單箱雙室簡支箱梁剪切變形剪力滯效應(yīng)分析

張慧，張玉元，張元海

(1. 蘭州交通大學(xué) 甘肅省道路橋梁與地下工程重點試驗室，甘肅 蘭州 730070；2. 蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

單箱雙室簡支箱梁剪切變形剪力滯效應(yīng)分析

張慧1,2，張玉元2，張元海2

(1. 蘭州交通大學(xué) 甘肅省道路橋梁與地下工程重點試驗室，甘肅 蘭州 730070；2. 蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

基于各個翼板選取不同的最大剪切轉(zhuǎn)角差為剪力滯廣義位移,考慮剪力滯和剪切變形雙重效應(yīng)，應(yīng)用能量變分原理推導(dǎo)出雙室箱梁受豎向?qū)ΨQ荷載時的截面控制微分方程組，采用降階法并結(jié)合邊界條件導(dǎo)出相應(yīng)的閉合解，從力學(xué)和數(shù)學(xué)角度解釋剪切變形對箱梁截面縱向應(yīng)力無影響。以典型的單箱雙室簡支箱梁為例，利用數(shù)值方法和本文解析解方法，研究滿跨均布力和跨中集中力荷載作用下，跨中截面剪力滯橫向分布規(guī)律和高跨比對剪力滯效應(yīng)的影響規(guī)律，研究結(jié)果表明：頂(底)板與腹板交匯處表現(xiàn)為正剪力滯效應(yīng)，單室頂(底)板中心表現(xiàn)為負(fù)剪力滯效應(yīng)；集中力、均布力下跨中截面測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化分別呈線性、曲線分布，頂(底)板與腹板交匯處測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的增大而增大，單室頂(底)板中心測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的增大而減小。

雙室箱梁；剪力滯效應(yīng)；剪切變形；能量變分法；有限元

薄壁箱梁因其有利的受力特性而被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代橋梁工程中。薄壁箱梁發(fā)生豎向撓曲變形時，由腹板傳遞給翼緣板的剪力流使翼緣板在遠(yuǎn)離腹板處的縱向位移滯后于靠近腹板處的縱向位移，從而使箱梁翼緣板不滿足平截面假設(shè)，這就是剪力滯效應(yīng)[1-5]。薄壁箱梁被廣泛應(yīng)用于橋梁上部結(jié)構(gòu)設(shè)計當(dāng)中，對其設(shè)計和計算時必須考慮剪力滯效應(yīng)[1,3-4]，但是要不要考慮剪切變形，以及剪切變形對剪力滯效應(yīng)是否有影響需要進(jìn)一步論證和闡述。劉世忠等[6-10]以單室簡支箱梁為例，論述了剪切變形對剪力滯效應(yīng)沒有影響，即剪切變形不影響箱梁截面的縱向應(yīng)力。目前，大跨度、多室寬體箱梁已被廣泛應(yīng)用于實際橋梁建造中，考慮剪切變形對多室箱梁剪力滯效應(yīng)的影響有待進(jìn)一步從數(shù)學(xué)和力學(xué)角度出發(fā)，研究其受力機(jī)理和變形模式。本文從這2個方面出發(fā)，應(yīng)用能量變分原理推導(dǎo)出箱梁截面控制微分方程組，采用降階法求得其通解，并結(jié)合相應(yīng)的邊界條件給出對應(yīng)的閉合解。針對一個典型的單箱雙室簡支箱梁為例，驗證本文分析方法的精確性，從數(shù)學(xué)和力學(xué)角度解釋剪切變形對箱梁縱向應(yīng)力沒有影響。

1 單箱雙室箱梁截面控制微分方程的推導(dǎo)

如圖1所示，XOY為整體坐標(biāo)系，xoy為局部坐標(biāo)系，箱梁在豎向任意荷載q(z)作用下的撓曲變形，選取最大剪切轉(zhuǎn)角位移差作為剪力滯廣義位移，則箱梁截面任意一點處的縱向位移u(x,y,z)為

u(x,y,z)=-y·w′(z)+ωζ(x,y)·U(z)

(1)

其中：w(z)為豎向撓度；ωζ(x,y)為翹曲位移函數(shù)；U(z)為剪切變形最大差值；式中第1項為初等梁縱向位移，第2項為剪力滯引起的附加位移。

如圖1所示，考慮剪切變形對剪力滯的影響，在對稱豎向荷載作用下，中和軸的位置仍按初等梁理論確定，腹板變形考慮鐵摩辛柯[11]的剪切變形。各個翼板的縱向位移表達(dá)式為

頂板：

(2)

懸臂板：

(3)

底板：

(4)

腹板：

uw=(w′-β)z

(5)

令φ(z)=w'(z)-β(z)

(a)坐標(biāo)系及荷載；(b)橫截面圖1 箱型截面簡圖Fig.1 Box girder with cross section

頂板、懸臂板和底板的應(yīng)變能表達(dá)式：

(6)

