基于Stochastic Kriging模型的不確定性序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

王 波， GEA Haechang， 白俊強(qiáng)， 張玉東， 宮 建， 張衛(wèi)民

(1. 中國(guó)航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院 研發(fā)中心， 北京 100074； 2. 新澤西州立大學(xué) 機(jī)械宇航學(xué)院，新澤西 Piscataway， 08854； 3. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 陜西 西安 710072)

基于Stochastic Kriging模型的不確定性序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

王 波1， GEA Haechang2， 白俊強(qiáng)3， 張玉東1， 宮 建1， 張衛(wèi)民1

(1. 中國(guó)航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院 研發(fā)中心， 北京 100074； 2. 新澤西州立大學(xué) 機(jī)械宇航學(xué)院，新澤西 Piscataway， 08854； 3. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 陜西 西安 710072)

不確定性研究中需要計(jì)算大量重復(fù)樣本，這無疑對(duì)計(jì)算量較大的數(shù)值模擬提出了巨大的挑戰(zhàn).通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法可以有效地減少不確定性研究中的計(jì)算量，然而，目前考慮不確定性的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法研究大多仍專注于傳統(tǒng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.針對(duì)這一問題，為了通過更為合理的計(jì)算資源分配得到更精準(zhǔn)的不確定性評(píng)估，基于有限樣本的Stochastic Kriging模型提出了針對(duì)不確定性問題的三階段序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.首先，通過特定位置的采樣對(duì)IMSE進(jìn)行簡(jiǎn)化，構(gòu)建了預(yù)選步進(jìn)信息選取策略，通過預(yù)選增量樣本總個(gè)數(shù)以及各取樣位置處的分布信息，達(dá)到隨機(jī)代理模型目標(biāo)精度要求；同時(shí)，基于IMSE構(gòu)建了基于步進(jìn)信息的單輪選點(diǎn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，以同時(shí)考慮設(shè)計(jì)變量的取樣位置及其分布信息.由算例與傳統(tǒng)方法的對(duì)比分析可知，所建立方法通過等量的采樣得到了精度更高的隨機(jī)代理模型，驗(yàn)證了其在不確定性問題中的可行性和優(yōu)勢(shì).

試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法； 不確定性； 代理模型； 均方差積分法； 序貫設(shè)計(jì)

在科學(xué)研究和工程技術(shù)中，幾乎所有的變量和參數(shù)都是非精確、非完全的，幾乎所有問題中都包含著不確定性，例如大氣狀態(tài)的擾動(dòng)、機(jī)械的制造誤差、主觀判斷的經(jīng)驗(yàn)偏差等都是不確定性的表現(xiàn).近年來，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展，為了使設(shè)計(jì)結(jié)果更具可靠性和穩(wěn)健性，基于數(shù)值模擬的不確定性研究越來越多地引起各界關(guān)注[1-5].然而，在很多數(shù)值模擬的研究中，即使對(duì)控制方程單狀態(tài)的解算都需要消耗較多的計(jì)算資源，毫無疑問，對(duì)于需要大量重復(fù)采樣的不確定性研究而言，計(jì)算量更是難以承受.

由于代理模型可以通過有限次采樣得到整個(gè)空間可靠的響應(yīng)信息，因此其在計(jì)算量較大的數(shù)值模擬研究中已被廣泛應(yīng)用.目前應(yīng)用較多的是確定性(deterministic)代理模型[6]，其可以通過已知的確定性樣本為輸入輸出建立映射關(guān)系，進(jìn)而取代傳統(tǒng)的數(shù)值模擬，這類模型包括多項(xiàng)式響應(yīng)面、支持向量機(jī)、Kriging和RBF等.而隨機(jī)(stochastic)代理模型是專門針對(duì)不確定性問題進(jìn)行建模的.對(duì)于不確定性問題而言，由于隨機(jī)代理模型具有對(duì)問題針對(duì)性強(qiáng)、響應(yīng)可靠等優(yōu)勢(shì)[7]，在不確定性研究中受到了廣泛關(guān)注，其通過不確定性統(tǒng)計(jì)矩信息作為輸入建立不確定性輸入輸出間的映射關(guān)系，可直接對(duì)不確定性問題進(jìn)行分析處理.由于不確定性研究仍屬于新興領(lǐng)域，因此現(xiàn)有隨機(jī)代理模型理論相對(duì)于確定性代理模型而言還不多，其中包括多項(xiàng)式混沌方法[8]、Stochastic Kriging[9]和Stochastic RBF[10].Kriging理論具有數(shù)學(xué)背景強(qiáng)、插值非線性程度高的特點(diǎn)，其作為確定性代理模型理論是非常具有吸引力的，而Stochastic Kriging是Kriging理論在隨機(jī)空間的拓展.因此，本文將基于Stochastic Kriging對(duì)不確定性的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法展開研究.

