新型大重合度齒廓齒輪時(shí)變嚙合剛度研究

唐 沛, 劉亞成, 李慎龍, 李 晉

(中國(guó)北方車輛研究所 車輛傳動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100072)

新型大重合度齒廓齒輪時(shí)變嚙合剛度研究

唐 沛, 劉亞成, 李慎龍, 李 晉

(中國(guó)北方車輛研究所 車輛傳動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100072)

針對(duì)內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)的發(fā)展需求，提出了一種可廣泛應(yīng)用于內(nèi)嚙合齒輪的大重合度共軛齒廓，基于能量法計(jì)算了新型齒廓齒輪的彈性變形量，在此基礎(chǔ)上，對(duì)新型大重合度齒廓齒輪進(jìn)行有限元分析，并與能量法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了能量法的有效性.建立了齒輪的法向剛度模型及齒輪副扭轉(zhuǎn)剛度模型，研究結(jié)果對(duì)新型內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)的齒廓設(shè)計(jì)具有借鑒意義，同時(shí)為新型內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析提供了理論基礎(chǔ).

大重合度；新型齒廓；嚙合剛度；能量法；有限元法

內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)是齒輪傳動(dòng)的重要形式，與外嚙合齒輪相比，具有效率高、重合度大、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于車輛、船舶等傳動(dòng)系統(tǒng)中.內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)的齒形主要為漸開線和擺線，其中漸開線齒輪以其容易制造及互換性強(qiáng)，應(yīng)用最為廣泛，但漸開線齒輪在設(shè)計(jì)上受到齒形的限制，容易發(fā)生干涉，在設(shè)計(jì)中受最小齒數(shù)限制，有時(shí)還須進(jìn)行變位加工以避免干涉，重合度也受齒數(shù)及壓力角的限制.

隨著新型傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)及對(duì)內(nèi)嚙合傳動(dòng)性能要求的提高，內(nèi)嚙合齒輪的設(shè)計(jì)應(yīng)具有更高的承載能力和設(shè)計(jì)自由性.提高齒輪的承載能力通過兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)：提高單齒強(qiáng)度或重合度，采用漸開線或擺線齒時(shí)，通過修形來提高齒輪的傳動(dòng)性能已經(jīng)達(dá)到極限，同時(shí)，受到現(xiàn)有齒形的限制，在內(nèi)嚙合齒輪設(shè)計(jì)上，漸開線只能通過改變壓力角和變?yōu)橄禂?shù)避免干涉，降低了內(nèi)嚙合齒輪設(shè)計(jì)的自由度.目前學(xué)者對(duì)外嚙合齒輪設(shè)計(jì)進(jìn)行了大量的研究，提出了許多新型齒形，但在內(nèi)嚙合齒輪設(shè)計(jì)方面，缺少相應(yīng)研究.

文中以內(nèi)嚙合齒輪副為研究對(duì)象，基于齒輪嚙合原理[1]和微分幾何學(xué)[2]，提出一種新型大重合度內(nèi)嚙合齒輪齒形設(shè)計(jì)方法，建立了新型大重合度齒輪齒形的數(shù)學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上，基于能量法對(duì)新型齒廓齒輪的變形量進(jìn)行研究，并結(jié)合有限元法進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而建立齒輪的法向剛度及扭轉(zhuǎn)剛度模型.

1 大重合度內(nèi)嚙合齒輪齒形設(shè)計(jì)

提高嚙合重合度是提升齒輪傳動(dòng)裝置承載能力和傳遞效率、降低嚙合沖擊的有效途徑，而接觸跡線的長(zhǎng)度是決定齒輪重合度的重要因素.下面以圖1所示的內(nèi)嚙合漸開線直齒圓柱齒輪副的幾何參數(shù)為基礎(chǔ)，說明新型大重合度齒輪齒形的構(gòu)造方法.

以兩齒頂圓交點(diǎn)C為起點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)B′為終點(diǎn)構(gòu)造接觸跡線，接觸跡線可以為簡(jiǎn)單的圓弧，也可以為其他曲線，為了保證輪齒嚙合，接觸跡線限制在兩齒頂圓之間.現(xiàn)在以過點(diǎn)C與點(diǎn)B′，圓心在AB上的圓弧B′C為接觸跡線.以B′為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立固定坐標(biāo)系S(xB′y),隨齒條平動(dòng)的坐標(biāo)系S3(x3B′y3)，再分別以A、B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立隨齒輪1轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系S1(x1Ay1)及隨齒輪2轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系S2(x2By2)，建立以B′點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，初始位置時(shí)，4個(gè)坐標(biāo)系的y軸重合.

