遞推法在概率論解題中的應用分析

江蘇省張家港市張家港開放大學 陳海文

遞推法在概率論解題中的應用分析

江蘇省張家港市張家港開放大學 陳海文

新課改背景下，概率成為高中數(shù)學教學的新內(nèi)容，鑒于概率具有重要的理論性和實際性，在教學中占據(jù)重要位置。特別是在近年的高考中，有關(guān)概率、組合、排列的問題不斷增多并且問題類型不斷翻新。任何問題的解決，其方法非常重要，所以針對概率論解題中遞進法的實際運用進行分析，探究高效的解題方法，對于教學質(zhì)量以及學習效率的提高具有積極的推動作用。本文就概率論、遞推法等概念進行分析，結(jié)合實際問題研究遞推法在概率論問題解決過程中的實際應用，以期為相關(guān)問題的解決提供幫助。

遞推法；概率論；應用

在一些概率問題解決的過程中數(shù)學思想的方法得到了充分應用，成為知識與能力之間轉(zhuǎn)換的橋梁，提高數(shù)學思想在概率解題過程中的正確運用的思想認識，同時也反映出學生學習的水平及解題能力。在數(shù)學諸多的思想方法中，遞推法在各個學科領(lǐng)域的應用比較廣泛。尤其是近年來，遞推法在概率類解題中的滲透成為教學的重點，同時也是新課標與高考的基本要求，因此分析研究概率解題中遞推法的實際應用，應當引起教師及學生的高度重視，更是提高解題能力與解題質(zhì)量的重要手段。

一、定義解析

1.遞推法的含義

遞推法是以具體問題為根據(jù)，進行遞推關(guān)系的構(gòu)建，然后利用遞推關(guān)系實現(xiàn)問題的求解，是將若干個可重復的簡單運算應用到對復雜問題進行描述的一種方法。其中有關(guān)正整數(shù)的參變量特殊關(guān)系可通過遞推關(guān)系來表示，這是個以指定的初值為出發(fā)點，然后運用遞推關(guān)系進行逐步計算，最終獲得需要的結(jié)果。計算機序列運算中，遞推法是比較常用的一種方法。序列當中的每項的計算都是利用一定規(guī)律來實施，指定項的值是通過對位于計算機前面的項的運算得出。將龐大、復雜的計算過程變得簡單化的重復運算，這種方法將計算機可無限運作與快速的優(yōu)勢充分發(fā)揮出來。

遞推法的解題過程一般包括：按照次序?qū)现械淖钤?、最初若干問題進行研究；按照次序?qū)现写嬖趩栴}之間互為轉(zhuǎn)換的規(guī)律，也就是推進關(guān)系進行探尋，最終逐次轉(zhuǎn)化問題為簡單的、底層的，并且能夠解決或者已經(jīng)解決的問題。

2.概率的含義

對于隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律進行研究的一個數(shù)學分支稱為概率。這里的隨機現(xiàn)象泛指決定現(xiàn)象相對而言。而決定性現(xiàn)象是指一定條件下，一種結(jié)果將會必然產(chǎn)生的現(xiàn)象。比如，標準氣壓下，當純水溫度上升至100℃時，必然會出現(xiàn)沸騰現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象通常指基本條件確定的狀況下，每次的觀察與實驗前，對于哪種現(xiàn)象的發(fā)展不能肯定，具有很大的偶然性。在隨機試驗中，事件的發(fā)生雖然具有偶然性，但是相同條件下的反復進行的大量隨機試驗所呈現(xiàn)出來的數(shù)字規(guī)律往往是非常明顯的。

概率思想不僅在學科教育方面應用比較廣泛，同時在其他領(lǐng)域也得到了部分應用。在學科教育方面，概率思想主要組成部分有計算以及證明，其中舉例論證以及遞推解題法的應用比較廣泛，將解題過程中不能簡單、快捷解決的問題，在概率解題思想的引導下，能夠使計算步驟得到簡化，計算次數(shù)大幅減少，節(jié)約解題時間，同時又使計算或者證明的準確性得到保障，使學生的基礎(chǔ)知識得到鞏固，解題的實際能力大大提高。

