改進灰色模型高鐵隧道路基沉降分析與預測

靳鵬偉，何永紅,2

(1.湖南科技學院 土木與環(huán)境工程學院 湖南 永州 425199；2.中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083)

改進灰色模型高鐵隧道路基沉降分析與預測

靳鵬偉1，何永紅1,2

(1.湖南科技學院 土木與環(huán)境工程學院 湖南 永州 425199；2.中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083)

針對灰色模型在沉降預測中存在一定局限性的問題，在灰色預測的基礎上進行馬爾科夫預測，利用馬爾科夫狀態(tài)轉移矩陣來改進灰色系統(tǒng)模型，以彌補灰色預測對隨機波動大的數據序列預測精度低的缺陷。采用某高鐵隧道監(jiān)測數據以及某高鐵路基的沉降監(jiān)測數據進行工程實例分析，得出該模型對于變形曲線波動較大處仍有較好的擬合與預測效果，提高了預測精度。

灰色模型；馬爾科夫；路基；沉降預測

沉降變形分析與預測是確保高速鐵路質量與安全的關鍵環(huán)節(jié)[1]，隨著高速鐵路建設進程的推進[1-3]，高速鐵路建設對沉降變形分析與預測提出進一步的要求[4]，做好沉降分析工作對于高速鐵路的健康發(fā)展具有重大意義[5]。灰色預測(GM )模型作為一種典型的預測模型[6]，以顯著的優(yōu)勢被廣泛應用于變形分析與預測中。陳永奇于1993年在第7屆FIG會議中介紹了灰色理論在變形監(jiān)測數據處理中的應用。馮震等[7]對GM(U)模型在鐵路路基沉降預測方面進行了研究。周呂等[8]給出自適應灰色模型與殘差修正灰色模型在高鐵中的對比應用。袁明月等[9]給出灰色系統(tǒng)與時間序列在高鐵沉降變形中的對比應用。GM(1，1)預測模型雖然在沉降變形分析與預測得到了廣泛應用，但GM(1，1)模型對規(guī)律不明顯、數據變化較大的樣本預測時預測結果并不理想，由于灰色系統(tǒng)通過累加生成的數列對數據發(fā)展的規(guī)律產生影響，并且在許多情況下，觀測數據有時是雜亂無章的，觀測數據并不符合一定的規(guī)律。本文給出一種灰色系統(tǒng)與馬爾科夫相結合的殘差修正預測模型分析方法，首先對變形監(jiān)測數據采用灰色模型擬合，得到變化總體趨勢，然后進行馬爾科夫預測，用來彌補灰色預測對隨機波動大的數據序列預測準確度低的缺陷[10]。為檢驗該算法的有效性，依據實測沉降變形監(jiān)測數據[5]，通過對比分析可知，灰色系統(tǒng)與馬爾科夫相結合的預測模型使原有模型的預測效果更好。

1 GM(1，1)模型及其改進算法

1.1 GM(1，1)模型

設某一變形觀測對象的非負觀測數據為X(0)={X(0)(i)，i=1，2，…，n}，建立灰色預測模型：先對X(0)進行一次累加[11]：

X(1)={X(1)(k)，k=1，2，…，n}

(1)

然后對X(1)建立下列微分方程：

(2)

即GM(1，1)模型[12]，a,b由式(a,b)T=(BTB)-1BTYM確定，其中

求得(2)式的解即預測值為：

(3)

1.2 改進灰色馬爾科夫殘差修正模型

GM(1，1)模型對于波動性變化的監(jiān)測數據，其預測精度不能令人滿意。為了提高預測的精度，文獻[9]提出殘差修正建立的灰色GM(1，1)模型[13]，雖然該模型考慮了殘差的變化趨勢，但是殘差符號的變化規(guī)律并沒有考慮，而殘差符號的變化具有較大的隨機性，馬爾科夫預報適合于隨機波動較大的預報問題[9]。

改進的灰色馬爾科夫殘差修正模型的建模過程如下[14]：

1)對原始數據X(0)用GM(1，1)建模，得到殘差序列的絕對值序列

(4)

2)對殘差序列絕對值重建GM(1，1)，得到修正模型：

(5)

