隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程破產(chǎn)時(shí)間的Asmussen算法

溫玉卓，唐勝達(dá)，鄧國和

(1．廣西師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，廣西桂林541004；2．廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004)

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隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程破產(chǎn)時(shí)間的Asmussen算法

溫玉卓1，唐勝達(dá)2，鄧國和2

(1．廣西師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，廣西桂林541004；2．廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004)

本文提出并建立了隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)過程，在索賠服從PH分布下，本文將Asmussen方法推廣應(yīng)用于隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)過程，利用隨機(jī)流體隊(duì)列理論，給出了這一風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)時(shí)間的Laplace-stieltjes 變換(LST)的表示式、最終破產(chǎn)概率以及破產(chǎn)赤字分布，最后本文給出一個(gè)數(shù)值實(shí)例來說明相關(guān)結(jié)論的計(jì)算。

風(fēng)險(xiǎn)過程；破產(chǎn)時(shí)間；隨機(jī)流體隊(duì)列；相關(guān)多險(xiǎn)種

隨著保險(xiǎn)公司經(jīng)營規(guī)模的不斷擴(kuò)大，險(xiǎn)種多元化已成為一大趨勢，單一險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型已經(jīng)不能滿足保險(xiǎn)公司度量多重風(fēng)險(xiǎn)的要求，因此，雙險(xiǎn)種甚至多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程更符合保險(xiǎn)公司實(shí)際，對保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)度量也更為準(zhǔn)確。很多學(xué)者曾對經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型在險(xiǎn)種方面作了擴(kuò)展[1-4]，但這些文獻(xiàn)均忽略了隨機(jī)環(huán)境對保險(xiǎn)公司運(yùn)營的影響，沒有利用風(fēng)險(xiǎn)過程來探討與破產(chǎn)時(shí)間相關(guān)的一些性能指標(biāo)量。文獻(xiàn)[5]只是考慮了隨機(jī)環(huán)境下的單一險(xiǎn)種問題，而沒有考慮多險(xiǎn)種間的相互影響，基于此，本文在已有研究的基礎(chǔ)上，提出并建立在隨機(jī)環(huán)境影響下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，同時(shí)將Asmussen算法推廣應(yīng)用于隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程中，由此討論這類相關(guān)多險(xiǎn)種的與破產(chǎn)時(shí)間相關(guān)的指標(biāo)，如破產(chǎn)時(shí)間的Laplace-stieltjes 變換(LST)、最終破產(chǎn)概率以及破產(chǎn)赤字等。

1 模型

本文首先建立隨機(jī)環(huán)境影響下相關(guān)多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型，為簡化表述，本文只考慮兩類相關(guān)險(xiǎn)種。對于兩類以上的相關(guān)險(xiǎn)種的建模與分析可由本文方法類推。

設(shè)有兩類險(xiǎn)種X(1)、X(2)，這兩類險(xiǎn)種相互關(guān)聯(lián)相互影響，當(dāng)其中一類險(xiǎn)種發(fā)生索賠時(shí)，可能同時(shí)誘發(fā)另一險(xiǎn)種發(fā)生索賠，即當(dāng)發(fā)生索賠時(shí)，可能出現(xiàn)3種情況：僅對X(1)進(jìn)行賠付；僅對X(2)進(jìn)行賠付；對X(1)和X(2)同時(shí)進(jìn)行賠付。這3種情況每次僅有一種情況發(fā)生，根據(jù)這一索賠特點(diǎn)，記X(3)=X(1)+X(2)為“虛構(gòu)險(xiǎn)種”，即當(dāng)發(fā)生索賠時(shí)，X(1)、X(2)、X(3)每次僅有一類險(xiǎn)種發(fā)生賠付，從而，建立如下風(fēng)險(xiǎn)過程：

U(t)=u+ct-St，

(1)

于是我們稱上述定義的風(fēng)險(xiǎn)過程(1)為隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程。

本文總是假定風(fēng)險(xiǎn)過程⑴滿足正的安全負(fù)荷條件：

(2)

