無界區(qū)域上拋物型外問題的Schwarz交替算法

鞠 銀

(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部, 上海 201306)

無界區(qū)域上拋物型外問題的Schwarz交替算法

鞠 銀

(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部, 上海 201306)

主要研究無界外區(qū)域上拋物型方程。由自然邊界歸化理論得到了自然積分算子K的具體表達(dá)式，并利用Schwarz交替算法給出重疊區(qū)域的區(qū)域分解格式，最后給出收斂性分析。

無界區(qū)域; 拋物方程; 外問題; Schwarz交替算法; 區(qū)域分解

科學(xué)與工程計(jì)算中經(jīng)常遇到依賴時(shí)間的無界區(qū)域問題[1-11]，故求解此類無界區(qū)域問題變得十分重要。由于涉及到時(shí)間變量，有研究者先對(duì)時(shí)間離散，得到半離散化問題，然后獲得人工邊界條件，利用有限差分或有限元方法來求解[1]；有研究者利用構(gòu)造法獲得依賴時(shí)間的無界外問題的精確和近似的人工邊界條件[2]。本文主要研究無界外區(qū)域上拋物型方程，由自然邊界歸化理論[12]得到了自然積分算子K的具體表達(dá)式，并利用Schwarz交替算法[13]給出了重疊區(qū)域的區(qū)域分解格式，最后對(duì)收斂性進(jìn)行分析。

1 對(duì)時(shí)間離散化

設(shè)Ω為中心在原點(diǎn)半徑為R的圓周Γ的外部，即

Γ={(x，y)}|x2+y2=R2

對(duì)任意固定的正實(shí)數(shù)T，記J∶=(0，T)?？紤]如下初邊值問題:

(1)

(2)

u(χ，0)=u0(χ)，χ∈Ω

(3)

式中，χ=(x，y)；Δ為L(zhǎng)aplace算子，即

函數(shù)f(χ，t)、g(χ，t)、u0(χ)均為滿足適當(dāng)條件的已知函數(shù)；?u/?t為未知函數(shù)u(χ，t)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；?u/?n為沿邊界Γ的法向?qū)?shù)。假設(shè)函數(shù)u(χ，t) 在無窮遠(yuǎn)處有界。

(1) 由自然邊界元法的理論可知，其主要任務(wù)就是尋找自然積分算子K的具體表達(dá)式及實(shí)現(xiàn)其數(shù)值求解。先將式(1)對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散化，設(shè)τ為時(shí)間步長(zhǎng)，并記tk=k·τ，第k層的值uk(x)=u(x，tk)，其中，k=1，2，…，[T/τ]；令zk(x)=ut(x，tk)，有

zk-Δuk=fk

(4)

(5)

式中，γ∈(0，1]。

由式(4)、(5)得

(1-γτΔ)uk=uk-1+τ(1-γ)zk-1

(6)

(7)

當(dāng)γ=1時(shí)，有

zk=(uk-uk-1)/τ

對(duì)每個(gè)k，式(6)為橢圓型方程，即Helmholtz方程。

(2) 預(yù)估值為

(8)

(9)

(10)

(11)

(3) 校正過程

(12)

Δuk-λ2uk=λ2fk

(13)

由自然邊界歸化理論，在極坐標(biāo)系里，可得

uk(r，θ)=

uk(R，θ′)dθ′+F(λ，R，fk，r，θ)

(14)

N(λ，R，fk，θ)

(15)

式中，r、θ分別為極徑和極角；Kn為第二類修正的柱貝塞爾函數(shù)；

F(λ，R，fk，r，θ)=

(16)

(17)

式中，

(18)

(19)

(20)

2 重疊區(qū)域的Schwarz交替算法及其幾何收斂性

在Ω內(nèi)取兩個(gè)同心圓：

其中，R1>R2>R。區(qū)域Ω被分成兩個(gè)重疊的子區(qū)域：有界區(qū)域Ω1(由R和R1圍成的環(huán)形區(qū)域)和無界區(qū)域Ω2(以R2為內(nèi)邊界的外區(qū)域)，Ω1∩Ω2≠?，記

給出Schwarz交替算法[4]:

(21)

(22)

Vk={v|v∈H1(Ω1)}

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

式中，

所以說，當(dāng)我們有著快樂的情緒時(shí)，學(xué)生就會(huì)容易接納我們，他們就會(huì)很愿意積極的參與到課堂當(dāng)中來，喜歡積極的探究問題，提高興趣，增強(qiáng)注意力。