試驗(yàn)設(shè)計(jì)可以有效地減少不確定性研究中的計(jì)算量，其目的是通過合理采樣，充分地運(yùn)用有限的計(jì)算資源.傳統(tǒng)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[11]，比如拉丁超立方法[12]、均勻分布法等，由于在資源配置過程中具有不依賴現(xiàn)有的樣本信息、充滿設(shè)計(jì)空間等優(yōu)勢(shì)，已被較多地用于不確定性初始采樣過程中.目前考慮不確定性的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法研究大多仍專注于這類傳統(tǒng)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，但對(duì)不確定性問題而言，理論上通過傳統(tǒng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則基本不可能得到最優(yōu)的試驗(yàn)分布[13-14].序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)已被證明是比傳統(tǒng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)更行之有效的方法[15-16]，相比傳統(tǒng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)而言，序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)在采樣過程中很大程度上利用了已有信息的價(jià)值，其不僅需要較少的計(jì)算資源，而且與真實(shí)試驗(yàn)分階段、階次產(chǎn)生樣本過程比較接近.因此，對(duì)不確定性問題開展序貫設(shè)計(jì)的研究具有重要意義.同時(shí)值得注意的是，要進(jìn)行序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)，就需要基于已知信息額外建立序貫采樣的判斷標(biāo)準(zhǔn)[17-18].

在基于代理模型進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的研究中，即使是很多確定性問題，其初始采樣都較為耗時(shí)，毫無疑問對(duì)于需要在各設(shè)計(jì)位置處進(jìn)行重復(fù)取樣的不確定性問題更是如此.因此，基于針對(duì)不確定性問題的隨機(jī)代理模型開發(fā)高效的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，以對(duì)有限的計(jì)算資源進(jìn)行合理分配，對(duì)不確定性問題的研究具有重要意義.在基于確定性Kriging模型的序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)研究中，就判斷標(biāo)準(zhǔn)而言，大部分工作都是根據(jù)Kriging估計(jì)的均方差來開展的.其中具有代表性的包括最大均方差法(MMSE)和均方差積分法(IMSE)[17].IMSE是理論上直接表示整個(gè)預(yù)測(cè)模型精度的概念，因而在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用.

目前在基于隨機(jī)代理模型開展的試驗(yàn)設(shè)計(jì)研究方面，大部分研究仍采用傳統(tǒng)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，對(duì)于序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的研究還不多，其中有代表性的工作包括：Van等通過Bootstrapping對(duì)估計(jì)方差進(jìn)行處理[14]，Ankenman等通過對(duì)IMSE優(yōu)化問題的求解得到了采樣處重復(fù)樣本個(gè)數(shù)的估計(jì)[19].然而，這些方法還未能同時(shí)對(duì)不確定性問題的取樣位置和重復(fù)樣本個(gè)數(shù)進(jìn)行處理.因此，本文在借鑒前人工作的基礎(chǔ)上，將基于作者前期建立的針對(duì)不確定性問題的有限樣本Stochastic Kriging模型[9]來開發(fā)序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，構(gòu)建序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，通過模型初始化、預(yù)選樣本選取和單輪最終選點(diǎn)準(zhǔn)則的構(gòu)建，對(duì)取樣位置和各位置上的重復(fù)樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行選取.

本文將分為如下4個(gè)部分進(jìn)行闡述：第1部分首先對(duì)Stochastic Kriging模型進(jìn)行簡(jiǎn)要敘述；第2部分將基于Stochastic Kriging模型提出分為3個(gè)階段的序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)與方法；第3部分將通過基礎(chǔ)算例驗(yàn)證所提出試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的有效性；最后，對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)和展望.

1 Stochastic Kriging簡(jiǎn)述

本小節(jié)將首先對(duì)Stochastic Kriging理論進(jìn)行簡(jiǎn)要闡述，詳細(xì)的推導(dǎo)可參見參考文獻(xiàn)[18].空間中的隨機(jī)樣本將通過如下形式表示：

(1)

各個(gè)位置處樣本的均值表示為

(2)

Stochastic Kriging方法采用最優(yōu)線性估計(jì)的形式進(jìn)行預(yù)測(cè)，以得到未知位置的均值：

(3)

(4)

而后通過一系列統(tǒng)計(jì)學(xué)推導(dǎo)，均方差MSE變?yōu)槿缦碌男问剑?/p>

(5)

隨后，Stochastic Kriging模型優(yōu)化問題的形式可表示為

(6)

通過對(duì)這一優(yōu)化問題的求解可得：

w=(CM+Cε)-1CM(x,·)，

(7)

w0=β-CM(x,·)T(CM+Cε)-1lnβ.

