基于仿射跳擴散模型的利率衍生品定價

汪嘉骎

(廣西師范大學數學與統(tǒng)計學院，廣西桂林541004)

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基于仿射跳擴散模型的利率衍生品定價

汪嘉骎

，鄧國和

(廣西師范大學數學與統(tǒng)計學院，廣西桂林541004)

本文考慮短期利率滿足一類仿射跳擴散期限結構模型的利率衍生品定價。應用Fourier變換方法和遠期測度技術，獲到了零息票債券及基于零息票債券為標的資產的歐式債券期權價格的顯示解，并將此結果應用于付息債券期權和利率期權的定價。最后，利用數值實例分別分析了債券和零息票債券期權價格受利率模型中各主要參數的影響，以及期權的隱含波動率問題。數值結果表明，跳躍風險參數對利率衍生品價格和隱含波動率有顯著作用，這也驗證了仿射跳擴散的利率期限結構模型具有較好擬合實際的能力。

仿射跳擴散模型；利率期限結構；債券期權；Fourier變換；隱含波動率

0 引言

利率是金融市場中最基本和最重要的經濟變量之一，許多金融衍生工具(例如股票型期權、信用衍生品等)的定價和設計從根本上來說都依賴于利率的變化過程，金融理論與實際應用研究也離不開利率。利率模型(也稱利率期限結構模型)是利率衍生品定價和風險管理的重要工具，沒有利率理論模型，我們很難對許多實務問題做出合理的定價及尋找出理想的利率風險對沖策略，更無法進行利率產品的金融創(chuàng)新設計。因此，對它的研究一直是金融數學與計量金融理論的熱點和難點。近年來，學者和業(yè)界投資者觀察到利率市場上債券的收益率曲線(yield curve)和隱含波動率曲面(implied volatility surface)出現(xiàn)了比以往更復雜的變化特征。這表明需要引入更復雜、彈性更好的數學模型以描述和研究利率的運動及其衍生產品價格的波動。

現(xiàn)有的許多經典利率期限結構模型，例如Vasicek[1]模型、CIR[2]模型、Brennan和Schwartz[3]模型以及其他擴展的模型[4-8]均假設狀態(tài)變量(例如短期利率、長期利率水平、波動率或其他)連續(xù)運動，且服從各種框架的連續(xù)形式擴散過程。盡管擴散過程在統(tǒng)計上有著良好的特性，并且計算方便，但越來越多的實證研究表明純擴散過程并不完全適合描述金融狀態(tài)變量(因為金融數據往往表現(xiàn)出尖峰厚尾特點，正態(tài)分布很難描述這類實際現(xiàn)象)。例如Hamilton[9]，Das[10]，Johannes[11]，Piazzesi[12]，Andersen、Benzoni和Lund[13]，Jarrow、Li和Zhao[14]等的研究發(fā)現(xiàn)利率動態(tài)過程具有明顯的跳躍特征存在。Lin和Yeh[15]研究了債券市場,發(fā)現(xiàn)跳躍擴散過程更加適合于描述利率過程。在定價和對沖金融衍生品時,跳躍擴散模型尤為重要,若忽視跳躍風險部分,將會引起金融產品的定價和對沖風險。因此，在描述利率的動態(tài)過程中引入跳躍風險因素更為重要。

