一類變量為梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃

周喜華，賈洪信，鄧勝岳,吳 瑤

(1.廣東環(huán)境保護(hù)工程職業(yè)學(xué)院，廣東 佛山 528216;2.湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南 株洲 412007)

一類變量為梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃

周喜華，賈洪信1，鄧勝岳2,吳 瑤2

(1.廣東環(huán)境保護(hù)工程職業(yè)學(xué)院，廣東 佛山 528216;2.湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南 株洲 412007)

針對(duì)變量為梯形模糊數(shù)的模糊線性規(guī)劃問(wèn)題，利用結(jié)構(gòu)元方法定義了一種模糊數(shù)的排序準(zhǔn)則，討論了如何將變量是梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃去模糊化，即將含有變量為梯形模糊數(shù)的模糊線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為經(jīng)典模糊線性規(guī)劃.同時(shí)，證明了該模型的最優(yōu)解等價(jià)于經(jīng)典的線性規(guī)劃的最優(yōu)解，再利用單純形法求出最優(yōu)解.并設(shè)計(jì)了求解該類模型的算法.通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法的可行性和算法的有效性，從而為變量模糊的廣義模糊線性規(guī)劃問(wèn)題的研究提供了新的方法.

模糊結(jié)構(gòu)元；模糊線性規(guī)劃；最優(yōu)解

數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題是人們?cè)诮?jīng)濟(jì)管理、工程技術(shù)和科學(xué)研等各個(gè)領(lǐng)域中常常遇到的問(wèn)題，它所研究的是在眾多的方案中如何找到最優(yōu)的方案和什么樣的方案是最優(yōu)的方案.而最優(yōu)化這一數(shù)學(xué)分支，則正是為了解決這些問(wèn)題，提供了求解的方法和理論基礎(chǔ)，是一門應(yīng)用很廣泛、實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科.1965年，加利福尼亞大學(xué)扎德(Zadeh L.A[1])教授在《信息與控制》這一雜志上發(fā)表了一篇開(kāi)創(chuàng)性的論文“Fuzzy Sets”，這標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生.在實(shí)際管理問(wèn)題的建模中，由于人類認(rèn)知的局限性和環(huán)境的模糊性，因此，越來(lái)越多的學(xué)者和研究者投身于模糊數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用的研究，并取得了一些好的研究成果.如：Guu S M, Wu Y K[2]針對(duì)一種含有模糊約束的線性規(guī)劃問(wèn)題給出了一類求解的方法；Maleki H R, Tata M, Mashinchi M,et al[3]主要是研究了一類含有模糊決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題；Cadenas J M, Verdegay J L[4]主要研究了目標(biāo)函數(shù)系數(shù)為模糊數(shù)的多目標(biāo)模糊線性規(guī)劃問(wèn)題；曾慶寧[5]提出了一類模糊系數(shù)規(guī)劃的定義，同時(shí)給出了求其模糊最優(yōu)解的方案. Zimmermann[6]第一個(gè)提出了模糊線性規(guī)劃的算法，后續(xù)各種各樣的模糊規(guī)劃的形式和求解算法被許多學(xué)者提出.Fang等人針對(duì)一種含有模糊系數(shù)的規(guī)劃問(wèn)題，提出了將這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為能夠用割平面法處理的線性半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題，他們求解這種類型的模糊線性規(guī)劃問(wèn)題的思想，全部是通過(guò)用各不相同的方法將其轉(zhuǎn)化成為經(jīng)典的線性規(guī)劃求解的.考慮到尋優(yōu)問(wèn)題的多樣性和復(fù)雜性，最近幾年來(lái)許多學(xué)者提出了一些新的尋優(yōu)算法，比如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、禁忌搜索、模擬退火等.從幾何上來(lái)說(shuō)，線性規(guī)劃的算法研究大致可以分為三種類型:第一類是單純形類算法，即沿著可行域的邊界按一定的旋轉(zhuǎn)規(guī)則，從一個(gè)頂點(diǎn)(基本可行解)移至另一個(gè)更優(yōu)的頂點(diǎn)；第二類是外點(diǎn)算法[6-7]，即迭代點(diǎn)從可行域的外部收斂至原問(wèn)題的最優(yōu)解；第三類是內(nèi)點(diǎn)算法[6,8]，即迭代的路徑是在可行域的內(nèi)部進(jìn)行的.1976年，R.Jain在解決模糊決策問(wèn)題中,首次提出了一種排序方法之后,許多的研究工作者接踵提出很多的排序方法,其中涉及的排序指標(biāo)的有40多種.雖然排序指標(biāo)之間看起來(lái)有很大的不同,但它們大致可以分為三類[9]:一是將排序的每個(gè)模糊量都轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)，進(jìn)而利用實(shí)數(shù)的自然序關(guān)系推導(dǎo)出模糊量的序關(guān)系；二是先行通過(guò)的所有的模糊量形成一個(gè)參考集，然后把參考集以每一個(gè)模糊量進(jìn)行比較，從而確定模糊量之間的序關(guān)系；三是對(duì)模糊量的模糊關(guān)系進(jìn)行構(gòu)造，然后通過(guò)該模糊關(guān)系實(shí)現(xiàn)模糊量之間的兩兩比較.