(8)

因此，均值和均方差也即：

(9)

(10)

2 序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

選取試驗(yàn)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是為了提高預(yù)測(cè)模型在整個(gè)設(shè)計(jì)域H內(nèi)的估計(jì)精度，所以本節(jié)將基于Stochastic Kriging模型構(gòu)建IMSE.該方法大致流程如下：

階段1:

1)通過拉丁超立方采樣(LHS)對(duì)設(shè)計(jì)變量的初始樣本{x1,x2,…,xn}進(jìn)行選擇，獲得充滿設(shè)計(jì)域的樣本位置；

2)考慮隨機(jī)因素的影響，在初始樣本處進(jìn)行n0次數(shù)值模擬，得到各初始位置n0個(gè)重復(fù)樣本；

3)基于所得采樣得到Stochastic Kriging模型不確定性相關(guān)性矩陣中的初始參數(shù).

階段2:

1)對(duì)每次序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)確定模型精度的目標(biāo)水平r；

2)基于LHS獲取額外采樣位置；

3)通過額外樣本構(gòu)建基于IMSE的試驗(yàn)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，以獲得增量樣本個(gè)數(shù)ΔN和采樣分布信息.

階段3:

1)建立基于IMSE的試驗(yàn)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，以同時(shí)對(duì)取樣位置和分布信息進(jìn)行考慮；

2)運(yùn)用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行尋優(yōu).

根據(jù)所得結(jié)果對(duì)Stochastic Kriging模型參數(shù)進(jìn)行更新，并循環(huán)返回到第2階段的試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，直至達(dá)到所需精度.

2.1 樣本增量的選取

本部分將針對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)階段2中獲取樣本增量個(gè)數(shù)的問題進(jìn)行研究.如階段1所述，通過初始樣本選取，已經(jīng)得到Stochastic Kriging模型中的參數(shù).假設(shè)要在額外k個(gè)位置進(jìn)行取樣，通過LHS選取X0={xn+1,xn+2,…,xn+k}.這時(shí)需要得到的是樣本增量數(shù)ΔN和樣本分布n={Nn+1,Nn+2,…,Nn+k}.為了通過對(duì)樣本分布n的選取獲得最高的模型精度，對(duì)優(yōu)化問題的構(gòu)建可以表示為

(11)

式中：Ni≥0(n+1≤i≤n+k)，

并且，

(12)

此后

(13)

為了對(duì)樣本增量的分配進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)因?yàn)橄鄬?duì)于非固有不確定性而言，固有不確定性是較小量，而隨著采樣數(shù)量的增多及重復(fù)樣本個(gè)數(shù)的增加，固有不確定將趨于零，所以這里近似取C(n)≈CM.隨后，運(yùn)用拉格朗日法對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解，ΔN的點(diǎn)數(shù)分布為

(14)

至此已得到相對(duì)于樣本增量總數(shù)在固定位置最佳重復(fù)樣本分配近似值，每個(gè)樣本增量都會(huì)有相應(yīng)的最佳分布與其對(duì)應(yīng).所以為了得到目標(biāo)的預(yù)測(cè)模型精度r，樣本增量的總個(gè)數(shù)可以通過公式IMSE≤r得到.

2.2 階段3的試驗(yàn)設(shè)計(jì)

本部分將基于階段2的預(yù)選信息提出同時(shí)考慮采樣位置和重復(fù)采樣分布的試驗(yàn)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，將此標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題可表示為

(15)

式中：Ni≥0( n+1≤i≤n+k)，

MSE(x0;X0;n)=CM(x0,x0;X0)-

隨后，通過推導(dǎo)IMSE的計(jì)算公式可以轉(zhuǎn)化為下面的形式：

(16)

從中可見，目標(biāo)函數(shù)變量為待取樣位置X0和各位置上的取樣個(gè)數(shù)向量n.為獲得優(yōu)化問題的解，此處將基于權(quán)重改進(jìn)的混合PSO算法進(jìn)行優(yōu)化.該算法更新粒子位置和速度可表示為

(17)

式中：d=1，2，…，k；m為粒子個(gè)數(shù)，1≤i≤m；慣性因子是從0.8到0.2的遞減函數(shù)；加速因子c1=c2=2；pbestid為d維i粒子的最優(yōu)值；gbestd為當(dāng)前全局最優(yōu)值.