由于20世紀70年代西方各國放寬對利率的監(jiān)管，實行金融自由化政策，利率不確定性逐漸加劇,以致越來越多的金融機構和投資者面臨利率風險的沖擊。對沖和管理利率風險的有效工具——利率衍生品(interest rate derivatives)開始逐漸產生，并在市場上受到了歡迎。利率衍生品是一種損益以某種方式依賴于利率水平變化的金融創(chuàng)新工具，市場上交易的產品類型很多，交易規(guī)模龐大，債券期權(bond options)就是一類重要的利率衍生工具，其買賣的標的物是某一種債券(比如零息票債券、付息債券、違約債券等)。由于利率的動態(tài)變化，債券期權的定價比股票期權的定價更復雜。不同利率模型下的債券期權定價數學方法與計算也不盡相同。目前，關于債券期權的定價均是建立在利率滿足擴散過程驅動的期限結構模型,研究成果豐富(如文獻[16])，但在利率的跳擴散模型下研究較少。Ahn和Thompson[17]首次將CIR[2]模型擴展為帶有跳躍部分的平方根利率過程(記為JCIR模型),并應用線性化技術獲得了零息票債券的閉式解。Shirakawa[18]首次在利率跳擴散模型下開展債券期權定價研究，他們均假設短期利率具有有限個非隨機的跳躍振幅。后來，Baz和Das[19]在Vasicek[1]模型中加入跳躍部分擴展了純擴散利率過程(記為JVasicek模型)，并設定利率的跳躍振幅服從正態(tài)分布，應用文獻[17]的近似技術獲得了零息票債券價格。Das和Foresi[20]也擴展了Vasicek[1]模型,并允許利率的跳躍振幅服從雙指數分布,獲得了零息票債券及債券期權的價格。Das[21-22]、Finnerty[23]推廣了Hull-White[4]模型,并設定利率的跳躍振幅服從正態(tài)分布或其他分布，同樣地獲得了零息票債券及債券期權的價格。最近，Beliaeva[24]、Nawalkha[25]和Deng[26]等在利率的跳擴散模型下研究了美式債券期權的定價方法。上述研究的一個共同點是假設利率動態(tài)過程滿足某個特定的跳擴散模型，在實際應用過程中存在不足(比如，JVasicek模型可能導致利率出現(xiàn)負值，JCIR模型僅限于利率的正向跳躍風險，等)。為了更加全面較準確地描述利率的動態(tài)行為特征，本文綜合上述利率的跳擴散模型，考慮一類更為廣泛的仿射跳擴散過程(此過程由Duffie等人[27]提出，在描述股價運動行為，及在股票型期權定價研究方面已有廣泛應用)驅動利率的動態(tài)行為(記為JCIR-Ex模型)，該模型不僅融合了JVasicek和JCIR跳擴散模型的優(yōu)點，也克服了這兩個模型的不足，并且還能突現(xiàn)利率波動率的時變特征。本文的主要貢獻為: 首先，利用仿射跳擴散過程的特點建立短期利率行為的動力學模型，該模型中利率的波動率受內部和外部因素的影響，且不同于JVasicek和JCIR跳擴散模型，并建立基于利率變量的任何歐式未定權益滿足的偏微分-積分方程，利用仿射結構特點，獲得零息票債券價格的顯示解。其次，應用Fourier反變換方法和遠期概率測度技術，研究歐式零息票債券期權的定價，并將結果應用于付息債券期權和利率期權的定價，分別獲得這些期權價格計算的顯示公式，為金融風險管理(如對沖策略的計算)提供便利。最后，給出數值計算實例，分析該利率模型中跳躍風險因素對債券和債券期權價格的影響，以及債券期權的隱含波動率(即微笑現(xiàn)象)問題。

1 利率模型與債券價格

考慮一個無套利,無摩擦，且可連續(xù)進行交易的經濟體，交易有限期限為τ=[0，T*]，T*<∞。該經濟體中所有不確定性因素均定義在一個帶有信息濾波的給定完備概率空間(Ω，F(xiàn)，(Ft)t∈τ，Q)中，其中Q是風險中性概率測度,信息濾波(Ft)t∈τ為滿足通常條件的完備參考族。假定在風險中性概率Q下，瞬時利率rt的運動行為滿足下列仿射跳擴散模型：

(1)

為方便起見，記模型(1)為JCIR-Ex模型。該模型包括了現(xiàn)有一些應用廣泛的瞬時利率模型：(ⅰ)如果模型中參數α=β=λ=0，則式(1)變?yōu)榇_定性利率變動模型。(ⅱ)如果模型中參數α=λ=0且β>0，則式(1)變?yōu)閂asicek[1]模型。(ⅲ)如果模型中參數β=λ=0且α>0，則式(1)變?yōu)镃IR[2]模型。(ⅳ)當參數α=0且β>0，則式(1)變?yōu)镴Vasicek模型[19]；當參數α>0且β=0，則式(1)變?yōu)镴CIR模型[17]。