本文主要針對(duì)于一類實(shí)際管理優(yōu)化問(wèn)題中變量為梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃模型的研究，該類模型的求解難點(diǎn)在于模糊數(shù)的排序及其最優(yōu)解存在的條件.本文利用模糊結(jié)構(gòu)元理論[10-12]，證明了變量為梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題等價(jià)于線性規(guī)劃問(wèn)題，再設(shè)計(jì)算法得到了該類問(wèn)題的最優(yōu)解.避免了運(yùn)用模糊λ截集理論將變量為模糊數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)問(wèn)題，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，從而為解決變量為梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題提供了新途徑.

1 模糊數(shù)的基礎(chǔ)理論與模糊結(jié)構(gòu)元的理論及其性質(zhì)

1.1 模糊數(shù)的基礎(chǔ)理論

經(jīng)典集A可以由特征函數(shù)χA(x)唯一確定，即映射

確定了X上的經(jīng)典子集A.χA(x)表明x對(duì)A的隸屬程度，不過(guò)僅有兩種狀態(tài)：一個(gè)元素x要么屬于A，要么不屬于A.

定義1[9,13]設(shè)U是論域，稱映射

Note:其中,NC(R)表示R上全體有界閉模糊數(shù)的集合.

由定義2知，模糊集的λ-截集Aλ是一個(gè)經(jīng)典集，由隸屬度不小于λ的成員構(gòu)成.它的特征函數(shù)為

2)若λ≤μ,則Aλ?Aμ；

1.2 模糊結(jié)構(gòu)元及其性質(zhì)

定義4[10]設(shè)E為實(shí)數(shù)域R上的模糊集,隸屬函數(shù)記為E(x),x∈R.如果E(x)滿足下述性質(zhì):1)E(x)=1x>1;2)在區(qū)間[-1,0)上E(x)是單增右連續(xù)函數(shù),在區(qū)間(0,1]上是單降左連續(xù)函數(shù);3)當(dāng)x<-1時(shí),E(x)=0,則稱E為R上的模糊結(jié)構(gòu)元.

定義5[14]若模糊結(jié)構(gòu)元E滿足:1)?x∈(-1,1),E(x)>0;2)E(x)連續(xù),且在[-1,0)上嚴(yán)格單增,在(0,1]上嚴(yán)格單降,則稱E為正則的；若E(-x)=E(x),稱E為對(duì)稱的.

1.3 梯形模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元表示及其性質(zhì)

引理2[15]設(shè)E是R上的任意模糊結(jié)構(gòu)元,具有隸屬函數(shù)E(x),f(x)是[-1,1]上單調(diào)有界函數(shù),則f(E)是R上有界閉模糊數(shù),其隸屬函數(shù)為E(f-1(x)),這里E(f-1(x))是f(x)關(guān)于變量x和y的輪換對(duì)稱函數(shù)(若f(x)是連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的,則E(f-1(x))是f(x)的反函數(shù));反之,對(duì)于給定的正則模糊結(jié)構(gòu)元E和任意的有界閉模糊數(shù)A,總存在一個(gè)[-1,1]上的單調(diào)有界函數(shù)f,使得A=f(E),稱模糊數(shù)A是由模糊結(jié)構(gòu)元E生成的.

設(shè)模糊集E具有隸屬函數(shù)

稱其為三角結(jié)構(gòu)元.

對(duì)于任意一個(gè)梯形模糊數(shù)

A=(a,b,c,d)(a≤b≤c≤d)也可以由三角結(jié)構(gòu)元E生成,只要取[-1,1]上的分段單調(diào)有界集值函數(shù)

(1)

則同樣有A=f(E)

其隸屬函數(shù)[16]

定義6[15]設(shè)有界模糊數(shù)A的結(jié)構(gòu)元表示A=f(E),其中E為某確定的模糊結(jié)構(gòu)元,f為[-1,1]上的單調(diào)函數(shù),記

(2)

稱‖A‖為有界模糊數(shù)A的結(jié)構(gòu)元加權(quán)特征數(shù),簡(jiǎn)稱為A的特征數(shù).

當(dāng)模糊數(shù)A=(a,b,c,d)(a≤b≤c≤d)為梯形模糊數(shù)時(shí),其的特征數(shù)為

(3)

如果A=(a,a,a,a)=a,即A為明確的實(shí)數(shù)時(shí),則‖a‖=a.