在本節(jié)中，我們建立了外界隨機(jī)因素影響下的相關(guān)多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型，選擇合適的Q(k)，k=1，2，3及PH分布形式，減弱某些相關(guān)程度條件，風(fēng)險(xiǎn)過程(1)可簡化為經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型及其他風(fēng)險(xiǎn)模型的各種形式[7-9]。 本文提出的模型類似于文獻(xiàn)[5]，本文對此模型做了如下推進(jìn)：文獻(xiàn)[5]中考慮的是單一險(xiǎn)種，本文考慮的是多險(xiǎn)種，同時(shí)允許險(xiǎn)種間存在相關(guān)性。在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)過程的性能分析時(shí)的方法也各不相同。下面，將對上述隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程(1)進(jìn)行深入分析。

2 主要結(jié)果

圖1 風(fēng)險(xiǎn)過程的樣本路徑與對應(yīng)的隨機(jī)流體隊(duì)列的樣本路徑Fig.1 Sample paths of the risk process and the corresponding SFQ

風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)指標(biāo)量求解的一般分析方法是通過風(fēng)險(xiǎn)過程的更新特點(diǎn)推導(dǎo)其滿足的微分-積分方程，通過求解方程得到有關(guān)破產(chǎn)的性能指標(biāo)，在這個(gè)方法中，特征方程的特征根求解十分重要，這個(gè)方法的主要缺點(diǎn)是特征根的求解具有不穩(wěn)定性，從而導(dǎo)致它對整個(gè)運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生很大影響。

隨機(jī)流體隊(duì)列模型(stochastic fluid queue， SFQ)是目前研究十分活躍的領(lǐng)域，它已被成功應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)通訊、柔性制造、供應(yīng)鏈、火災(zāi)防控、風(fēng)險(xiǎn)理論等領(lǐng)域。Asmussen[10]于1995年首次采用隨機(jī)流體隊(duì)列來分析經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)，Badescu[11-12]、Ramaswami[13]等將這一方法推廣應(yīng)用。采用隨機(jī)流體隊(duì)列理論來分析風(fēng)險(xiǎn)過程，回避了特征方程的求解不穩(wěn)定性問題，通過隨機(jī)流體隊(duì)列模型與擬生滅過程的相似性，可直觀地分析求解風(fēng)險(xiǎn)過程的性能指標(biāo)量。同時(shí)，隨機(jī)流體隊(duì)列模型的求解也具有收斂速度快的特點(diǎn)[14]。因此，隨機(jī)流體隊(duì)列理論成為分析風(fēng)險(xiǎn)過程的有效手段之一。在本文中，我們將Asmussen的這一方法推廣應(yīng)用于隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程(1)中。為此，我們先給出破產(chǎn)時(shí)間的定義。

定義1τ=inf{t≥0，U(t)≤0}，我們稱τ為風(fēng)險(xiǎn)過程(1)的破產(chǎn)時(shí)刻， 若對任意t，都有U(t)>0，則令τ=+∞。

定義破產(chǎn)時(shí)刻τ的分布函數(shù)為：

Rij(u，x)=P{τ≤t，J(τ)=j|J(0)=i，U(0)=u}。

為方便記述，我們引入下列符號：

令

Q- +=em?Im?b(·)；Q- -=Im?Im?B(·)。

根據(jù)隨機(jī)流體隊(duì)列理論，我們有如下結(jié)論：

(3)

(4)

下面定義首達(dá)時(shí)(firstpassagetime，F(xiàn)PT)：

θ=inf{t>0，V(t)=u|V(0)=u}，

χ=inf{t>0，V(t)=0|V(0)=u}，

其中：θ表示初始水平為u的隨機(jī)流體隊(duì)列首次回到初始水平u的時(shí)間，顯然，θ與流體隊(duì)列的初始水平無關(guān)；χ表示初始水平為u的隨機(jī)流體隊(duì)列首次達(dá)到水平0的時(shí)間。記θ與χ相應(yīng)的分布函數(shù)為：

；

注：1.i，j∈Em；l，v∈En；k=1，2，3。

(5)

文獻(xiàn)[14]給出了Γ(x)可由如下Riccati方程求得：

下面分析隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程(1)的破產(chǎn)時(shí)刻。如圖2所示，θ與χ有如下關(guān)系：

