基于Copula函數(shù)的水文干旱聯(lián)合概率分布研究

袁 超，宋松柏(.中國電力建設(shè)集團(tuán)西北勘測設(shè)計研究院有限公司， 陜西 西安 70065；.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院， 陜西 楊凌 700)

基于Copula函數(shù)的水文干旱聯(lián)合概率分布研究

袁 超1，宋松柏2
(1.中國電力建設(shè)集團(tuán)西北勘測設(shè)計研究院有限公司， 陜西 西安 710065；
2.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院， 陜西 楊凌 712100)

雙變量聯(lián)合分布及重現(xiàn)期計算是水文干旱研究的重要內(nèi)容。根據(jù)游程理論確定水文干旱事件，利用Copula函數(shù)建立干旱歷時和烈度的聯(lián)合分布，計算不同干旱事件的重現(xiàn)期。實例分析結(jié)果表明，聯(lián)合分布可以考慮干旱歷時與烈度不同組合情況，計算的聯(lián)合重現(xiàn)期大于邊際分布計算結(jié)果，涇河和北洛河最長歷時干旱事件聯(lián)合重現(xiàn)期為480 a和342 a。

游程理論；水文干旱；Copula函數(shù)；雙變量分布；重現(xiàn)期

干旱定量化研究以游程理論最為有效，干旱歷時和干旱烈度是定量化研究干旱的兩個重要要素。對于干旱歷時和干旱烈度單變量概率分布，研究表明指數(shù)分布和伽瑪分布分別是干旱歷時和干旱烈度最為常用的兩種分布[1-4]。2006年，Shiau J T[5]通過Copula函數(shù)建立了由標(biāo)準(zhǔn)化降雨指標(biāo)(SPI)定義的干旱歷時和干旱烈度的聯(lián)合概率分布，為干旱分析提供了一種新的途徑。2010年，許月萍等[6]以皮爾遜III型和伽馬函數(shù)為邊際分布，應(yīng)用Copula函數(shù)模擬干旱歷時和干旱烈度之間的相依關(guān)系。2014年，劉和昌等[7]基于Copula函數(shù)推導(dǎo)了條件最可能組合的計算公式。雖然Copula函數(shù)在流域水文干旱特性研究中已有較多應(yīng)用[8-14]，但由于干旱發(fā)生機(jī)理時空變化的復(fù)雜性，干旱特征變量的聯(lián)合分布特性及相應(yīng)的重現(xiàn)期計算仍將是干旱研究的重要內(nèi)容。本文選取涇河和北洛河徑流資料，采用Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布，分析涇河和北洛河流域的水文干旱特性。

1 游程理論

對水文干旱進(jìn)行分析，一般采用Yevjevich的游程理論[6]。根據(jù)游程理論，設(shè)R0為閾值，當(dāng)R大于或等于R0時即發(fā)生干旱，游程長度為干旱歷時L，游程總量為干旱烈度S，相鄰干旱事件開始發(fā)生時間差為干旱間隔時間T，從圖1可以看出干旱事件3個重要指標(biāo)的定義[6，16]。

圖1 干旱事件定義

2 邊際分布函數(shù)

通常，干旱歷時和烈度概率分布可以分別用指數(shù)函數(shù)與gamma函數(shù)描述，計算公式如下：

FL(l)=1-e-l/λ

(1)

(2)

式中：FL(l)、FS(s)分別為干旱歷時l和烈度s的累積概率分布；λ、r、β為參數(shù)；Γ為gamma函數(shù)。

3 聯(lián)合分布函數(shù)

Copula函數(shù)是定義域為[0，1]均勻分布的多維聯(lián)合分布函數(shù)[5]，定義如下：

假設(shè)兩相依隨機(jī)變量X和Y，Sklar定理表明如果FXY(x,y)是二維分布函數(shù)，F(xiàn)x(x)和Fy(y)分別是其邊際分布，則存在：

FXY(x,y)=C(FX(x)，F(xiàn)Y(y))

(3)

相反，如果任一單變量分布FX(x)和FY(y)及任一Copula C，那么FXY(x,y)是一二維分布函數(shù)，其邊際分布分別為FX(x)和FY(y)，且如果FX(x)和FY(y)是連續(xù)的，則C是唯一的。

假定FX(x)和FY(y)是連續(xù)的，fX(x)和fY(y)分別是其密度函數(shù)，那么聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

fXY(x,y)=c(FX(x)FY(y))fX(x)fY(y)

(4)

單參數(shù)Achimedean Copula函數(shù)族廣泛應(yīng)用于水文領(lǐng)域[7]，本文介紹以下四種函數(shù)形式，見表1。

表1 單參數(shù)Achimedean Copula函數(shù)族計算公式

四種函數(shù)參數(shù)θ根據(jù)Kendall的秩相關(guān)系數(shù)τ估計，計算方法如下：

Gumbel-Hougaard函數(shù)：

τ=1-θ-1

(5)

Ali-Mikhail-Haq函數(shù)：

(6)

Frank函數(shù)：

(7)

Cook-Johnson函數(shù)：

(8)

4 條件概率計算

根據(jù)Copula函數(shù)的定義，干旱歷時和烈度聯(lián)合分布函數(shù)可表述為：

FL,S(l,s)=P(L≤l,S≤s)=C(FL(l)，F(xiàn)S(s))

(9)

