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    2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第10題探究*

    2017-01-12 08:07:17四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院李雪梅內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院趙思林
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年21期
    關(guān)鍵詞:動點(diǎn)本題試題

    ☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 李雪梅☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

    2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第10題探究*

    ☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 李雪梅☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

    2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第10題:在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿足動點(diǎn)P,M滿足則的最大值是( ).

    此題立意鮮明,含有教材背景,思路寬解法多,極富思維價值,許多一線教師對此題給予較高評價.下面擬從試題的立意分析、教材背景、思路與解法探究、試題的推廣、解題后的回顧與教學(xué)啟示等方面作一番研究.

    一、試題的立意分析

    立意是試題的考查目的.高考數(shù)學(xué)命題以能力立意為價值取向,一般從數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)等方面確定試題的考查目的.本題重視對數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查[1].下面從考查數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)等方面分析該題的立意.

    以數(shù)學(xué)語言立意:數(shù)學(xué)語言主要包括抽象的符號語言、直觀的圖表語言、量化的代數(shù)語言和普通的自然語言,這里的自然語言是指母語,在中國母語指漢語.本題以6個點(diǎn)(4個定點(diǎn)和2個動點(diǎn))、向量的模、向量的數(shù)量積、向量的線性關(guān)系、向量的模的平方、多個方程等符號的形式呈現(xiàn),考生普遍感到字母多、符號多、關(guān)系多,頗有無從下手、力不從心的心境.面對比較多的向量符號,一種自然的考慮是用向量自身的知識和方法解決問題,這對向量掌握得不好的考生來說是困難的.因此,更多的考生是選擇將抽象的向量符號語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語言或代數(shù)語言(如坐標(biāo)語言).這顯然有考查數(shù)學(xué)語言的相互表征與互譯互化的意圖.

    以數(shù)學(xué)思想方法立意:本題若只用向量自身的知識和方法解決,則需用向量法;本題若不用向量法,則可考慮先建立直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)法),然后用三角法或解析法解決問題.如果從條件和問題的幾何意義來思考和處理問題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,則可用平面幾何知識和方法直接簡潔解答.因此,本題的解答可以涉及4大基本方法:向量法,坐標(biāo)法,三角法,解析法;也必涉及求最值的一些方法.本題考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想.

    以數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)立意:該題考查了考生的思維能力、運(yùn)算能力、實(shí)踐能力(動手畫圖)和創(chuàng)新意識.數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)的核心是思維.本題對思維能力進(jìn)行了全面考查,對眾多數(shù)學(xué)符號的觀察與聯(lián)想,對解題思路的預(yù)估與頓悟,對解題方法的嘗試與選擇等,都需要直覺思維;對正三角形的判定、正三角形邊長的計算的線性表示、最值的計算等,則需邏輯思維;對隱藏在題目中的幾何本質(zhì)的深邃洞察與靈活運(yùn)用,則需靈感思維和創(chuàng)新思維.本題還考查了思維的廣闊性、深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性等品質(zhì).

    二、試題的教材背景

    從歷年高考試題的題源來看,教材是試題的主要來源,是高考命題的重要依據(jù)和出發(fā)點(diǎn),很多優(yōu)秀的高考試題都有“源于教材、高于教材”的特點(diǎn).本題源于教材、高于教材.如題干中的是以人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》必修4第二章總復(fù)習(xí)題B組的第5題和第8題為背景改編的.題干中動點(diǎn)P,M滿足含有人教A版必修2第4.1.2節(jié)的例5的背景,這個例5可以推廣成一個命題:平面內(nèi),圓上任意點(diǎn)與一個定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡仍是一個圓.像這樣立足于教材設(shè)計的試題,既可保證試題背景的公平性,又對抑制題海戰(zhàn)術(shù)有好處,還對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用.因此,應(yīng)大力提倡立足于教材編擬高考試題.

    三、思路與解法探究

    喬治·波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說:“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題.”思維心理學(xué)認(rèn)為,發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的核心.本題具有思路寬闊、解法多樣等特點(diǎn).本題可以從多種不同角度進(jìn)行分析與探究,可以得到多種解法,這可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,從而可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

    思路(一):三角法

    同理可得,DA⊥BC,DC⊥AB,從而D是△ABC的垂心.

    所以△ABC的外心與垂心重合,因此△ABC是正三角形,且D是△ABC的中心.即

    如圖1,以A為原點(diǎn)、直線SA為x軸建立直角坐標(biāo)系.

    圖1

    思路(二):解析法

    設(shè)點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=1,因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn),則M的坐標(biāo)為

    又設(shè)M(x1,y1),則可得代入可得:即這表明,點(diǎn)M在圓

    思路(三):向量法

    方法6:取AC的中點(diǎn)K,連接KM,BM,BP,BK.

