三角形區(qū)域上復(fù)合邊值問題探討

胡 潔，劉 華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

三角形區(qū)域上復(fù)合邊值問題探討

胡 潔，劉 華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

針對(duì)三角形區(qū)域上的復(fù)合邊值問題，采用問題轉(zhuǎn)化求解的辦法，研究該問題的解析解。利用Schwarz-Christoffel公式給出圓域到三角形區(qū)域的共形映射，依據(jù)橢圓函數(shù)的相關(guān)理論推導(dǎo)出三角形區(qū)域到圓域的逆映射；將三角形區(qū)域上的復(fù)合邊值問題轉(zhuǎn)化為圓域上的復(fù)合邊值問題，進(jìn)一步通過消去法把復(fù)合邊值問題化為帶間斷系數(shù)的Hilbert邊值問題，通過解析延拓化為帶間斷系數(shù)的聯(lián)結(jié)問題，得出三角區(qū)域上復(fù)合邊值問題的解析解。

Schwarz-Christoffel公式；橢圓函數(shù)；Plemelj公式；復(fù)合邊值問題

解析函數(shù)的邊值問題是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)不可或缺的分支，與很多實(shí)際問題密切相關(guān)，并廣泛應(yīng)用于物理學(xué)和工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域。1962年路見可[1-2]首次將聯(lián)結(jié)問題（簡(jiǎn)稱R問題）和Hilbert問題（簡(jiǎn)稱H問題）結(jié)合，進(jìn)而提出復(fù)合邊值問題（簡(jiǎn)稱RH問題）同時(shí)給出解析解。之后，研究人員進(jìn)一步討論各類邊值問題。2002年，張霞和李星[3]研究了非正則型解析函數(shù)的復(fù)合邊值問題；Guo[4]在2012年對(duì)無窮邊界上的邊值問題進(jìn)行了深入研究。當(dāng)然，很多固體力學(xué)、斷裂理論和平面彈性的實(shí)際問題，都可以轉(zhuǎn)化為邊值問題或奇異積分方程，而后者又與邊值問題有密切聯(lián)系，這類應(yīng)用也引起學(xué)者們的重視。路見可和李星[5-6]陸續(xù)采用復(fù)分析來解決物理中的彈性力學(xué)問題。之后，李星[7]推廣了單裂縫的情況，利用Hilbert奇異積分方程得到了數(shù)值解；2001年他又討論了復(fù)分析在力學(xué)中的應(yīng)用[8-9]。Begehr教授[10]也對(duì)復(fù)分析及其在力學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。近幾年，針對(duì)平面彈性的穩(wěn)定性及相關(guān)特性，杜金元[11-12]也進(jìn)行了進(jìn)一步的研究推導(dǎo)。

本文研究的復(fù)合邊值問題與以往有所區(qū)別，并沒有把區(qū)域邊界只限定在Lyapunov曲線上，而是考慮在更為一般的多角形域上解決復(fù)合邊值問題。通過共形映射理論[13-14]“消去法”將其化為經(jīng)典區(qū)域上帶間斷系數(shù)的Hilbert問題之后再求解，巧妙地處理特殊點(diǎn)的奇異性，進(jìn)而得到完善的解析解。

1 RH復(fù)合邊值問題的提出與轉(zhuǎn)化

1.1 復(fù)合邊值問題的提出

設(shè)復(fù)平面上的正三角形邊界曲線為L(zhǎng)（取逆時(shí)針方向?yàn)檎?，?nèi)部區(qū)域記為G。在G中有一條光滑封閉曲線Γ（取順時(shí)針方向?yàn)檎?，Γ?nèi)部圍成的區(qū)域記為D-，Γ和L圍成的部分記為D+，如圖1所示。

三角形區(qū)域上的復(fù)合邊值問題（記為RH問題）為：求G中一個(gè)分區(qū)全純函數(shù)Φ（z），該函數(shù)連續(xù)到邊界L上，且滿足以下邊值條件。

圖1 三角形區(qū)域

（1）在跳躍曲線Γ上（Φ（z）在D+和D-內(nèi)全純、在L上及Γ的正負(fù)側(cè)均有極限值）滿足

式中：G（τ）、g（τ）在跳躍曲線上滿足H?lder條件，且G（τ）≠0。

式中：a（t）、b（t）、c（t）為L(zhǎng)上已給定的（實(shí)）函數(shù)，且都滿足H?lder條件，a2+b2≠0。

三角形的各個(gè)頂點(diǎn)均為L(zhǎng)上的第一類間斷點(diǎn)，并要求Φ（z）在各間斷點(diǎn)上至多有不到一階奇異性。L上的間斷點(diǎn)可分為特異節(jié)點(diǎn)和普通節(jié)點(diǎn)，求解時(shí)通常要求Φ（z）屬于某個(gè)解類。這里規(guī)定在h（c0）解類中求解，即c0為某個(gè)普通節(jié)點(diǎn)，且Φ（z）只在c0上有界，在另外一個(gè)普通節(jié)點(diǎn)c1上至多有不到一階的奇異性（節(jié)點(diǎn)c2為特異節(jié)點(diǎn)）。多角形也可進(jìn)行類似定義，從而將全部類型節(jié)點(diǎn)都討論在內(nèi)（c0、c1、c2是三角形上3個(gè)頂點(diǎn)）。