按照風險中性定價原理，該經濟體中所有交易證券的折現(xiàn)過程是(Ω,Ft)-鞅過程。記該經濟體中到期期限為T

(2)

F(T,r,T)=h(r)，

(3)

其中微分算子L定義為：

下面給出零息票債券的定價。記零息票債券t≤T時刻價格為P(t,r,T)。顯然,零息票債券在到期日T時的收益等于1，即P(T,r,T)=1，亦即H(rT)=1。于是由式(2)可得

(4)

為了計算債券及其衍生品的價格，先給出引理如下。

引理1 設短期利率rt滿足模型(1)。于是，對任意滿足exp{zr}有界的z∈C，復Fourier變換：

(5)

具有顯示表達式exp{A(t,T,z)+B(t,T,z)rt}，其中：

(6)

(7)

比較狀態(tài)變量前的系數,進一步得到A(t,T,z)與B(t,T,z)分別滿足下列常微分方程：

(8)

(9)

現(xiàn)求解方程(9)。分兩種情形：α≠0和α≡0考慮。

(10)

利用Riccati方程理論，易得D具有表達式

(11)

將式(11)回代得B的表達式。

由于方程(9)中含有積分項，為了獲得系數A(t，T，z)的封閉式解，這里采用文獻[17]或文獻[19]中同樣的線性化技術近似方程(9)中的積分項，即應用2階Taylor展開積分項中的指數函數：

于是

現(xiàn)令z≡0，并記τ=T-t，則零息票債券的價格為：

引理2T-期零息票債券t時刻的價格，P(t,r,t+τ),t

P(t,r,t+τ)=exp{a(τ)+b(τ)rt},

(12)

其中a(τ)=A(t,T,0)，b(τ)=B(t,T,0)。

2 債券期權定價

本節(jié)考慮標的資產為零息票債券的歐式未定權益的定價。首先給出歐式零息票債券看漲期權的價格,再應用歐式零息票債券看漲期權的價格研究付息債券期權及利率期權的定價。記歐式零息票債券看漲期權的到期日為T1(

(13)

并且有：

定理1 設短期利率rt滿足模型(1)，則

Ce(t,r,T1,T,K)=P(t,r,T)Π1-KP(t,r,T1)Π2,

(14)

φ1(u)=ea(T-T1)-a(τ)-b(τ)rΨ(t,T1,r,(iu+1)b(T-T1)),

φ2(u)=e-a(T1-t)-b(T1-t)rΨ(t,T1,r,iu,b(T-T1)),

R[·]表示[·]的實部，i是虛數單位。

證明 由式(13)可知

(15)

(16)

容易驗證 測度Q1和Q2都是概率測度Q的等價鞅概率測度。因此，在新的概率測度Q1和Q2下，式(15)可寫成：

Ce(t,r,T1,T,K)=P(t,r,T1)Q1(lnP(T1,r,T)≥lnK)-

KP(t,r,T)Q2(lnP(T1,r,T)≥lnK)=P(t,r,T1)Π1-KP(t,r,T)Π2,

(17)

其中Πj=Qj(lnP(T1,r,T)≥lnK)=Qj(b(T-T1)rT1≥K*)，j=1，2，且應用Fourier反變換法，有

(18)

這里φj(u)，j=1，2是隨機變量b(T-T1)rT1分別在Q1和Q2下的特征函數。

下面計算在原概率測度Q下的特征函數φj(u)，j=1,2。由式(16)得：

ea(T1,T)-a(t,T)-b(t,T)rΨ(t,T1,r,(iu+1)b(T-T1))

(19)

以及

e-a(T1-t)-b(T1-t)rΨ(t,T1,r,iub(T-T1))。

(20)