圖1 嚙合接觸跡線幾何關(guān)系

兩齒輪齒頂圓交點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足：

(1)

則點(diǎn)C(xc，yc)與嚙合線中心O(x0，y0)在固定坐標(biāo)系中坐標(biāo)為

(2)

在固定坐標(biāo)系下，嚙合線的參數(shù)方程為

(3)

齒條齒廓滿足：

(4)

式中：c為積分常數(shù)，其值取決于齒廓與嚙合線的交點(diǎn)位置.

(5)

則外齒輪1參與嚙合的齒廓方程為

(6)

同樣的方法求得與上述齒廓共軛的內(nèi)齒輪2的齒廓方程為

(7)

坐標(biāo)變換矩陣

式中：φ2=(y0θ+xc-y0(θ0+cosθ0))/r2.

新齒形齒輪嚙合過程中，節(jié)點(diǎn)以下齒廓不參與嚙合，因此,該部分齒廓的設(shè)計(jì)原則為：在保證齒根齒廓不干涉的前提下，最大限度的提高輪齒彎曲強(qiáng)度.采用直接復(fù)制與之共軛齒輪的齒頂齒廓，并光滑過渡到齒根圓的方法得到節(jié)點(diǎn)以下齒廓.由于節(jié)點(diǎn)以下部分不參與嚙合，所以設(shè)計(jì)出的新齒形齒輪不存在根切問題.研究表明設(shè)計(jì)出的新型大重合度齒廓齒輪主要具有如下特點(diǎn)：①最小重合度為π，選取合適的設(shè)計(jì)參數(shù)，重合度可達(dá)10以上，可大幅度提高齒輪傳動(dòng)裝置的壽命；②滑移率較小，齒輪齒面磨損均勻；③加工時(shí)無根切現(xiàn)象，對(duì)齒輪傳動(dòng)裝置的輕量化、小體積設(shè)計(jì)十分有利.新型大重合度內(nèi)嚙合齒輪齒形可廣泛應(yīng)用于內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)，尤其對(duì)近年來提出的新型雙內(nèi)嚙合行星齒輪傳動(dòng)裝置[3-5]的研制具有重要意義，并已被用于該傳動(dòng)裝置的樣機(jī)中.

2 基于能量法的新型大重合度齒廓齒輪剛度計(jì)算

齒輪的時(shí)變嚙合剛度是齒輪動(dòng)力學(xué)動(dòng)態(tài)響應(yīng)中最重要的一項(xiàng)激勵(lì)參數(shù)，也是齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲的重要原因，對(duì)剛度激勵(lì)進(jìn)行研究具有重要意義[6].

因載荷作用齒輪變形存儲(chǔ)的勢(shì)能U由彎曲勢(shì)能Ub、剪切勢(shì)能Us、壓縮勢(shì)能Ua、接觸勢(shì)能Uh、齒基勢(shì)能Uf組成，變形能與變形量之間滿足卡式定理.基于能量原理[7]與卡式定理，可將輪齒視為圖2所示的非均勻懸臂梁[8]，Le為有效長(zhǎng)度，其值等于基點(diǎn)M至頂圓的距離.輪齒有效接觸部分沿對(duì)稱軸線被分成一系列長(zhǎng)方形微元，每個(gè)微元由符號(hào)i表示.對(duì)每個(gè)長(zhǎng)方形微元，它的高度、橫截面積和對(duì)中性軸的慣性矩I被取為兩個(gè)側(cè)面的平均值.Fj是齒輪嚙合點(diǎn)j傳遞的載荷，δj是單個(gè)輪齒在j點(diǎn)沿Fj方向的變形.彈性變形量δj主要有3部分構(gòu)成：①輪齒部分的彎曲變形、剪切變形和軸向壓縮變形；②與齒相連的過渡圓角處基體的變形;③由接觸應(yīng)力引起的局部接觸變形.