定義7[11,15]設(shè)A1,A2∈Nc(R)其結(jié)構(gòu)元表達(dá)形式分別為At∈ft(E),i=1,2其中E是給定的某個(gè)正則模糊結(jié)構(gòu)元,隸屬函數(shù)為E(x),f1,f2是[-1,1]上的同序單調(diào)函數(shù),則由下式A1≤A2?‖A1‖≤‖A2‖稱“≤”為模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元加權(quán)序.

對(duì)任意有界模糊數(shù)A1與A2為梯形模糊數(shù),即A1=(a1,b1,c1,d1),A2=(a2,b2,c2,d2)A1≤A2的充要條件

(a1+2b1+2c1+d1)≤(a2+b2+c2+d2)

(4)

引理3[16]設(shè)A=(a,b,c,d),B=(m,n,p,q)是兩個(gè)有界梯形模糊數(shù),則

‖A±B‖=‖A‖±‖B‖

(5)

2 一類變量為梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃模型及算例

2.1 一類變量為梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃模型

考慮下列含有模糊數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題：

(6)

(7)

由結(jié)構(gòu)元理論知：

為不失一般性，這里討論

由引理4可知：

當(dāng)ci≥0時(shí)，有

當(dāng)ci<0時(shí)，則有

E(-t)=E(t)，由積分換元法可以得到：

由引理2和引理4得有

2.2 算法

本文的算法描述如下：

1)若模糊數(shù)為梯形模糊數(shù)，則能得到它的隸屬函數(shù)E的表達(dá)式，并且可由E(x)=E(f-1(x))求出f(x)；

2)計(jì)算

并代入模型(6)；

3)根據(jù)定理3將變量為梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含約束條件的梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃，再根據(jù)單純形方法[14]得到模型(7)的最優(yōu)解;

4)將模型(7)的最優(yōu)解代入模型(6)就得到了該問(wèn)題的最優(yōu)解.

例1：考慮如下形式的模糊線性規(guī)劃問(wèn)題：

代入原問(wèn)題，則原問(wèn)題等價(jià)于：

則有模糊最優(yōu)解為:

且M=23.2128.

例2：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分布為x1和x2(單位:kg)則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為

其中：x1=(a1,b1,c1,d1)x2=(a2,b2,c2,d2)，a1≤b1≤c1≤d1,

a2≤b2≤c2≤d2則有：

綜上所述，則有模糊最優(yōu)解為：

代入原目標(biāo)函數(shù)的該線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為z=2366.3

顯然，算例避免了運(yùn)用模糊λ截集理論將變量為模糊數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)問(wèn)題，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

3 結(jié) 論

本文首先利用結(jié)構(gòu)元求出他的隸屬函數(shù)和單調(diào)有界函數(shù)；然后利用加權(quán)排序法得到有界模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元特征數(shù)，這就是一個(gè)去模糊化的過(guò)程，得到了經(jīng)典的線性規(guī)劃；證明了模糊線性規(guī)劃與轉(zhuǎn)換后的經(jīng)典線性規(guī)劃之間是等價(jià)的，同時(shí)證明了它們的最優(yōu)解也是等價(jià)的；再利用線性規(guī)劃的MATLAB編程求該方程的最優(yōu)解，從而求出變量為梯形模糊數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題的解，簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

[1] 成亞麗.變量為三角模糊數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題研究[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2010,13(3):6-13. CHENG Liya. Research on the linear programming problem of triangular fuzzy number[J]. Fuzzy Sets and Systems,2010,13(3):6-13.

[2] GUU S M, WU Y K. Two phase approach for solving the fuzzy linear programming problems[J]. Fuzzy Sets and Systems,1999,107(1):191-195.

[3] MALEKI H R, TATA M, MASHINCHI M,et al. Linear programming with fuzzy variable[J]. Fuzzy Sets and Systems,2000,109(1):21-33.

[4] CADENAS J M, VENDEGAY J L. Using ranking functions in multi objective fuzzy linear programming[J]. Fuzzy Sets and Systems,2000,111(1):47-53.

[5] 曾慶寧.模糊系數(shù)規(guī)劃[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000,14(3):99-105. ZENG Qingning. Fuzzy Coefficient Programming[J]. Fuzzy Systems and Mathematics,2000,14(3):99-105.

[6] 張超;趙承業(yè).計(jì)算樹的[1,2]-數(shù)的算法研究[J].中國(guó)計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào),2015(2):243-246. ZHANG Chao,ZHAO Chengye. Research on the algorithms of computing the [1,2]-number of trees[J]. Journal of China Jiliang University,2015(2):243-246.