(6)

(7)

下面將灰色模型狀態(tài)轉移概率用馬爾科夫過程來估計，進而確定k>n時殘差的正負符號，步驟如下[9]。

1)確定狀態(tài)，將預測數據序列殘差分為兩種狀態(tài)，即殘差為正時取+1，殘差為負時取-1，見式(6)，得到數據序列殘差數據狀態(tài)序列；

2)根據殘差狀態(tài)(+1，-1)求出第一步轉移概率矩陣p；

3)確定初始殘差狀態(tài)概率分布π(0)，π(0)=[π1(0),π2(0)]，其中π1(0)為初始狀態(tài)殘差是正數時的概率，π2(0)為初始狀態(tài)殘差是負數的概率；

4)根據狀態(tài)轉移公式求出第t期數據狀態(tài)轉移的結果π(t)=π(0)pt，其中π(t)第t時刻殘差狀態(tài)概率，pt為經過t步轉移后的轉移概率矩陣；取出現概率大的狀態(tài)，如果出現正負號的概率相等，此時一般取上期確定的符號。

因此，灰色馬爾科夫預測模型是用GM(1，1)模型擬合系統(tǒng)的發(fā)展變化趨勢，并以此為基礎再對隨機波動大的殘差序列進行馬爾科夫預測，來彌補灰色預測對隨機波動大的數據序列預測準確度低的缺陷，將灰色預測與馬爾科夫預測相結合，可提高預測精度。

2 實驗結果及分析

2.1 工程實例——“平穩(wěn)”型變形趨勢

本文以貴陽至廣州高速鐵路某隧道沉降監(jiān)測為例，使用Trimble的DINI03 電子水準儀進行變形觀測，精度滿足國家二等水準要求，1周觀測1次，現依據該隧道某監(jiān)測點連續(xù)9期的觀測數據，沉降變形分析分別采用GM(1，1)模型和改進灰色馬爾科夫殘差修正模型對比分析，以下簡稱改進灰色馬爾科夫殘差修正模型為改進模型。

取監(jiān)測點的前9期數據建立模型并對第10期數據進行預測。從表1中可看出，GM(1，1)模型擬合殘差最大值為0.13 mm，最小值為0.01 mm，預測第10期殘差為0.23 mm；改進模型擬合殘差最大值為0.08 mm，最小值為0.00 mm，預測第10期數據殘差為0.17 mm，改進模型的均方誤差將傳統(tǒng)算法的均方誤差從0.090 9降低到0.061 7；改進模型的平均絕對誤差將和平均絕對誤差將傳統(tǒng)算法的均方誤差從0.028 9降低到0.000 7，2種模型的建模效果都不錯[15]，但改進算法的預測效果又稍微優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

表1 2種模型預測結果對比Table 1 Comparison of the predicted results of the two models

為更直觀地顯示預測效果，繪制了變形分析曲線，如圖1所示，該沉降監(jiān)測點的沉降曲線呈現出平穩(wěn)性變形趨勢，2種模型整體趨勢正確，但局部地方存在擬合不到位，在一定程度上影響了模型效果。圖2為2種模型預測殘差曲線對比，改進算法的殘差在初期較為平穩(wěn)，而 GM(1，1) 模型的殘差一直波動且波動較大。

綜上分析可知，傳統(tǒng)GM(1，1)模型與改進模型對“平穩(wěn)”型變形趨勢的監(jiān)測數據分析與預測適用性較好，2個模型的預測精度都比較高，GM(1，1)模型對于“穩(wěn)健”型變形趨勢分析更為適用。

圖1 原始值與兩種模型預測值對比Fig.1 Comparison between the original value and the predicted values of the two models

圖2 2種模型預測殘差曲線對比Fig.2 Comparison of the residual curves of two models

2.2 工程實例——“突變”型變形趨勢

工程體“突變”型變形趨勢主要表現為：初期基本穩(wěn)定，中期某時段出現大的變形，隨后又逐步趨于穩(wěn)定。以某高速鐵路某段路基的沉降變形監(jiān)測數據為例，該路基觀測時間為8個月，將前 20 期沉降觀測數據序列作為建模數據，分別用 GM(1，1) 模型、改進模型建模預測第21期數據，并與原始數據對比分析。