2.1 輪齒部分變形計(jì)算

將受載輪齒簡(jiǎn)化為圖2所示的懸臂梁模型，計(jì)算輪齒變形時(shí)，認(rèn)為每個(gè)微元左端固定，且與微元相連接的右端面部分是剛體，沿作用力方向的變形δbj是單個(gè)微元變形δbij的疊加.與漸開線齒輪最顯著不同的一點(diǎn)是，新型大重合度齒廓齒輪的嚙合區(qū)為節(jié)點(diǎn)到齒頂?shù)凝X廓段，齒根到節(jié)點(diǎn)間齒廓不參與嚙合.

圖2 輪齒懸臂梁模型

X軸方向的分力Fx、Y軸方向的分力Fy、等效彎矩M滿足：

(8)

結(jié)合材料力學(xué)中的梁理論，可知：

(9)

與漸開線齒廓不同的是新型齒輪的嚙合區(qū)與非嚙合區(qū)齒廓方程不統(tǒng)一，Ii、Sij、Ai需分段計(jì)算.

2.2 基體變形計(jì)算公式

根據(jù)Cornell[10]對(duì)齒輪基體變形量的推導(dǎo)，新型大重合度齒廓齒輪的基體變形量δfj滿足相關(guān)要求，即平面應(yīng)力狀態(tài)下δfj滿足公式：

(10)

平面應(yīng)變狀態(tài)下δfj滿足：

(11)

根據(jù)有效長(zhǎng)度Le，可求出Lf和Hf為

Lf=Xj-XM-Yjtan(βj)，

Hf=2YM.

2.3 局部接觸變形計(jì)算公式

Hertz接觸理論[11]表明輪齒在未承載時(shí)，接觸表面產(chǎn)生局部彈性變形，形成一個(gè)寬度為2b的矩形接觸面，由齒輪嚙合力、應(yīng)力、應(yīng)變、胡克定律之間的關(guān)系式：

(12)

可知，齒輪的接觸變形量

(13)

2.4 剛度計(jì)算

由齒輪變形量δj與齒輪法向剛度kj的關(guān)系式，可建立齒輪單齒法向剛度模型：

(14)

內(nèi)齒輪的變形量可采用與外齒輪相同的計(jì)算方法確定，進(jìn)而建立內(nèi)齒輪的單齒剛度模型.由建立的內(nèi)、外齒輪單齒剛度模型，可建立單對(duì)輪齒法向嚙合綜合剛度模型：

(15)

式中：Kn∑為單對(duì)輪齒嚙合綜合剛度;δ1j、δ2j分別為內(nèi)、外齒輪嚙合點(diǎn)沿嚙合力方向的彈性變形量.

新型大重合度齒廓齒輪在同一嚙合時(shí)刻，有多對(duì)齒參與嚙合，不同嚙合齒間法向剛度的方向不同,因此,在利用上述模型計(jì)算出來的單齒嚙合剛度計(jì)算整個(gè)齒輪副多齒嚙合剛度時(shí)，不能通過將單齒的法向剛度簡(jiǎn)單相加求得，需要利用扭轉(zhuǎn)嚙合剛度建立新型大重合度齒廓齒輪傳動(dòng)的綜合剛度模型.齒輪副嚙合剛度模型如下：

(16)

式中:Ktj為單對(duì)齒嚙合的扭轉(zhuǎn)剛度;la為接觸線的力臂;Kt為齒輪副扭轉(zhuǎn)剛度;z為同時(shí)參與嚙合的齒輪對(duì)數(shù).

3 實(shí)例分析

某型履帶車輛變速器中的內(nèi)嚙合齒輪副幾何參數(shù)如表1所示.

表1 齒輪基本參數(shù)

基于漸開線齒輪齒廓的幾何參數(shù)，根據(jù)推導(dǎo)出的新型齒廓參數(shù)方程，構(gòu)造大重合度內(nèi)嚙合齒輪齒形，其齒形方程為

,(17)

式中：φ1=(61.061 2θ-31.718 6)/55.5；φ2=(61.061 2θ-31.718 6)/67.5；θ在29.762 6°～90°間.圖3為該新型大重合度齒廓內(nèi)嚙合傳動(dòng)的三維模型.