(6)

我們將首達(dá)時(shí)χ分成兩部分，即水平過程從初始水平u出發(fā)，再次回到水平u，然后水平過程從水平χ出發(fā)，最終達(dá)到水平0，于是有：

將上式改寫成矩陣形式，注意到式(5)，定理即為所證。證畢。

由以上證明可以看出，隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程(1)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)流體隊(duì)列是證明的關(guān)鍵，同時(shí)式(6)建立了風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)時(shí)間與隨機(jī)流體隊(duì)列首達(dá)時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系，從而使得證明成為可能。在定理1中，令s=0，則有如下結(jié)論：

推論1 設(shè)給定初始盈余u及初始環(huán)境狀態(tài)，則隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程(1)的最終破產(chǎn)概率為：

(7)

同時(shí)，根據(jù)PH分布的性質(zhì)，我們可以推得如下結(jié)論：

3 數(shù)值實(shí)例

為了說明本文的理論結(jié)果，下面給出一數(shù)值實(shí)例：考慮隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程，設(shè)背景過程的狀態(tài)空間Em={1，2}，其中1表示高風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，2表示低風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，背景過程對應(yīng)轉(zhuǎn)移率矩陣分別設(shè)為：

圖2 τ與χ的對應(yīng)關(guān)系Fig.2 Relationship between τ and χ

圖3 兩狀態(tài)隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種的破產(chǎn)時(shí)間的概率密度曲線。Fig.3 Density probability function of ruin time of the dependent multi-type risk process in two-state stochastic environment

4 結(jié)論

本文提出并建立了在隨機(jī)環(huán)境下相關(guān)多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)過程，即一類由Markov隨機(jī)環(huán)境過程同時(shí)影響索賠大小和頻率，且險(xiǎn)種間存在關(guān)聯(lián)性的風(fēng)險(xiǎn)過程，在索賠服從PH分布情形下，將這一風(fēng)險(xiǎn)過程轉(zhuǎn)化為隨機(jī)流體隊(duì)列模型，采用隨機(jī)流體隊(duì)列理論，給出了這一風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)時(shí)間的LST變換的表示式，給出了最終破產(chǎn)概率以及破產(chǎn)赤字分布。 本文的結(jié)論具有實(shí)際可操作性，這些結(jié)論對于保險(xiǎn)公司分析外界隨機(jī)環(huán)境因素及險(xiǎn)種間的關(guān)聯(lián)性對保險(xiǎn)業(yè)務(wù)影響提供了理論基礎(chǔ)，對保險(xiǎn)人規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，穩(wěn)健經(jīng)營具有十分重要的作用。

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(責(zé)任編輯 黃 勇)

Asmussen’s Approach to Ruin Time of the Dependent Multi-type Risk Processes in a Stochastic Environment

WEN Yuzhuo1，TANG Shengda2，DENG Guohe2

(1.College of Economics and Management， Guangxi Normal University， Guilin Guangxi 541004， China; 2.College of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University， Guilin Guangxi 541004， China)

In this paper， a dependent multi-type risk process with a PH claim distribution in a stochastic environment is proposed. Using Asmussen’s method， this risk process is transformed into stochastic fluid queues (SFQ). By the theory of the SFQ， the Laplace-stieltjes transform (LST) of the ruin time， the ultimate ruin， and the distribution of the deficit are obtained. Finally， a numerical example is given to illustrate the theoretical results.

risk theory; ruin time; stochastic fluid queue; dependent multiple-type insurance

10.16088/j.issn.1001-6600.2016.03.010

2016-01-18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461008)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(13YJA910003)；廣西人文社會(huì)科學(xué)發(fā)展研究中心青年專項(xiàng)項(xiàng)目(QNYB13016)；廣西人文社會(huì)科學(xué)研究中心“珠江-西江智慧經(jīng)濟(jì)帶研究團(tuán)隊(duì)”階段性成果課題

鄧國和(1969—)，男，湖南桂陽人，廣西師范大學(xué)教授，博士。E-mail: dengguohe@mailbox.gxnu.edu.cn

O211.9

A

1001-6600(2016)03-0068-06