網(wǎng)格線中的三角函數(shù)問(wèn)題

周宏偉

在我們常見(jiàn)的網(wǎng)格線中，有很多三角函數(shù)求值問(wèn)題，題中蘊(yùn)含著很多思想方法，為便于大家復(fù)習(xí)，現(xiàn)歸納如下，供大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中參考.

一、補(bǔ)形的策略

例1 （2015·山西）如圖1，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是（ ）.

A.2 B.[255] C.[55] D.[12]

【方法探究】如何把∠ABC放在某個(gè)直角三角形中是解決本題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：AB在小正方形的對(duì)角線上，能聯(lián)想到45°角，只要連接AC即可構(gòu)造出直角，然后在直角三角形中運(yùn)用三角函數(shù)的定義求解.

【過(guò)程展示】如圖2，連接AC，則∠CAB=90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC=[ACAB]=[12].故選D.

例2 （2016·福建福州）如圖3，6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知菱形的一個(gè)角（∠O）為60°，A、B、C都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值是 .

【方法探究】觀察網(wǎng)格的特點(diǎn)，首先考慮如何將∠ABC放到一個(gè)直角三角形中，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【過(guò)程展示】如圖4，連接DA，DC，則點(diǎn)B、C、D在同一直線上，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，由題意得∠ADF=30°，∠BDF=60°，∴∠ADB=90°，

AD=[3a]，DB=2a，tan∠ABC=[ADBD]=[3a2a]=[32]，故答案為[32].

二、轉(zhuǎn)化的思想

例3 （2012·江蘇泰州）如圖5，在由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值為 .

【方法探究】直接求∠APD的正切值比較困難，可以考慮利用線段的平移對(duì)∠APD進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出它的“替身”，然后進(jìn)行求解，以達(dá)到化難為易的目的.

【過(guò)程展示】如圖6，取小正方形的頂點(diǎn)E，連接AE、BE，由圖可知CD∥BE，∴∠APD=∠ABE，在Rt△ABE中，tan∠ABE=2，∴tan∠APD=2.

例4 （2016·山東淄博）圖7是由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、P、Q四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線段AB、PQ相交于點(diǎn)M，則圖中∠QMB的正切值是（ ）.

A.[12] B.1 C.[3] D.2

【方法探究】如果直接求tan∠QMB可考慮連接AP、BQ，運(yùn)用△APM∽△BQM求出AM或BM，然后在Rt△APM或Rt△BQM中求解；如果間接求解，應(yīng)考慮對(duì)∠QMB進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最好的思路是考慮線段的平移.①如圖8，平移AB至A′Q，在Rt△A′PQ中求tan∠Q；②如圖9，平移AB至PB′，在Rt△B′PQ中求tan∠P；③如圖10，平移PQ使其經(jīng)過(guò)線段AB中點(diǎn)D，然后在Rt△ACD中求tan∠ADC.

【過(guò)程展示】以第①種平移為例，如圖8，平移AB至A′Q后，∠Q=∠QMB，在Rt△A′PQ中，tan∠Q=[A′PA′Q]=2，所以tan∠QMB=2.故選D.

三、等積法

例5 （2015·四川樂(lè)山）如圖11，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為（ ）.

A.[33] B.[55] C.[233] D.[255]

【方法探究】通過(guò)作三角形的高構(gòu)造直角三角形，先利用等積法（或勾股定理）求出高，然后運(yùn)用余弦的定義解答.

【過(guò)程展示】如圖11，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)B作AC邊上的高BD.

由勾股定理得：AC=[32]，AB=[10]，

由等積法可得：[12]BC?h=[12]?AC?BD，

即[12]×2×3=[12]×[32]?BD，解得BD=[2]，由勾股定理，得AD=[AB2-BD2]=[22]，

∴cosA=[ADAB]=[2210]=[255].故選D.

例6 （2014·廣西賀州）如圖12，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，則sinA= .

【方法探究】在替換與∠A相等的角比較困難的情況下，可以考慮通過(guò)作高進(jìn)行構(gòu)造，把∠A放在某個(gè)直角三角形中進(jìn)行求解.

【過(guò)程展示】如圖12，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，連接AD，則AD⊥BC，從不同的角度把△ABC的面積計(jì)算兩次得：

S△ABC=[12]AB?CE=[12]BC?AD，

所以[12]×[25]×CE=[12]×[22]×[32]，

所以CE=[655]，在Rt△ACE中，

sin∠CAE=[CEAC]=[65525]=[35].

由此可見(jiàn)，遇到網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)求值問(wèn)題，我們通常有兩種思路：一是原地不動(dòng)，想辦法構(gòu)造直角三角形求解；二是轉(zhuǎn)移該角，如利用平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化.一般情況下，遇到求三角函數(shù)問(wèn)題優(yōu)先考慮轉(zhuǎn)化，在沒(méi)有好的轉(zhuǎn)化思路的情況下再考慮如何構(gòu)造.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市新街鎮(zhèn)中學(xué)）