規(guī)定指標(biāo)為：

記K=2κ+k為復(fù)合邊值問題的指標(biāo)，注意指標(biāo)不一定是偶數(shù)。

1.2 復(fù)合邊值問題的轉(zhuǎn)化

對(duì)于三角形域上復(fù)合邊值問題，主要解決思路是通過“消去法”將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的H問題。構(gòu)造三角形內(nèi)的分區(qū)全純函數(shù)為：

式中：Φ0（z）為G內(nèi)任意連續(xù)到邊界L的全純函數(shù)；X（z）、Φ1（z）分別為滿足跳躍問題式的典則函數(shù)及一般解，在這里要求連續(xù)到邊界L。

z0為D-任意一點(diǎn)，得到通解為：

其中

根據(jù)解析函數(shù)和典則函數(shù)的性質(zhì)，容易證明：當(dāng)Φ1（z）、Φ0（z）滿足上述函數(shù)條件時(shí)，Φ（z）為連續(xù)到L且滿足邊值條件式（1）的分區(qū)全純函數(shù)，反之同樣成立。將式（5）代入式（2）得到新的H問題邊值條件為：

式中：c*（t）=c（t）-Re{[a（t）+ib（t）]X（t）Φ1（t）}。顯然，X（t）、c*在L上滿足H?lder條件。原RH問題轉(zhuǎn)化為G中新H邊值問題（稱新H問題為H*問題），即在G中求全純函數(shù)Φ0（z），使該函數(shù)滿足新H問題邊值條件式（9）。根據(jù)構(gòu)造的式（5），消去繁瑣函數(shù)便求得Φ（z）。

2 單位圓與三角形區(qū)域之間的共形映射

通過消去法，三角形區(qū)域上RH問題轉(zhuǎn)化為H*問題，但在三角形區(qū)域上H*問題的解析解求解過程與單位圓或半平面上的情況有所不同，新的邊值條件會(huì)發(fā)生改變。針對(duì)該問題，采用三角形區(qū)域到單位圓的共形映射原理，找出共形映射的函數(shù)φ（z）的具體表達(dá)式（逆變換實(shí)現(xiàn)了單位圓到三角形區(qū)域的共形映射），將圓域已有的結(jié)果移植到三角形區(qū)域上并求解函數(shù)表達(dá)式。根據(jù)逆變換公式，經(jīng)過二次變換得出三角形區(qū)域上H*問題的解和可解性條件公式。

2.1 Schwarz-Christoffel公式

定理1 設(shè)w=f（z）為將區(qū)域I（z）＞0共形映射到多角形區(qū)域G的單葉解析函數(shù)，x軸上的點(diǎn)（a1＜a2＜…＜an）依次對(duì)應(yīng)到G內(nèi)各個(gè)頂點(diǎn)（w1，w2，…，wn）。以λ1π，λ2π，…，λnπ（0＜λk＜2；k=1，2，…，n）分別表示G中w1，w2，…，wn各頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的內(nèi)角，則有Schwarz-Christoffel公式為：

2.2 單位圓到三角形域的保形映射

由于已有半平面到多角形域?yàn)楸Ｐ斡成洌瑔挝粓A到多角形區(qū)域的保形映射可以計(jì)算得到。這里以正三角形所圍成的單連通區(qū)域?yàn)檠芯繉?duì)象，即可給出單位圓共形映射到三角形域的單葉解析函數(shù)表達(dá)式。

2.3 三角形區(qū)域到單位圓的保形映射

共形映射式屬于Schwarz-Christoffel積分，即橢圓積分，因此用橢圓函數(shù)理論求其逆映射。

定義1

式（13）為維爾斯特拉斯式的第一類型橢圓積分，它的反函數(shù)記做z=σ（u），稱維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)，該橢圓函數(shù)有對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)表達(dá)。

