兩個(gè)含余弦函數(shù)的三角母不等式及其推論

黃兆麟

筆者最近得到兩個(gè)含余弦函數(shù)的“三角母不等式”，然后利用它們給出一些有趣的三角子不等式，供讀者欣賞.

定理1在任意△ABC中，若A≥B≥C，且實(shí)數(shù)x，y，z滿足x≥y≥z及y≥0，則有

x+y+z≥2（xcosA+ycosB+zcosC）（*）

證當(dāng)A≥B≥C時(shí)，此時(shí)就有

12-cosA≥0，同時(shí)12-cosC≤0，

又設(shè)不等式（*）左右之差為M，那么

M=2x（12-cosA）+2y（12-cosB）+2z（12-cosC）≥2y（12-cosA）+2y（12-cosB）+2y（12-cosC）=2y（32-cosA-cosB-cosC）≥0.

即定理1成立.當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=π3時(shí)不等式取等號(hào).

以上證明過(guò)程用到了一個(gè)熟知的不等式cosA+cosB+cosC≤32.

與定理1完全類似，我們還可輕松證明如下類似的定理2（其證明略）.

定理2在任意△ABC中，若A≥B≥C，且實(shí)數(shù)x，y，z滿足x≥y≥z及y≥0，則有

x+y+z≥23（xcosA2+ycosB2+zcosC2）（*′）

以下給出兩個(gè)定理的幾個(gè)有趣推論.

推論1在任意△ABC中，有

sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C（1）

證當(dāng)A≥B≥C時(shí)，取x=sinA，y=sinB，z=sinC，即滿足定理1條件，

代入不等式（*）立得sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C，

即當(dāng)A≥B≥C時(shí)不等式（1）成立，又不等式（1）是完全對(duì)稱不等式，

故不等式（1）對(duì)任意△ABC均成立.

推論2在任意△ABC中，有

a2b2c2+b2c2a2+c2a2b2+1bc+1ca+1ab≥

2a2+2b2+2c2（2）

證當(dāng)A≥B≥C時(shí)，取x=1bc，y=1ca，z=1ab，即滿足定理1條件，

代入不等式（*）并利用余弦定理整理可得

a2b2c2+b2c2a2+c2a2b2+1bc+1ca+1ab≥

2a2+2b2+2c2，

即當(dāng)A≥B≥C時(shí)不等式（2）成立，又不等式（2）是完全對(duì)稱不等式，

故不等式（2）對(duì)任意△ABC均成立.

推論3在任意△ABC中，若指數(shù)p>0，則有

secpA2+secpB2+secpC2≥23（secp-1A2+secp-1B2+secp-1C2）（3）

證當(dāng)A≥B≥C且p>0時(shí)，取x=secpA2，y=secpB2，z=secpC2即滿足定理2條件，

代入不等式（*′）整理即得

secpA2+secpB2+secpC2≥23（secp-1A2+secp-1B2+secp-1C2），

即當(dāng)A≥B≥C時(shí)不等式（3）成立，又不等式（3）是完全對(duì)稱不等式，

故不等式（3）對(duì)任意△ABC均成立.

推論4（歐拉不等式的加強(qiáng)）

若a，b，c，Δ，R，r分別為△ABC的三邊長(zhǎng)，面積，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

Rr≥3213sinAsinBsinCsinA2sinB2sinC2≥2（4）

證當(dāng)A≥B≥C時(shí)，取x=a，y=b，z=c，即滿足定理2條件，代入不等式（*′），

且右邊利用三角形面積公式

2Δ=bcsinA=casinB=absinC=（a+b+c）r整理可得a+b+c≥23（acosA2+bcosB2+ccosC2）

=23（acosA2bcsinA+bcosB2casinB+ccosC2absinC）（a+b+c）r，

上式再利用正弦定理及三元均值不等式整理可得Rr≥13（cosA2sinBsinC+cosB2sinCsinA+cosC2sinAsinB）

≥3213sinAsinBsinCsinA2sinB2sinC2≥2，

即當(dāng)A≥B≥C時(shí)不等式鏈（4）成立，又由不等式鏈（4）的完全對(duì)稱性，知?dú)W拉不等式加強(qiáng)鏈（4）對(duì)任意△ABC均成立.

以上證明過(guò)程用到了兩個(gè)熟知的三角不等式

sinAsinBsinC≤338，sinA2sinB2sinC2≤18.

推論5（外森比克不等式）

若a，b，c，Δ分別為△ABC的三邊長(zhǎng)及面積，則有a2+b2+c2≥43Δ（5）

證當(dāng)A≥B≥C時(shí)，取x=a2，y=b2，z=c2，即滿足定理2條件，代入不等式（*′）并利用三元均值定理等三角公式可得

a2+b2+c2

≥23（a2cosA2+b2cosB2+c2cosC2）

=4Δ3（a2cosA2bcsinA+b2cosB2casinB+c2cosC2absinC）

≥4Δ3·3318sinA2sinB2sinC2≥43Δ，

即當(dāng)A≥B≥C時(shí)不等式（5）成立，又由不等式（5）的完全對(duì)稱性，知外森比克不等式（5）對(duì)任意△ABC均成立.

以上證明過(guò)程用到了一個(gè)熟知的三角不等式sinA2sinB2sinC2≤18.

1938年，著名幾何學(xué)家費(fèi)恩斯列爾—哈德維格爾（Finsler—Hadwiger）提出并證明了如下經(jīng)典不等式：設(shè)a，b，c，Δ分別為△ABC的三邊長(zhǎng)及面積，則有a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2.

本文將其加強(qiáng)為如下

推論6（費(fèi)—哈不等式的加強(qiáng)式）

若a，b，c，Δ分別為△ABC的三邊長(zhǎng)及面積，則有a22sinA2+b22sinB2+c22sinC2≥43Δ+（b-c）22sinA2

+（c-a）22sinB2+（a-b）22sinC2（6）

注釋注意到有

∑a2-∑（b-c）2=2∑bc-∑（b2+c2-a2）=2∑bc-∑2bccosA=4∑bcsin2A2.

即費(fèi)—哈不等式有等價(jià)的三角形式

4（bcsin2A2+casin2B2+absin2C2）≥43Δ.

那么不等式（5）就對(duì)應(yīng)有等價(jià)的三角形式

2（bcsinA2+casinB2+absinC2）≥43Δ（6′）

又我們可以證明4∑bcsin2A2≥2∑bcsinA2，

故不等式（6）是費(fèi)—哈不等式的一種加強(qiáng).下面利用定理2證明推論6的等價(jià)不等式（6′）

證當(dāng)A≥B≥C時(shí)，取x=2ΔcosA2，y=2ΔcosB2，z=2ΔcosC2，即滿足定理2條件，代入不等式（*′）整理即得不等式（6′），即當(dāng)A≥B≥C時(shí)不等式（6′）成立，又不等式（6′）是完全對(duì)稱不等式，故不等式（6′）對(duì)任意△ABC均成立，從而推論6成立.

最后讀者可以自行賦予滿足定理?xiàng)l件的x，y，z的值，得到自己喜愛的結(jié)論.

參考文獻(xiàn)

[1]趙強(qiáng)，董林.與三角形相關(guān)的一個(gè)代數(shù)不等式及其若干推論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2016，（3）.