(7)

E為彈性模量；G為剪切模量。

箱梁各個翼板的應(yīng)變能：

頂板應(yīng)變能：

(8)

懸臂板應(yīng)變能：

(9)

底板應(yīng)變能：

(10)

腹板應(yīng)變能：

(11)

外力勢能：

(12)

箱梁總勢能：

(13)

將式(8)～(12)代入式(13)可得

(14)

將式(14)求一階變分，并令δπ=0

(15)

根據(jù)變分引理，由式(15)可得截面控制微分方程

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

將式(16)積分1次

(25)

聯(lián)立式(25)及式(16)～(24)消去φ，整理并寫成矩陣的形式

(26)

其中：Q(z)為箱梁某一截面處的剪力。

2 微分方程組的邊界條件及閉合解

對于式(26)的求解，采用降階法[12]得到一階線性非齊次微分方程組，按照慣用的方法先求得齊次微分方程組的通解，再求出非齊次微分方程組的特解，然后將二者疊加得到非齊次微分方程組的通解，利用各自的邊界條件得到相應(yīng)的閉合解。

2.1 微分方程組的求解

1)箱梁受跨中集中力如圖2(a)所示

當(dāng)0≤z≤a時

(27)

求一階導(dǎo)數(shù)

(28)

當(dāng)a≤z≤l時

(29)

求一階導(dǎo)數(shù)

(30)

2)箱梁受滿跨均布力如圖2(b)所示

(31)

求一階導(dǎo)數(shù)

(32)

(a)簡支梁集中力圖示;(b)簡支梁均布力圖示圖2 簡支梁計算簡圖Fig.2 Calculation diagram of simple beam

2.2 邊界條件

1)集中力時：

2)均布力時：

2.3 箱梁縱向應(yīng)力解

求得各個翼板的最大剪切轉(zhuǎn)角差，由彈性力學(xué)原理即可獲得各個翼板的縱向應(yīng)力表達(dá)式。

頂板：

(33)

懸臂板：

(34)

底板：

(35)

由式(26)可以看出獲得的微分方程組是關(guān)于最大剪切轉(zhuǎn)角差的方程組，與剪切變形量無關(guān)系；式(33)～(35)獲得的縱向應(yīng)力解可以看出是關(guān)于不同最大剪切轉(zhuǎn)角差的函數(shù)，與剪切變形無關(guān)，即可以得知剪切變形不影響箱梁截面的縱向應(yīng)力。

2.4 剪力滯系數(shù)

(36)

3 算例

3.1 算例基本概況

以文獻(xiàn)[13]跨度50 m的混凝土單箱雙室簡支箱梁為例，截面尺寸、測點位置見圖3，材料E=3.1×104MPa，泊松比μ=1/6。

1)跨中集中力荷載P=20 kN；

2)滿跨均布力荷載q=2 kN/m。

單位：m圖3 截面尺寸及測點Fig.3 Cross section size

3.2 箱梁跨中截面剪力滯橫向分布規(guī)律

應(yīng)用本文獲得的各個翼板的縱向應(yīng)力解研究跨中截面的剪力滯系數(shù)橫向分布規(guī)律，同時利用ANSYS-shell63建立有限元模型并獲得數(shù)值解，以ANSYS數(shù)值解為參照，分析本文建立箱梁縱向應(yīng)力表達(dá)式的精確性和合理性。

分析箱梁跨中截面剪力滯橫向分布規(guī)律，如表1，圖4～5。

表1 簡支梁跨中截面測點剪力滯系數(shù)Table 1 Shear lag coefficient of cross section of simply supported beam

注：誤差比=(本文解-ANSYS解)/ANSYS解×100

(a)頂板測點剪力滯系數(shù)橫向分布規(guī)律;(b)底板測點剪力滯系數(shù)橫向分布規(guī)律圖4 簡支梁-集中力跨中截面測點剪力滯系數(shù)橫向分布規(guī)律Fig.4 Simply supported beam-lateral distributive law of shear lag coefficient in the mid-span cross section under the concentrated force

(a)頂板測點剪力滯系數(shù)橫向分布規(guī)律;(b)底板測點剪力滯系數(shù)橫向分布規(guī)律圖5 簡支梁-均布力跨中截面測點剪力滯系數(shù)橫向分布規(guī)律Fig.5 Simply supported beam-lateral distributive law of shear lag coefficient in the mid-span cross section under the uniform force

由表1可以看出：集中力作用時，跨中截面測點剪力滯系數(shù)誤差比為-2%～0.57%；均布力作用時，跨中截面測點剪力滯系數(shù)誤差比為-1.2%～0.5%；證實了本文理論的精確性。頂板、底板與腹板交匯處表現(xiàn)為正剪力滯，其他測點表現(xiàn)為負(fù)剪力滯；集中力下的剪力滯效應(yīng)更明顯于均布力下的剪力滯效應(yīng)；這些規(guī)律與單室箱梁類似。此外由ANSYS數(shù)值解可以看出，邊腹板處的剪力滯系數(shù)略大于中腹板處的剪力滯系數(shù)。

