高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性解題方法研究

張躍新●

山東省單縣一中(274300)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性解題方法研究

張躍新●

山東省單縣一中(274300)

函數(shù)作為高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)不容忽視的重點內(nèi)容，一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點及高考數(shù)學(xué)備考的重點，備受關(guān)注.只有對數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性常見解題方法做好系統(tǒng)梳理才能增強(qiáng)對函數(shù)單調(diào)性的理解把握，才能正確解答函數(shù)單調(diào)性的系列問題.

一、函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的兩大思考：教材分析與思路解讀

(一)函數(shù)單調(diào)性教學(xué)思考之一：教材分析

要想解答函數(shù)單調(diào)性問題，必須回歸課本，做好教材分析.高中教材在組織函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)時，以一次和二次函數(shù)作為教學(xué)開端，將兩者之間自變量x變化導(dǎo)致的函數(shù)值y變化規(guī)律作為函數(shù)單調(diào)性問題解決的突破口，實現(xiàn)對二次函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，為函數(shù)單調(diào)性問題的解答奠定基礎(chǔ).

(二)函數(shù)單調(diào)性教學(xué)思考之二：教研思路

函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)應(yīng)以一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的扎實把握為前提，這是高中階段函數(shù)單調(diào)性考察的主要函數(shù)類型.在函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)上要建構(gòu)其“自變量增大，函數(shù)值增大”的函數(shù)變化趨勢概念認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)基本的代數(shù)形式，掌握基本的代數(shù)證明格式，在函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)上還是以定義為主，在函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)與解答的過程中回歸定義，實現(xiàn)意識模仿到獨(dú)立證明的過渡.

二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性的正確解題方法

(一)利用函數(shù)單調(diào)性的定義解題

在利用函數(shù)單調(diào)性的定義解題時需要熟練掌握定義法證明單調(diào)性的步驟，針對帶有無理式的函數(shù)在運(yùn)用定義法進(jìn)行解答時需要注意無理式的有理化處理.

證明 設(shè)x1,x2∈R，其中x1

(二)利用圖象變化趨勢進(jìn)行解答

函數(shù)圖象直接表明函數(shù)的單調(diào)性趨勢，因此借助函數(shù)圖象也是解決函數(shù)單調(diào)性問題的方式之一.函數(shù)圖象也可以與函數(shù)的奇偶性結(jié)合起來，奇函數(shù)在原點對稱區(qū)間單調(diào)性相同，偶函數(shù)則相反.

(三)借助復(fù)合函數(shù)同增異減進(jìn)行解答

在函數(shù)學(xué)習(xí)中，復(fù)合函數(shù)是函數(shù)y=f(t)與函數(shù)t=g(x)組合而成的函數(shù)形式.t=g(x)作為內(nèi)層函數(shù)，而y=f(t)則作為外層函數(shù)，最終表現(xiàn)形式為y=f(g(x)).對于復(fù)合函數(shù)來說，如果內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相反，則其為遞減函數(shù)，如果內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同，則為遞增函數(shù).

例3 請判斷復(fù)合函數(shù)f(x)=3x2+1的單調(diào)性.

解 先判斷其外層函數(shù)f(t)=3t單調(diào)性，然后判斷出內(nèi)層函數(shù)t=x2+1單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性特征進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的判斷.

內(nèi)層函數(shù)t=x2+1是關(guān)于y軸對稱的偶函數(shù)，在區(qū)間(-∞,0)是遞減函數(shù)，而在區(qū)間(0,+∞)上為遞增函數(shù).外層函數(shù)在區(qū)間(-∞,+∞)上為遞增函數(shù)，同增異減的原則進(jìn)行判斷，該函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)為單調(diào)減函數(shù)，而在區(qū)間(0,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù).

(四)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性解答

在函數(shù)解答中導(dǎo)數(shù)也是比較常用手段，特別是解答函數(shù)單調(diào)性方面.簡單便捷.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數(shù).若f(x)在區(qū)間(1,+∞)為單調(diào)遞減，g(x)在區(qū)間(1,+∞)有最小值，求a的取值范圍.

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