二、遞推法在概率論解題中的實際應用

通過初始值的遞推，繼而獲取必要的結(jié)果。對于離散樣本，尤其是古典的概率類型的問題，都是些針對有關(guān)于自然數(shù)的事件概率而進行的研究。目前，在中小學教學階段，有關(guān)自然數(shù)的概率問題的解決，很好地運用到了遞推解題方法，能夠充分體現(xiàn)出遞推法解題具有很好簡潔性，其中有些問題唯有適合用遞推法給予解決。

例題一：對于有N個點組成的任意一個網(wǎng)絡圖，其中的任意一點都相連于N-1個點，從任意點A開始出發(fā)，在等概情況下，每次選擇一條途徑達到另一點，經(jīng)過f步后返回A點的概率是多少?

方法一：從A點開始走f步共有（N-1）f次不同的路徑，假設返回A點的路徑有af條，那么從A點開始走f-1步的路徑有（N-1）f-1條，回到A點的路徑有（a）f-1條，剩下的每種在向前走一步的情況下即可到達點A，因此，則。

由此可以得出從A點出發(fā)，經(jīng)過f步后返回A點的概率為

方法二：假設由A點開始經(jīng)過f以后返回A點的概率為Pf，則，P0=1,P1=0，第f-1步?jīng)]有在A點上，在另外的N-1個任意點有的概率，由第f步返回A點有，則

以上兩種解題方法均為遞推法。

例題二：將一枚硬幣在連續(xù)投擲n次后，求在硬幣投擲過程中，出現(xiàn)兩次連續(xù)正面向上的概率為多少？

解題思路;針對這樣的問題，如果采取直接下手解決，難度比較大。這種情況下可采用間接的解題方法進行思考，把不發(fā)生連續(xù)兩次正面向上的概率設定為0，以此為突破口尋找問題解決的途徑。

將不發(fā)生連續(xù)兩次正面向上的概率設定為Pn，那么，當P1=1時，P2=3/4，如果n大于2，則會有以下兩種情形產(chǎn)生。

第一，如果第一次投擲時是背面向上，那么在以后的n-1次投擲過程中，將會有Pn-1的概率不發(fā)生連續(xù)兩次投擲正面向上。

第二，如果第一次投擲時是正面向上，為了避免連續(xù)兩次投擲正面向上的情況發(fā)生，則第二次投擲則必須是反面向上，剩下的n-2次投擲將會有Pn-2的概率不發(fā)生連續(xù)兩次正面向上。

例題三：甲、乙兩人玩擲骰子游戲，游戲要求為：當所投擲的骰子點數(shù)是3的倍數(shù)，擲骰子的一方可以繼續(xù)投擲；如果所投擲的骰子點數(shù)非3的倍數(shù)，則由另一人開始投擲，假如第一次甲開始投擲，求在第n次時仍舊由甲投擲的概率為多少？

連續(xù)兩次投擲骰子，其點數(shù)的和是3的倍數(shù)時，其概率P值是12/36=1/3，在點數(shù)和不是3的倍數(shù)時的概率是1-1/3=2/3，就針對第n次投擲由甲來操作，其中包括甲投擲的第n-1次投擲。而甲繼續(xù)在第n次投擲以及乙投擲第n-1次，甲投擲第n-1次這一事件，兩個事件的關(guān)系是相互駁斥的，甲投擲第n次的概率是Pn-1，乙投擲概率則是1-Pn-1，因此，……顯而易見，P1=1，由上面的式子可得，因此，，進而可得，(n≥1，且n≤N)。

總之，遞推法在概率論教學實踐中的應用地位非常重要，由上述例子的解題過程不難看出，推進法能夠?qū)⒏怕收撍枷肟坍嫷馗又庇^，實現(xiàn)概率問題和直觀解題之間互為轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)抽象與形象思維的有效融合；遞推法的應用，使數(shù)量關(guān)系與空間的實際形式進行結(jié)合，來尋找、創(chuàng)新心的解題思路，確保問題的順利解決。只有對概率課的特性進行充分把握，有效實施遞推教學方法，最終促進教學效率，提高學生高效學習的效果。

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[2]劉國軍.“遞推法”在解答高中物理試題中的運用[J].中學物理：高中版，2015（11）：72-73.

[3]沈春林.遞推思想在概率問題中的有趣應用[J].數(shù)學通訊，2013（10）.