由此可知，兩個要素的不同組合條件概率可分別按式(10)～式(11)計算。

P(L≥l，S≥s)=1-FL(l)-FS(s)+C(FL(l)，F(xiàn)S(s))

(10)

P(L≥l∪S≥s)=1-C(FL(l),FS(s))

(11)

5 重現(xiàn)期計算

由于一場干旱可能持續(xù)多年或一年中發(fā)生多次干旱，常用于設(shè)計洪水的年最大序列頻率分析已不在適用[16]。對于干旱歷時和烈度聯(lián)合重現(xiàn)期計算，2003年Shiau J T[17]給出如下計算公式：

(12)

(13)

式中：TLS為干旱事件(L≥l,S≥s)重現(xiàn)期；TLS為干旱事件(L≥l∪S≥s)重現(xiàn)期。

6 實例分析

根據(jù)涇河張家山站75 a和北洛河狀頭站70 a徑流資料，截取水平取各月多年平均流量，確定的干旱事件經(jīng)統(tǒng)計分析，狀頭站和張家山站干旱歷時最長為25個月和19個月，而最大干旱烈度對應(yīng)干旱歷時為20個月和18個月，可見最長干旱歷時對應(yīng)的并不是最大干旱烈度，兩者邊際分布難以全面反映實際干旱程度。

采用極大似然法估算干旱歷時和烈度邊際分布的參數(shù)，并由公式(14)計算經(jīng)驗頻率，檢驗指數(shù)分布和gamma分布對實測值的擬合程度，由計算結(jié)果可以看出，指數(shù)分布和gamma分布分別與實測值擬合較好，可以作為干旱歷時和干旱烈度概率近似分布。

(14)

式中：P為概率；k為升序排列的位置值；N為樣本容量。

由式(5)～式(8)計算狀頭站和張家山站四種Copula函數(shù)的θ值，見表2。采用公式(15)計算聯(lián)合經(jīng)驗頻率，檢驗四種Copula函數(shù)對實測組合值的擬合程度。結(jié)果表明，Cook-Johnson函數(shù)對實測干旱歷時和干旱烈度組合值擬合效果較好，可用于建立干旱歷時和烈度聯(lián)合概率分布函數(shù)，見圖2、圖3。

表2 四種Copula函數(shù)的參數(shù)θ估計值

(15)

式中：P為概率；Nml為(xj，yj)滿足xj

圖2 狀頭站干旱歷時與烈度聯(lián)合概率等值線圖

圖3 張家山站干旱歷時與烈度聯(lián)合概率等值線圖

若以歷時作為干旱嚴(yán)重程度的衡量指標(biāo)，狀頭站和張家山站最長干旱歷時分別為25個月和19個月，由指數(shù)函數(shù)計算的重現(xiàn)期分別為138 a和43 a；而考慮與對應(yīng)烈度的組合情況，則由式(12)計算聯(lián)合重現(xiàn)期為480 a和342 a，可見聯(lián)合重現(xiàn)期大于邊際分布計算的重現(xiàn)期。狀頭站和張家山站干旱歷時與烈度聯(lián)合重現(xiàn)期等值線圖見圖4～圖5。

圖4 狀頭站干旱歷時和烈度聯(lián)合重現(xiàn)期等值線圖

圖5 張家山站干旱歷時和烈度聯(lián)合重現(xiàn)期等值線圖

7 結(jié) 論

(1) 利用Copula函數(shù)建立的聯(lián)合分布考慮了干旱歷時與烈度的不同組合情況，可以全面反映河流實際干旱情況。

(2) 干旱歷時與烈度聯(lián)合重現(xiàn)期大于其邊際分布計算結(jié)果。

(3) 涇河張家山站最長干旱歷時為25個月，與對應(yīng)烈度的聯(lián)合重現(xiàn)期為480 a；北洛河張家山站最長干旱歷時為19個月，與對應(yīng)烈度的聯(lián)合重現(xiàn)期為342 a。

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The Bivariate Hydrologic Drought Distribution Based on Copula Function

YUAN Chao1, SONG Songbai2

(1.PowerChinaNorthwestEngineeringCorporationLimited,Xi’an,Shaanxi710065,China;2.CollegeofWaterResourceandArchitecturalEngineering,NorthwestA&FUniversity,Yangling,Shaanxi712100,China)

The bivariate distribution of drought and return period were an important issue in hydrological drought study. Hydrologic drought events were defined by the run theory, the bivariate distribution of drought duration and drought severity were developed by adopting Copula function in this paper, the return period formulations of drought event were proposed. The results showed that the bivariate distribution of drought took the various combinations of drought duration and drought severity into consideration. The return period of joint distribution was bigger than marginal distribution's. Return periods of Jing river and Beiluo river's drought with the longest duration were 480 years and 342 years.

runs theory; hydrologic drought; copula function; bivariate distribution; return period

10.3969/j.issn.1672-1144.2016.06.010

2016-04-24

國家自然科學(xué)基金項目(51179160,50879070,51079037)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金項目(20110204110017)

袁 超(1983—)，男，陜西岐山人，碩士，主要從事水文水資源研究。E-mail：121681618@qq.com

宋松柏(1965—)，男，陜西永壽人，教授，主要從事水文水資源研究。E-mail：SSB6533@nwsuaf.edu.cn

P338.6

A

1672—1144(2016)06—0050—04