[7] 毛保華.線性規(guī)劃的若干算法研究[D].杭州：杭州電子科技大學(xué),2010. MAO Baohua. Some new algorithms for linear programming[D].Hangzhou:Hangzhou dianzi University,2010.

[8] 李敬華.線性規(guī)劃的不可行內(nèi)點(diǎn)算法研究[D].西安：西安電子科技大學(xué),2014. LI Jinghua. Infeasible interior point Algorithms for Linear Programming[D]. Xi’an: Xi dian University,2014.

[9] 邵迎超.模糊數(shù)的排序及應(yīng)用[D].成都:西華大學(xué),2008. SHAO Yingchao. Ranking of fuzzy numbers and its application[D].Chengdu: Xihua University,2008.

[10] 郭嗣宗.模糊分析中結(jié)構(gòu)元方法(Ⅰ)、(Ⅱ)[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002,21(5,6):670-673,808-810. GUO Sizong. Method of structuring element in fuzzy analysis (Ⅰ)、(Ⅱ)[J]. Journal of Liaoning Technical University(Natural Science Edition),2002,21(5,6):670-673,808-810.

[11] 鄧勝岳，周立前.求解上層含約束條件且具有模糊決策變量二層線性規(guī)劃的結(jié)構(gòu)元方法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2014，28(6)：105-112. DENG Shengyue, ZHOU Liqian. Bi-level multiple followers linear programming with upper constraint and fuzzy decision Variables[J]. Control and Decision,2014,29(10):1803-1809.

[12] 鄧勝岳,汪新凡,楊小娟.求解上層含約束條件的模糊二層多隨從線性規(guī)劃的結(jié)構(gòu)元方法[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013,27(5):5-8. DENG Shengyue, WANG Xifan, YANG Xiaojuan. Solving fuzzy bilevel linear programming with multiple followers under upper constraints by structured element method[J]. Journal of Hunan University of Technology,2013,27(5):5-8.

[13] 曾憲陽(yáng),馬一太,潘江,等.房間空調(diào)器性能的模糊綜合評(píng)判[J].中國(guó)計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào),2007(2):146-150. ZENG Xianyang, MA Yitai, PAN Jiang etal, Fuzzy comprehensive assessment of performance of room air conditioners [J]. Journal of China Jiliang University,2007(2):146-150.

[14] 趙海坤，郭嗣宗.全系數(shù)模糊兩層線性規(guī)劃[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010,24(3):98-106. ZHAO Haikun, GUO Sizong. Bi-Level Linear Programming with All-Coefficient Fuzzy[J]. Fuzzy Systems and Mathematics，2010，24(3)：98-106.

[15] 鄧岳勝，周立前，汪新凡.上層含約束條件且具有模糊決策變量的二層多隨從線性規(guī)劃[J].控制與決策，2014,29(10):1803-1809. DENG Shengyue, ZHOU Liqian, WANG Xinfan. Bi-level multiple followers linear programming with upper constraint and fuzzy decision variables[J]. Control and Decision,2014,29(10):1803-1809.

[16] 郭嗣琮.基于模糊結(jié)構(gòu)元理論的模糊分析數(shù)學(xué)原理[M].沈陽(yáng)：東北大學(xué)出版社，2004:10-129.

A linear programming with trapezoidal fuzzy numbers for a class of variables

ZHOU Xihua1, JIA Hongxin1, DENG Shengyue2, WU Yao2

(1.Guangdong Polytechnic of Environmental Protection Engineering, Foshan 528216, China;2.School of Science,Hunan University of Technology, Zhuzhou 412007, China)

A fuzzy number ranking criteria was defined by using structure element to deal with variable fuzzy number fuzzy linear programming problems. The way to deblur about the linear programming of variables with trapezoidal fuzzy numbers and the transformfuzzy linear programming of variable with trapezoidal fuzzy numbers into the classic fuzzy linear programming was discussed. It is proved that the optimal solution of the model is equivalent to the optimal solution of the classical linear programming. The optimal solution was obtained by reusing the simplex algorithm. And the algorithm of solving this kind of model was designed.The feasibility of the method and the validity of the algorithm were verified by two examples.The study provides a new method for the study of the generalized fuzzy linear programming problem with fuzzy variables.

fuzzy structured element; fuzzy linear programming; the optimal solutio

2096-2835(2016)04-0480-07

10.3969/j.issn.2096-2835.2016.04.021

2016-09-01 《中國(guó)計(jì)量大學(xué)學(xué)報(bào)》網(wǎng)址：zgjl.cbpt.cnki.net

湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.2016JJ2043)，湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(No.16C0472,15C0537)，廣東環(huán)境保護(hù)工程職業(yè)學(xué)院院級(jí)教研教改課題(No.2015YZPT25).

O221.1

A