(28)

(29)

(30)

于是有

(31)

因此，式(21)、(22)的變分形式如下：

(32)

(33)

(34)

(35)

由此可得

(36)

(37)

(38)

(39)

(41)

于是有

(42)

(43)

且有

定理1表明上述交替算法是幾何收斂的。

3 收斂速度分析

(44)

由分離變量法得到

其中，I(z)為第一類變型貝塞爾函數(shù)。由

則得

(45)

求解方程式(45)，得

其中，Cn=cn(R2)；Dn=dn；

W0，n(2x)為惠泰克函數(shù)[14]。

其中，C為常數(shù)。

類似地，可得

故由數(shù)學(xué)歸納法，可得以下定理。

定理2設(shè)Γ是以原點(diǎn)為圓心，半徑為R的圓，Γ1和Γ2是與Γ同心且半徑分別為R1和R2的圓，R1>R2>R。在每個(gè)時(shí)間層上，利用Schwarz交替算法式(21)、(22)求解式(1)～(3)，則有

最后由跡定理可得

因此，R2/R1的值越小，即2個(gè)區(qū)域重疊程度越高，收斂速度越快。

[1] 艾焰，杜其奎，馮崇嶺.凹角區(qū)域雙曲外問題的精確人工邊界條件[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，22(4)：447-454.

[2] 杜其奎，余德浩.拋物型初邊值問題的自然積分方程及其數(shù)值解法[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，1999，21(4)：495-506.

[3] 馮丹，杜其奎.橢圓外區(qū)域各向異性問題基于人工邊界條件的Schwarz交替算法[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，26(2)：158-168.

[4] DU Qikui，YU Dehao.Domain decomposition methods based on natural boundary reduction for wave equation[J].Chinese Journal of Computation Physics，2001，18(5)：417-422.

[5] DU Qikui，TANG Minxia.Exact and approximate artificial boundary conditions for the hyperbolic problems in unbounded domains[J].Applied Mathematics and Computation，2005，169(1):544-562.

[6] HAN Houde，ZHENG Chunxiong.Exact nonreflecting boundary conditions for exterior problems of the hyperbolic equation[J].Chinese Journal of Computational Physics，2005，22(2):95-107.

[7] HAN Houde，HUANG Zhongyi.Exact and appro-ximating boundary conditions for the parabolic pro-blems on unbounded domains[J].Computers & Mathematics with Applications，2002，44(5/6):655-666.

[8] HAN Houde，HUANG Zhongyi.A class of artificial boundary conditions for heat equation in unbounded domains[J].Computers and Mathematics with Applications，2002，43(6-7):889-900.

[9] DU Qikui，YU Dehao.A domain decomposition methods based on natural boundary reduction for nonlinear time-dependent exterior wave problems[J].Computing，2002，68(2):119-129.

[10] DU Qikui，YU Dehao.Dirichlet-Neumann alternating algorithm based on the natural boundary reduction for time-dependent problems over an unbounded domain[J].Applied Numerical Mathematics，2003，44(4):471-486.

[11] GROTE M J，KELLER J B.Exact nonreflecting boundary conditions for the time dependent wave equations[J].SIAM Journal on Applied Mathematics，1995，55(2):280-297.

[12] 余德浩.自然邊界元方法的數(shù)學(xué)理論[M].北京：科學(xué)出版社，1993.

[13] 呂濤，石濟(jì)民，林振寶.區(qū)域分解算法——偏微分方程數(shù)值解新技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，1992：269-299.

[14] 劉式適，劉式達(dá).特殊函數(shù)[M].北京:氣象出版社，1988:296.

A Schwarz Alternating Method for Parabolic Problem ina Unbounded Exterior Domain

JU Yin

(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

In this paper, we investigate the parabolic equation in an unbounded exterior domain. Using the principle of the natural boundary reduction, we obtain a specific expression of the natural integral operator K. We then use the Schwarz alternating algorithm to give a domain decomposition scheme and convergence analysis of the overlapping region.

unbounded domain; parabolic problem; exterior problem; Schwarz alternating algorithm; domain decomposition method

2015-12-09

鞠 銀(1979-)，女，副教授，主要研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)，E-mail:juyin@sdju.edu.cn

2095-0020(2016)06-0359-05

O 241

A