圖3 新型大重合度齒形齒輪傳動(dòng)

下面采用有限元法對(duì)建立的剛度模型進(jìn)行驗(yàn)證.由于齒寬大于齒厚，滿足平面應(yīng)變假設(shè)，可利用齒輪的二維模型進(jìn)行分析，有限元模型如圖4所示，完全約束齒輪內(nèi)孔，在嚙合點(diǎn)處建立局部坐標(biāo)系，局部坐標(biāo)系的X軸沿嚙合力的作用線方向，在齒廓表面的不同嚙合位置施加不同方向的單位嚙合力來模擬齒輪的嚙合，提取兩個(gè)齒輪的變形量，表2為15個(gè)不同嚙合位置的變形量.

圖4 外齒輪變形量分析有限元模型

表2 齒輪不同嚙合點(diǎn)變形量

βj/radδ1×10-4/mmβj/radδ1×10-4/mmβj/radδ1×10-4/mm1058860549566036320382331101378031534205435049164703181034686120092803150830498404478480273103339313004770317684045330413269022800324591400026032322504083038571100182903280615-00425033115

基于能量法建立的嚙合點(diǎn)變形模型，編制MATLAB程序，計(jì)算與表2中相同的15個(gè)嚙合位置的變形量，圖5為兩種方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比：

圖5 有限元法與能量法外齒輪變形量計(jì)算對(duì)比

可見，基于能量法的變形量計(jì)算具有較高的準(zhǔn)確性，由能量法計(jì)算的變形量推導(dǎo)出的剛度模型也就具有工程應(yīng)用價(jià)值.圖6為基于能量法建立的內(nèi)、外齒輪相應(yīng)的法向剛度與扭轉(zhuǎn)剛度模型.

圖6 單對(duì)輪齒嚙合剛度

基于已建立的單對(duì)輪齒的扭轉(zhuǎn)剛度模型，并考慮齒輪嚙合過程中，嚙合齒輪對(duì)數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，以在齒頂處剛進(jìn)入嚙合的外齒輪的輪齒為參照，可建立齒輪副的扭轉(zhuǎn)剛度模型，如圖7所示.

圖7 齒輪副扭轉(zhuǎn)剛度

外齒輪的參照齒從嚙入至嚙出的過程中，嚙合齒對(duì)數(shù)在7與6間交替變化，導(dǎo)致齒輪副扭轉(zhuǎn)剛度如圖7動(dòng)態(tài)變化.

4 結(jié) 論

提出了一種大重合度齒輪齒形構(gòu)造方法，這種大重合度齒形可應(yīng)用于高速重載內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)，對(duì)新型雙內(nèi)嚙合行星齒輪傳動(dòng)裝置的研制具有使用價(jià)值.將輪齒視為齒根圓上的懸臂梁，基于彈性力學(xué)中的能量原理，求解輪齒的變形量，進(jìn)而建立了齒輪的法向剛度模型.有限元分析結(jié)果驗(yàn)證了能量法求解新型大重合度齒形輪齒變形量的正確性及有效性.最終建立了齒輪的法向剛度模型、扭轉(zhuǎn)剛度模型及齒輪副的扭轉(zhuǎn)剛度模型，為這類新型齒輪傳動(dòng)的嚙合動(dòng)力學(xué)分析提供相應(yīng)的理論基礎(chǔ).

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Study on Time-Varying Mesh Stiffness of a Novel Tooth ProfileGear with Great Contact Ratio

TANG Pei, LIU Ya-cheng, LI Shen-long, LI Jin

(Science and Technology on Vehicle Transmission Laboratory, China North Vehicle Research Institute, Beijing 100072, China )

According to the development requirement of the internal meshing gear transmission, a new type of the conjugate tooth profile is proposed with a great contact ratio. Based on the energy method, the elastic deformation of the new profile is calculated at their contact points, and the finite element analysis of the gear is carried out. The simulated outcomes are compared with the former calculating results, verifying the validity of the energy method. Both a normal stiffness model of the gear and a torsional stiffness model of its gear-pair are established. The studied results have reference value for the design of the new internal gear transmission, and provide a theoretical basis for the dynamics analysis of the novel transmission.

great contact ratio; novel tooth profile; mesh stiffness; energy method; finite element method

1009-4687(2016)04-0003-06

2016-9-6

國(guó)家探索研究項(xiàng)目(7131458)

唐 沛(1989-)，男，研究方向?yàn)樾行莻鲃?dòng)技術(shù).

TJ811

A