley M F, HARRINGTON A N. A mandelbrot set for pairs of linear maps[J].Physica D: Nonlinear Phenomena, 1985,4(3):421-432.

[4] Li Chunbiao, SPROTT J C, THIO W．Linearization of the Lorenz system[J].Physics Letters A, 2015, 5(10):888-893.

[5] Zhou Changsong, Chen Tianlun. Chaotic neural networks and Chaotic annealing[J]. Neurocomputing, 2000,30(1-4):293-300.

[6] 秦元?jiǎng)?曾憲武．生物化學(xué)中的布魯塞爾振子方程的定性研究[J].科學(xué)通報(bào)， 1980(8)：337-339.

[7] 于萬波，周洋．空間單位區(qū)域雙二次有理貝賽爾曲面混沌特性研究[J] ．物理學(xué)報(bào)，2013(22)： 25-35.

[8] 于萬波，趙斌．曲面迭代混沌特性研究[J].物理學(xué)報(bào)，2014(12)：31-41.

[9] 于萬波．截面的幾何形狀決定三維函數(shù)的混沌特性[J] ．物理學(xué)報(bào)，2014(12)：22-30.

Attractor graphics drawing method based on curved iteration

Kong Xiangkun， Yu Wanbo

(College of Information Engineering, Dalian University, Dalian 116622, China)

Linear function iteration system can be used to draw a tree with the natural scenery, while the research on nonlinear system are relatively few. A power system is built using the auxiliary function and a polynomial function randomly generated in this paper. The auxiliary function has the similar properties of sine function, and the polynomial function contains only secondary item or an item. The chaotic characteristic of the aystem is analyzed by the method of drawing the fractal image. The results show that the power system structured by a set of 3 d sine function and two 3d polynomial function is a high probability of chaos. Through iteration can get numerous three-dimensional attractor of ornamental and practical value. This construct chaos method not only helps draw up the attractor graph, but it is also an instance of chaos theory research.

chaotic; attractor; curved surface; iteration

TP391

A

1674-7720(2016)05-0065-04

孔祥昆，于萬波. 基于非線性方程組的吸引子圖形繪制[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2016,35(5)：65-68.

2015-11-06)

孔祥昆(1988-)，男，碩士研究生，主要研究方向：非線性系統(tǒng)仿真。

于萬波(1966-)，通信作者，男，博士，副教授，主要研究方向：圖像識(shí)別、混沌。E-mail: yu_wb@126.com。