    因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn),因此有

    點(diǎn)評:此解法充分發(fā)揮了向量的工具性作用,解過程體現(xiàn)了思維量大、運(yùn)算量小的特點(diǎn).

    思路(四):平面幾何法

    方法7:設(shè)AC的中點(diǎn)K,連接KM,BK.KM是△ACP中位線,則即其中K為定點(diǎn),M為動點(diǎn),動點(diǎn)M到定點(diǎn)K的距離恒等于這表明動點(diǎn)M的軌跡是以K為圓心為半徑的圓當(dāng)且僅當(dāng)B,K,M三點(diǎn)共線且K在B、M之間時取等號.故

    點(diǎn)評:此解法深刻洞察并發(fā)掘了隱藏在題目中的幾何本質(zhì)(動點(diǎn)M的軌跡是圓),顯示出幾何直觀在數(shù)學(xué)解題中的巨大價值,值得欣賞和提倡.

    四、試題的推廣

    試題的推廣是指對試題進(jìn)行引申、加強(qiáng)與深化.對試題的推廣,有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的深化,開拓思維的視野,并能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力,以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究意識和創(chuàng)新意識[2].數(shù)學(xué)問題的推廣,對培養(yǎng)學(xué)生的觀察洞察能力、類比聯(lián)想能力、歸納猜想能力、問題探究能力是有益的.

    下面我們對該題進(jìn)行推廣.

    推廣1平面內(nèi)的定點(diǎn)A,B,C,D滿足空間中的動點(diǎn)P,M滿足則的最大值是( ).

    推廣1將平面內(nèi)的動點(diǎn)P,M推廣到空間中的動點(diǎn),仍可用前面的一些解法得出答案,且的最大值不變.

    推廣2平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿足動點(diǎn)P,M滿足則的最小值是( ).

    推廣3平面內(nèi)的定點(diǎn)A,B,C,D滿足動點(diǎn)P滿足0),動點(diǎn)M滿足則的最大值是( ).

    五、解題后的回顧與教學(xué)啟示

    上面的思路探究與解法運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想,并運(yùn)用了三角法、解析法、向量法、平面幾何法等多種數(shù)學(xué)基本方法,有效訓(xùn)練了數(shù)學(xué)思維的靈活性、發(fā)散性、選擇性和創(chuàng)造性.此外,解答本題有以下幾個關(guān)鍵點(diǎn):一是數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換,即要準(zhǔn)確的將符號化的向量語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語言或代數(shù)語言(如坐標(biāo)語言)等;二是運(yùn)用教材習(xí)題的解題經(jīng)驗(yàn),準(zhǔn)確并快速地判斷△ABC為正三角形;三是本題以A,B,C,D等點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系都是可行的,因此建系具有靈活性,但建立不同的坐標(biāo)系,其運(yùn)算量的大小不同,本題以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系較為理想,可以減少運(yùn)算量,簡化求解過程;四是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,可以達(dá)到多想少算的效果,比如用向量法,或者用數(shù)形結(jié)合思想(平面幾何方法),就能回避或減少煩瑣運(yùn)算.

    此題對教學(xué)的啟示是多方面的:(1)不管是新課教學(xué)還是高三復(fù)習(xí),都應(yīng)重視教材中的例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題的研究,這里主要是指對教材中部分富含思維價值的題目進(jìn)行研究;(2)教學(xué)中應(yīng)重視抽象的符號語言、直觀的圖表語言、量化的代數(shù)語言、熟悉的自然語言之間的相互表征與互譯互化;(3)應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué);(4)數(shù)學(xué)解題教學(xué)要突出“想”的訓(xùn)練,包括多角度地聯(lián)想、大膽地猜想、直覺地想象等;(5)大力提倡立足于教材編擬高考題,唯有如此,才能真正使高中數(shù)學(xué)教學(xué)重視教材、回歸教材、研究教材[3].

    1.張進(jìn)華.既要夯實(shí)“通性通法”,又要學(xué)會“靈活變通”——從兩道高考試題的解法談起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2016(5).

    2.趙思林.高考數(shù)學(xué)解題分析[M].成都:四川大學(xué)出版社,2011.

    3.趙思林,李建軍.一個高考最小值問題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2012(5).

    *項(xiàng)目來源:教育部“本科教學(xué)工程”四川省地方屬高校本科專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目——內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)“專業(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目(ZG0464);四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計劃”項(xiàng)目.趙思林系碩士研究生李雪梅的指導(dǎo)教師.趙思林系本文通訊作者.

    1.李雪梅,女(1994-),四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)碩士研究生.

    2.趙思林,男,(1962-),教授,碩士生導(dǎo)師,主要從事數(shù)學(xué)教育、高考數(shù)學(xué)和思維心理學(xué)研究.

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