為頂點(diǎn)的等邊三角形內(nèi)部G映射到單位圓（|z|＜1）的共形映射如圖2所示。表達(dá)式為：

圖2 三角形到圓域的映射

魏爾斯特拉斯橢圓函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式為：

從而容易推斷出這個(gè)變換公式的二階級(jí)點(diǎn)為w=0、零點(diǎn)為w=∞。

3 單位圓域上的H*問題

在前文三角形區(qū)域與單位圓域之間共形映射的基礎(chǔ)上，根據(jù)單位圓上H*問題的相關(guān)結(jié)果，可得出三角形區(qū)域上的解析解和可解條件公式。但H*問題與以往閉合曲線的情況不同，是帶間斷系數(shù)的H*問題。

為表達(dá)清晰，仍延用第一節(jié)中函數(shù)符號(hào)Φ0（z）和變量t、邊值條件式（9）、單位圓邊界記號(hào)L及對(duì)間斷點(diǎn)的要求，但將3個(gè)頂點(diǎn)記號(hào)變?yōu)閦0、z1、z2。式（9）中的實(shí)函數(shù)作用于共形映射t=f（v）（這里v為圓周上任意一點(diǎn)，t=f（v）為單位圓到三角形域的變換）之后，其形式也會(huì)變化。例如，a（t）變換為a（f（v））。為方便統(tǒng)一記為a（f（v））=a（t），其他實(shí)函數(shù)也如此定義，如圖3所示。

圖3 單位圓上的H*問題

求解H*問題的基本思路為：將添加一些特定的附加邊值條件的H*問題化為熟知的R問題。

3.1 指標(biāo)和典則函數(shù)的說明

把Φ0（z）對(duì)稱擴(kuò)張為復(fù)平面上分區(qū)全純函數(shù)，為方便仍記為Φ0（z），即在全平面內(nèi)除了L上的點(diǎn)，處處都有

這個(gè)條件稱為附加條件。

對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行討論。與第一節(jié)對(duì)應(yīng)，z0為普通節(jié)點(diǎn)，且在該點(diǎn)處Φ0（z）有界，其他節(jié)點(diǎn)只要求有不到一階奇異性，3個(gè)點(diǎn)為G（t）、g（t）的第一類間斷點(diǎn)，且它們?cè)贚上都屬于H0類。

Γ（z）在L上為單值連續(xù)，IndLX（t）=-κ+IndLeΓ(z)= -κ，故R邊值問題的指標(biāo)為：

在h（z0）解類下的指標(biāo)與典則函數(shù)，要根據(jù)普通節(jié)點(diǎn)和特異節(jié)點(diǎn)分布情況來定義。設(shè)由z0、z1確定的弧為L(zhǎng)1，逆時(shí)針方向依次為L(zhǎng)2、L3，每一個(gè)弧上任意取定l ogG（t）某一單值連續(xù)分支，，式中正負(fù)號(hào)的取值取決于在弧段中是起點(diǎn)還是終點(diǎn)。

設(shè)L1內(nèi)非節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)z*為一特異節(jié)點(diǎn)，易得h（z0）解類中的指標(biāo)為：

數(shù)值上與原復(fù)合邊值問題的指標(biāo)相等。

相應(yīng)的典則函數(shù)改寫為：

3.2 H*邊值問題的求解

（1）齊次問題（c*≡0）

①當(dāng)K≥0時(shí)，相應(yīng)的R0問題一般解為：

式中：C0、C1、…、CK為任意常數(shù)。

Φ0（z）要滿足附加條件，根據(jù)，得到

②當(dāng)K≤-1時(shí)，只有零解。

（2）非齊次問題（c*≠0）

①當(dāng)K≥0時(shí)，特解為：通解為特解式（22）加上一般解式（21）。

②當(dāng)K=-1時(shí)，有唯一解，即為特解。化解為：

③當(dāng)K≤-2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件

有唯一解式（23）。

3.3 原RH問題的解析解形式

單位圓上帶間斷系數(shù)H*的問題解決之后，通過單位圓到三角形區(qū)域的共形映射，易得三角形區(qū)域上對(duì)應(yīng)的H*問題的解和可解條件公式。本文做了2次互逆的共形映射，最終實(shí)函數(shù)a（t）、b（t）、c（t）、c*（t）、X（t）、Γ（z）可沿用原記號(hào)。整理三角形域上帶間斷系數(shù)的RH問題的解析解形式。