類似容易證明，執(zhí)行價格為K，到期日為T1的歐式零息票債券看跌期權t時刻的價格為：

下面將歐式零息票期權定價的結果應用于付息債券期權和利率期權的定價。

(21)

注2 式(21)表明付息債券看漲期權的價格是由零息票債券看漲期權價格的加權總和。

證明 因為

(22)

(23)

再由定理1得證。證畢。

(Ⅱ)利率期權(interest-rateoption)是一種與利率變化掛鉤的期權，到期時以現(xiàn)金或者與利率相關的合約(如利率期貨、遠期利率或者政府債券)進行結算。最早在場外市場交易的利率期權是1985年推出的利率上限期權(interest-rateCaps)。目前，利率期權除利率上限期權合約外，還有利率下限期權(interest-rateFloors)，利率雙限期權(interest-rateCollars)，利率互換期權(Swaps)等。這里僅給出利率下限期權的定價，其他產品的定價可類似證明。利率下限期權是由一系列的利率看跌期權(Floorlet)組合而成，而利率看跌期權的收益依賴于在時間t(

(24)

定理3 在短期利率rt滿足模型(1)下，則歐式利率看跌期權t(t

(25)

證明 由式(24)及條件期望的迭代性質知：

(26)

(27)

注3 由定理3，很容易推導歐式利率上限期權(CapOption)和利率互換期權(Swaps)的定價公式分別為：

3 數值結果與分析

本節(jié)應用數值計算實例考察仿射跳擴散利率模型(1)下債券及其標準歐式看漲期權的價格影響因素。首先，分析債券價格分別在JVasicek與JCIR-Ex利率期限結構模型下對跳躍風險因素的性能表現(xiàn),并分別與純擴散過程的Vasicek和CIR利率期限結構模型的結果進行比較。其次，分別在JVasicek與JCIR-Ex模型下研究歐式零息票債券看漲期權的價格受參數影響的變動情況。最后,討論債券期權的隱含波動率問題。數值計算選用Matlab 8.0軟件編程在Intel(R) Core(TM) i5-2500 CPU 3.30 GHz，4 GB RAM的聯(lián)想計算機上實現(xiàn)。模型(1)部分參數值來源于文獻[21](見表1)。

表1 模型(1)中基本參數值選擇

3.1 跳躍風險參數對債券價格的影響

圖1 純擴散模型與跳擴散模型下零息票債券價格之比較Fig.1 Comparison of bond price from the Pure-diffusion and Jump-diffusion model

圖1考察了到期期限為10年的零息票債券價格分別在純擴散和跳擴散的利率期限結構模型下的變動情況。圖1(a)選取參數α=0,β=0.002 5時比較了Vasicek利率模型與帶跳的Vasicek(即JVasicek)利率模型的債券價格。圖1(b)選取參數α=0.04,β=0或β≠0時比較了CIR利率模型與帶跳的CIR(即JCIR-Ex)利率模型的債券價格。計算結果表明：債券價格是期限值的減函數。另外，隨著期限的增加，JVasicek模型下的債券價格越來越高于純擴散過程驅動的Vasicek模型,這說明跳躍風險對債券價格有正向影響，但JCIR或JCR-Ex模型下的債券價格卻越來越低于純擴散過程驅動的CIR模型,跳躍風險對債券價格的作用是反向的。這是因為Vasicek利率模型服從正態(tài)分布，隨著期限的增加且跳躍風險的存在,導致利率變小的機會增大,而CIR利率模型是服從卡方分布的,期限的增加與跳躍風險的存在,促使利率值快速增加。

表2 債券價格對利率初始值及跳躍強度的依賴性

表2研究了利率初始值r0及跳躍強度λ對債券價格影響。顯然，在模型其他參數值不變的情形下，債券價格隨著利率初始值的增加而減少。此外,對于JVasicek利率模型債券價格隨著跳躍強度λ值減少而減少,且快速收斂到Vasicek模型時的債券價格,但對于JCIR-Ex利率模型債券價格則隨著λ的減少快速增大收斂到CIR模型的價格。這表明了跳躍強度參數λ對債券價格有顯著的影響,且對Vasicek與CIR利率期限結構模型的債券收益有不同的影響效果。與此同時,在模型參數值相同情形下,JVasicek模型下的債券價格比JCIR-Ex模型下的債券價格要大得多，兩者相差近25倍，這是因為JVasicek模型下的利率值要小。

