微積分基本定理的推廣
——曲線積分基本定理及其應(yīng)用

張 雁●

西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)(614202)

微積分基本定理的推廣
——曲線積分基本定理及其應(yīng)用

張 雁●

西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)(614202)

本文舉例應(yīng)用曲線積分基本定理求解一些積分，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

曲線積分；微積分；基本定理；應(yīng)用

一、曲線積分基本定理

假設(shè)C是分段光滑的曲線，并且已知它的參數(shù)方程為r=r(t),a≤t≤b，由a=r(a)開(kāi)始到b=r(b)結(jié)束，并且f在一個(gè)包括曲線C的開(kāi)集中連續(xù)可微，那么

∫Cf(r)dr=f(b)-f(a).

(ⅱ)若是分段光滑的，我們可利用曲線積分的可加性，得知，結(jié)果仍成立.

(ⅲ)對(duì)應(yīng)的標(biāo)量形式為：

∫CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫Cdf(x,y)

二、應(yīng)用舉例

計(jì)算曲線積分：∫LF(r)·dr其中：L為任何簡(jiǎn)單的分段光滑的曲線，從點(diǎn)(0,3,0)到點(diǎn)(4,3,0)不含原點(diǎn).

例2 在橢圓上每一點(diǎn)m有作用力F，其大小等于點(diǎn)m到原點(diǎn)的距離，方向指向原點(diǎn).求質(zhì)點(diǎn)m沿逆時(shí)針?lè)较蜃弑闄E圓時(shí)，力F所作的功.

從解題過(guò)程看，橢圓路徑可換成任意分段光滑曲線，逆時(shí)針也可以是順時(shí)針.結(jié)論仍不變.

三、部分使用曲線積分基本定理求積分

[1]微積分[M].第9版.劉深泉等譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社.747

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1008-0333(2016)36-0004-01