（1）原RH問題中的g（τ）≡0、c（t）≠0，稱這個(gè)情況為真齊次問題。

①當(dāng)K≥0時(shí)，原RH問題的一般解為：

②當(dāng)K＜0時(shí)，H*問題只有零解，故原RH問題也只有零解。

（2）原問題中的g（τ）≡0、c（t）=c*（t）≠0，即H*問題是非齊次的，稱真非齊次問題。

①當(dāng)K≥0時(shí)，

②當(dāng)K＜0且條件式（24）成立時(shí)，相應(yīng)R問題式（17）在R0中有唯一解，則原復(fù)合邊值問題也有唯一解式（26）。

（3）原問題中的g（τ）≠0，則Φ1（z）≠0，此時(shí)分2種情況。

2K＞0時(shí)，原RH問題一般解式（26）右邊還需加上Φ1（z）。

2K＜0時(shí)，僅當(dāng)實(shí)函數(shù)滿足-2K-1個(gè)實(shí)條件時(shí)，才有唯一解，即式（26）加上Φ1（z）。

K≥0時(shí)，原RH問題的一般解為式（25）右邊加上Φ1（z）。

K＜0時(shí)，由于相應(yīng)的H*問題只有零解，故原RH問題有非零唯一解Φ1（z）。

定理2（三角形區(qū)域上的RH問題）

當(dāng)K≥0時(shí)，RH問題恒有解，且由K+1的實(shí)常數(shù)決定。

當(dāng)K＜0時(shí)，對(duì)于真齊次問題，只有零解；對(duì)于準(zhǔn)齊次RH問題，有非零唯一解Φ1（z）；對(duì)真非齊次RH問題，僅當(dāng)已知的實(shí)函數(shù)都滿足相應(yīng)的-2K-1個(gè)實(shí)條件時(shí)，才有唯一解。

4 結(jié)束語

針對(duì)單位圓域到多角形區(qū)域上的共形變換，特別以正三角形為例，采用共形映射、橢圓函數(shù)理論方法和相關(guān)數(shù)學(xué)軟件，完整求解變換的表達(dá)式。所求得的變換表達(dá)式是通用表達(dá)式，可直接應(yīng)用在力學(xué)計(jì)算中。此外，還分析帶間斷點(diǎn)的RH問題在不同節(jié)點(diǎn)的求解情況，得到解決一般RH問題的常用思路，最終給出三角形區(qū)域上RH問題的解析解。整個(gè)求解思路可以移植到其他帶間斷點(diǎn)閉合曲線上，進(jìn)而快速求解相應(yīng)的RH問題。

［1］ 路見可.解析函數(shù)邊值問題教程［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2009.

［2］ LU J K.On compound boundary problem［J］.Science Sinica，1965，14（11）：1545-1555.

［3］ 張霞，李星.非正則型復(fù)合邊值問題［J］.寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，23（3）：193-197.

［4］ GUO D J.Multiple positive solutions for first order impulsive singular integro-differential equation on the half line［J］.Acta Mathematica Scientia：Series B，2012，32（6）：2176-2189.

［5］ 路見可.平面彈性周期問題概論［M］.武漢：武漢大學(xué)出版，2008.

［6］ 李星，路見可.雙周期彈性斷裂理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2015.

［7］ 李星.一類周期裂紋問題的數(shù)值解［J］.寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1998，19（1）：45-46.

［8］ LI X.Complex analytic methods in mechanics［J］.Joumal of Ningxia University：Natural Science Edition，2001，22（3）：272-273.

［9］ 李星，霍華頌，時(shí)朋朋.一維六方壓電準(zhǔn)晶對(duì)稱條形體中共線雙半無限快速傳播裂紋的解析解［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2014，35（2）：135-136.

［10］BEGEHR H，WEN G C.Nonlinear Elliptic Boundary Value Problems and Their Applications［M］.Harlow：Longman，1996.

［11］LIN J，DU J Y.Stability of displacement of the second fundamental problem in plane elasticity［J］.Acta Mathematica Scientia：Series B，2014，34（1）：125-140.

［12］DUAN P，DU J Y.Riemann-Hilbert characterization for main bessel polynomials with varying large negative parameters［J］. Acta Mathematica Scientia：Series B，2014，34（2）：557-567.

［13］聞國(guó)椿.共性映射與邊值問題［M］.北京：高等教育出版社，1985.

［14］普利瓦洛夫．復(fù)變函數(shù)引論［M］．閔嗣鶴，等譯.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013.

On triangular compound boundary problem

HU Jie，LIU Hua
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

In view of the compound boundary value problem on the triangle region，the solution of the problem is solved by using the method of problem solving.Schwarz-Christoffel formula is used to give the conformal mapping from circular domain to triangle region，further by using elimination to change the composite boundary value problem into the Hilbert boundary value with discontinuous coefficients.By analytic continuation of the problem with discontinuous coefficients，the analytical solution of the composite boundary value problem is obtained.

schwarz-christoffel'formula；elliptical function；plemelj formula；compound boundary value problem

O175.8

A

2095－0926（2016）04－0040－05

2016-09-02

胡 潔（1991—），女，碩士研究生；劉 華（1971—），男，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閺?fù)分析及其應(yīng)用.