由圖4～5可以看出：本文解與ANSYS解吻合程度良好，能夠精確的反映雙室箱梁剪力滯效應(yīng)。

3.3 高跨比對剪力滯效應(yīng)的影響規(guī)律

高跨比(H/L)是影響剪力滯效應(yīng)較為敏感的因素之一[14]，通過調(diào)整圖3箱梁截面的高跨比，利用本文解析解研究跨中截面頂板3號和5號測點和底板8號和9號測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化規(guī)律，并繪制變化曲線，如圖6～7。

(a)頂板測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化規(guī)律；(b)底板測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化規(guī)律圖6 簡支梁-集中力下跨中截面測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化規(guī)律Fig.6 Simply supported beam-shear lag coefficient changing with the height-span ratio in the mid-span cross section under the concentrated force

(a)頂板測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化規(guī)律；(b)底板測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化規(guī)律圖7 簡支梁-均布力下跨中截面測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化規(guī)律Fig.7 Simply supported beam-shear lag coefficient changing with the height-span ratio in the mid-span cross section under the uniform force

圖6～7可以看出：本文解析解與ANSYS解吻合程度良好。集中力下跨中截面測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化呈線性分布，均布力下跨中截面測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化呈曲線分布。不論是集中力還是均布力作用時，3號和8號測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的增大而增大；5號和9號測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的增大而減小。

4 結(jié)論

1)單箱雙室簡支箱梁剪力滯橫向分布規(guī)律：頂板，由腹板處向單室頂板中心遞減；懸臂板，由腹板處向懸臂自由端遞減；底板，由腹板向單室底板中心遞減。頂板、底板與腹板交匯處表現(xiàn)為正剪力滯效應(yīng)，單室頂板、底板中心表現(xiàn)為負(fù)剪力滯效應(yīng)；此外，邊腹板處剪力滯效應(yīng)略大于中腹板處剪力滯效應(yīng)。

2)單箱雙室簡支箱梁高跨比對剪力滯效應(yīng)的影響規(guī)律：集中力下跨中截面測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化呈線性分布，均布力下跨中截面測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的變化呈曲線分布；不論是集中力還是均布力作用時，頂板、底板與腹板交匯處測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的增大而增大；單室頂板、底板中心測點剪力滯系數(shù)隨高跨比的增大而減小。

3)考慮剪切變形和剪力滯雙重效應(yīng)，利用能量變分法推導(dǎo)了雙室箱梁截面控制微分方程組，并結(jié)合相應(yīng)的邊界條件導(dǎo)出了對應(yīng)的閉合解，從力學(xué)和數(shù)學(xué)的角度進(jìn)一步闡釋了剪切變形對剪力滯效應(yīng)無影響。通過算例論證了本文選取方法的合理性和理論的正確性。

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nalysis on shear deformation and shear-lag effect of twin-cell box girders

ZHANG Hui1,2,ZHANG Yuyuan2,ZHANG Yuanhai2

(1.Key Laboratory of Road & Bridge and Underground Engineering of Gansu Province,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China;2.School of Civil Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

In view of each wing shoulder, different maximum shear angle differences are selected as the shear lag of generalized displacement. Taking the double effects of shear lag and shear deformation into consideration, the shear differential equations of twin-cell box qirder under the vertical symmetrical load are deduced on the basis of energy variational principle. The corresponding closed solutions are obtained by the method of reduced order and the boundary conditions. From the point of view of mechanics and mathematics, the shear deformation has no effect on the longitudinal stress of box girder.A typical example of the twin-cell box girders,using the numerical method and the analytic solution method in this paper to study shear lag transverse distribution law and effect of high span ratio on shear lag effect of measuring point in middle span under the uniform force and concentrated force.Research shows that: the junction of the top (bottom) plates and the web plates are shown the positive shear lag effect, the middle of the top (bottom) of the single room are shown the negative shear lag effect. The variation of the shear lag coefficient with the height span ratio is the linear and the curve distribution under the concentrated force and uniform force, respectively the shear lag coefficient between the top (bottom) plates and the web plates increase with the increase of high span ratio. The middle of the top (bottom) of the single room decreases with the high span ratio increasing.

twin-cell box girder;shear-lag effect;shear deformation;Energy variational method;finite element

2016-02-23

國家自然科學(xué)基金資助項目(51508255,51468032,51268029)；長江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊發(fā)展計劃資助項目(IRT1139)；蘭州交通大學(xué)青年基金資助項目；2015人社部留學(xué)人員科技活動項目擇優(yōu)資助項目

張元海(1965-)，男，甘肅武山人，教授，博土，從事箱形梁設(shè)計理論研究；E-mail:zyh17012@163.com

U441+.5

A

1672-7029(2016)12-2413-07