原始數據高程觀測值[6]X0=[72.654 42 72.654 17 72.652 13 72.652 02 72.651 42 72.651 15 72.652 02 72.650 77 72.650 05 72.650 83 72.650 65 72.650 56 72.648 57 72.649 59 72.647 86 72.649 01 72.649 01 72.648 66 72.647 80 72.647 54 ]，單位為m，為更細致的分析監(jiān)測點的變形趨勢，對原始數據高程觀測值數據進行處理，把觀測數列減去觀測數列的最小值，單位轉換為mm。對觀測數據分別采用傳統(tǒng)的GM(1，1)和改進模型預測第21期數據。

由圖 3可知，GM(1，1) 模型預測曲線呈線性且明顯偏離實測曲線，在中部波動位置與實測曲線偏差較大。與實測曲線吻合度最高的是改進算法，模擬與預測效果都比較好，有效掌握了實測曲線的細節(jié)信息。

圖3 原始值與2種模型結果對比Fig.3 Comparison between the original value and the results of the two models

圖4 2種模型預測殘差對比Fig.4 Comparison of two models for predicting residual error

上述為定性比較2種模型的預測效果，下面定量比較這2種模型的精度評判結果，如表2～3 所示。從表2中可看出，本文方法明顯優(yōu)于GM(1，1)模型。

表2 2種模型預測結果對比Table 2 Comparison of the predicted results of the two models

從表3中可以看出，改進模型的均方誤差為0.232 8 mm，傳統(tǒng)GM(1，1)算法的均方誤差為0.660 5 mm，改善率為64.75%；改進模型的平均絕對誤差為0.008 9 mm，傳統(tǒng)模型的平均絕對誤差均方誤差0.030 3 mm，改善率為70.62%；改進模型優(yōu)于GM(1，1)模型。

表3 2種模型預測結果對比Table 3 Comparison of the predicted results of the two models

綜上分析可知，對于“突變”型變形趨勢，即對于具有波動性變化的變形監(jiān)測數據，灰色馬爾科夫殘差修正模型的建模效果較好，可有效得到實測曲線的細節(jié)信息。

3 結論

1)針對灰色系統(tǒng)模型在沉降預測中存在一定局限性的問題，通過在灰色預測的基礎上進行馬爾科夫預測，利用馬爾科夫狀態(tài)轉移矩陣來改進灰色系統(tǒng)模型，來彌補灰色預測對隨機波動大的數據序列預測精度低的缺陷。

2)通過2個工程實例分析表明，對于“平穩(wěn)”型變形趨勢和“突變”型變形趨勢即具有波動性變化的變形監(jiān)測數據，改進灰色馬爾科夫殘差修正模型的建模效果更好，尤其是具有“突變”型變形趨勢的變形監(jiān)測數據，結果明顯高于GM(1，1)模型建模預測，可有效得到實測曲線的細節(jié)信息，對解決各領域內廣泛存在預測問題具有一定的使用價值。

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Settlement analysis and predictation of high-speed rail tunnelsubgrade based on the improved Gray model

JIN Pengwei1，HE Yonghong1,2

(1.School of Civil and Environmental Engineering, Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou 425199, China;2.School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China)

In view of the certain limitations of the grey model in the settlement prediction, this article made the Markov prediction on the basis of the grey predictation. The Markov state transition Matrix was used to improve the grey system model, and consequently, the defects of low accuracy for the stochastic voluctility data sequence was compensated. The article analyzed engineering examples in a high-speed rail tunnel and subgrade settlement monitoring data, it is concluded that the model still has better fitting and forecast result with strong deformation curve fluctuations, and thus improves the prediction accuracy.

Grey model；Markov；subgrade；settlement prediction

2016-08-15

國家自然科學基金資助項目(41461089)；湖南省教育廳科學研究項目(13C345)；湖南省教育廳科學研究重點項目(15A074)

何永紅(1978-)，女，河北定州人，副教授，博士研究生，從事變形分析與處理研究與教學；E-mail: heyonghong2004@163.com

U216

A

1672-7029(2016)12-2355-05