圖2 JVasicek模型與JCIR-Ex模型下參數μJ和σJ對零息票債券價格的影響Fig.2 Sensitivities of both JVasicek model and JCIR-Ex model for the bond price with μJ and σJ

圖2考查了債券價格依賴利率跳躍幅度參數μJ和σJ的敏感性。圖2(a)、(b)分別繪制了JVasicek模型與JCIR-Ex模型下債券價格隨參數μJ和σJ的變化情況。從圖示可以看出,跳擴散模型下的債券價格均是利率跳躍幅度參數σJ的減函數，但參數μJ在JVasicek模型與JCIR-Ex模型下對債券價格的影響是反向的。

3.2 期權價格的參數依賴性

表3分別考查了JVasicek模型和JCIR-Ex模型中的跳躍風險參數λ、μJ和σJ對債券期權價格的影響,計算基本參數值見表1，這里選擇K=0.5,T1=1 a。從表中可以看出，歐式零息票債券看漲期權價格是利率跳躍振幅的期望μJ的減函數。對于JVasicek利率模型，債券期權的價格是利率跳躍振幅的方差σJ的增函數，但對于JCIR-Ex利率模型，結果卻相反。另外，一個有趣的發(fā)現(xiàn)：在JVasicek模型與JCIR-Ex模型中，利率跳躍振幅的期望μJ大小會影響跳躍強度參數λ對債券期權價格的作用效果。例如，在JVasicek模型中，當μJ=0時，債券期權價格是跳躍強度參數λ的增函數,但μJ≠0時，債券期權價格反而是跳躍強度參數λ的減函數。另一方面，在JCIR-Ex模型中，債券期權價格均是跳躍強度參數λ的減函數,且不受μJ值的影響。

表3 跳躍風險參數對零息債券看漲期權價格的影響

表4 JVasicek模型與JCIR-Ex模型下不同T1、r0和K值的零息票債券歐式看漲期權價格

表4考查了標準歐式零息票債券看漲期權在JVasicek模型與JCIR-Ex模型下隨著T1、r0和K值變化時的價格。模型(1)計算的基本參數值見表1,選取利率初始值r0=0.04,0.06,0.08，期權到期日T1=1,3,5 a,以及期權執(zhí)行價K=0.5,0.7,0.9,1.0分別計算,結果見表4。從表中可以看出,零息票債券看漲期權價格隨著執(zhí)行價格K的增大(從價內期權變化到價外期權)而減少,這與股票型看漲期權的變化趨勢一致，并且期權價格是T1的增函數。另外,當短期利率滿足JVasicek模型時,零息票債券看漲期權價格隨著r0的增加而變?。蝗欢?，當短期利率滿足JCIR-Ex模型時,零息票債券看漲期權價格卻隨著r0的增加而變大。此外，JVasicek模型與JCIR-Ex模型下的標準歐式零息票債券看漲期權價格相差很大,這表明JCIR-Ex模型比JVasicek模型在刻畫債券價格方面具有更小的波動或低債券價格(與表2、圖2的分析結果一致)。

3.3 債券期權的隱含波動率

金融市場通常以隱含波動率(implied volatility)的方式來引用看漲或看跌期權的價格變化。實際上，金融市場交易的歐式看漲期權的隱含波動率曲面依賴于期權敲定價格K和到期時間T。對相同的到期時間T，表現(xiàn)出波動率微笑/傾斜(smile/skew)特性，而且隨著時間演變，隱含波動率的曲面也在變動。隱含波動率問題已引起了業(yè)界和學術界對期權定價模型的推廣。下面分析仿射跳擴散利率模型下債券期權的隱含波動率問題，數值計算參數見表1。圖3(a)和(b)分別刻畫了JVasicek模型與JCIR-Ex模型下期權的隱含波動率變化。從隱含波動率的微笑曲面可以看出,仿射跳擴散的利率期限結構模型具有較好擬合實際的能力，這與文獻[10，15]的實證結果一致。另外，從圖示還可以發(fā)現(xiàn)：①JVasicek模型下債券期權的隱含波動率要比JCIR-Ex模型下的小很多,且表現(xiàn)出較平坦；②期權到期期限短的隱含波動率的微笑現(xiàn)象比較顯著；③JVasicek模型下債券期權的隱含波動率是期權到期日T1的減函數,而JCIR-Ex模型下債券期權的隱含波動率卻是期權到期日T1的增函數。

圖3 仿射跳擴散模型下債券期權的隱含波動率Fig.3 Implied volatilities of bond options in affine jump-diffusion model

圖3(c)和(d)在JCIR-Ex模型下分別考察跳躍強度參數λ=0及跳躍幅度的波動率σJ=0.02時的隱含波動率曲面。通過比較圖3(b)和(c)可以發(fā)現(xiàn)，跳躍強度參數對債券期權的隱含波動率影響很大，特別是在λ=0時(無跳躍風險)債券期權的隱含波動率微笑現(xiàn)象顯著，這也表明引入跳躍風險因素來捕捉市場利率的突發(fā)信息到達引發(fā)的利率劇烈波動是合理可行的。另外，圖3(b)和(d)表明JCIR-Ex模型下利率跳躍幅度的波動率對債券期權的隱含波動率的影響顯著，大波動率導致隱含波動率曲面更傾斜。

4 結論

本文在一類仿射跳擴散利率期限結構模型下應用Fourier變換方法和遠期測度技術獲得了債券及債券期權的價格顯示解,并應用數值實例分析了模型中跳躍風險參數對債券或期權價格的影響。數值計算結果表明，跳擴散過程驅動的利率期限結構模型對利率衍生品的影響具有不同作用,也說明在連續(xù)的純擴散模型中引入不連續(xù)運動的跳躍風險因素是必須的,且具有較好的擬合實際能力。本文僅在利率滿足單因素情形下研究利率衍生品的定價,模型還可以進一步擴展到多因素情形的跳擴散過程(如文獻[27])，以及研究其他利率衍生品的定價，這將是未來研究重點。

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(責任編輯 黃 勇)

Pricing of Interest Rate Derivatives Based on Affine Jump Diffusion Model

WANG Jiaqin, DENG Guohe

(School of Mathematics and Statistics，Guangxi Normal University, Guilin Guangxi 541004, China)

The pricing of interest rate derivatives is considered under an affine jump diffusion model. Using the Fourier transform method and the forward measure change technique，the closed explicit formulas for both the price of the default-free，zero-coupon bond and the value of the European options on the default-free，zero-coupon bond are obtained. Furthermore，pricing problems on both the European option on the coupon bond and the interest rate options are extended in this model by applying these explicit formulas above. Finally，the impacts of the key parameters in this model on prices for both the bond and bond option，and implied volatilities of bond options are analyzed by numerical examples，respectively. Numerical results show that the jump risks have more remarkable effects on the interest rate derivative prices and implied volatility，which show that the affine jump diffusion term structure model of the interest rate fits reality well.

affine jump diffusion model；term structure of interest rate；bond options；Fourier transform；implied volatility.

10.16088/j.issn.1001-6600.2016.03.011

2016-03-01

國家自然科學基金資助項目(11461008)；教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金資助項目(13YJA910003)；廣西自然科學基金資助項目(2013GXNSFAA019005)；廣西高等學?？茖W技術研究重點項目(2013ZD010)

鄧國和(1969—)，男，湖南桂陽人，廣西師范大學教授，博士. E-mail:dengguohe@mailbox.gxnu.edu.cn

O211.9

A

1001-6600(2016)03-0074-12