3 算例分析

本部分將分別通過方差各處非均等和各處均等的排隊(duì)論問題來研究所建立的序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.所建立方法在預(yù)選步進(jìn)信息時(shí)，需要對(duì)具體問題計(jì)算資源、代理模型的目標(biāo)精度與步進(jìn)信息權(quán)衡處理.例如，為了更精確地描述問題，對(duì)某實(shí)際問題設(shè)置了代理模型的目標(biāo)精度，該問題隨即轉(zhuǎn)變?yōu)檫x定序貫設(shè)計(jì)多少次進(jìn)行采樣較為合適.對(duì)于這一問題，可根據(jù)模型目標(biāo)精度和現(xiàn)有精度之間的差值得到，同時(shí)依據(jù)步進(jìn)信息由公式(14)得到所需步進(jìn)的樣本數(shù)量.因此，本部分將重點(diǎn)對(duì)預(yù)選準(zhǔn)則的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)比分析試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的最終結(jié)果.此外，為便于分析不確定性問題，所得結(jié)果精度將被近似到同一個(gè)數(shù)量級(jí).

1)不確定性各處非均等的排隊(duì)論.

在穩(wěn)定狀態(tài)下排隊(duì)論的等待時(shí)間Y的均值具有解析解，對(duì)于負(fù)荷x(0

(18)

此處，各位置取樣點(diǎn)是有限的，采樣位置為[0.1 0.3 0.5 0.7 0.9].在各位置處，響應(yīng)值為一系列重復(fù)樣本，表1是基于排隊(duì)論的樣本信息，其中Y是真實(shí)響應(yīng)值，Ymean是各位置根據(jù)20個(gè)重復(fù)樣本獲得的均值，由公式(2)計(jì)算得到，Variance是采樣位置的方差.

表1 排隊(duì)論算例

基于表1中的數(shù)據(jù)，可得到Stochastic Kriging模型的初始參數(shù)，同時(shí)可得Stochastic Kriging的初始IMSE=0.468 78.為了得到樣本增量的總個(gè)數(shù)ΔN，并對(duì)方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，這里假定步進(jìn)的目標(biāo)精度r=0.33，即需要IMSE≤0.33.此時(shí)結(jié)合公式(13)和(14)，可得樣本增量數(shù)為20.其間，首先通過拉丁超立方選取額外的采樣位置X0={0.2， 0.4， 0.6， 0.8}，進(jìn)而由公式(14)可知，最佳分布比例是353∶471∶565∶611.當(dāng)增量數(shù)是20時(shí)，根據(jù)公式(13)可知，IMSE=0.322 76.這是約束條件下的最佳分布結(jié)果，即20個(gè)樣本將被用來作為增量數(shù)進(jìn)行階段3的分析.

在階段3中，根據(jù)對(duì)公式(16)的優(yōu)化，所得結(jié)果如表2中“最優(yōu)”部分所示.一般來說，為了使模型更精確，對(duì)不確定性問題常采用均勻分布，等分樣本空間，或者根據(jù)直覺在不確定性大的位置多取樣本.所以表2同時(shí)給出了均勻分布和直覺分布的IMSE結(jié)果.通過分析可知，所建立方法得到的樣本分布為非均勻分布，并且在不確定性相對(duì)較小的0.19和不確定性相對(duì)較大的0.81位置上重復(fù)取樣個(gè)數(shù)較多.也即：要使模型更精確，不僅需要在不確定性較大處采樣，同時(shí)也要在已較精確處添加樣本.

對(duì)基于Stochastic Kriging進(jìn)行的這一不確定性問題研究而言，IMSE數(shù)值結(jié)果主要來源于固有不確定性η(x0)，因?yàn)棣?x0)本身是個(gè)較大的量.然而，隨著樣本個(gè)數(shù)的增加，在IMSE數(shù)值中這一部分將漸趨恒定，其不會(huì)對(duì)優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生過多影響.

表2 算例1試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比

此外，在階段2預(yù)估樣本增量時(shí)，所得IMSE的結(jié)果為0.322 76，稍低于所建立方法優(yōu)化所得結(jié)果.這是由于在預(yù)估步中，為得到更合理的樣本增量值，代入公式(13)的是樣本分配的小數(shù)值，分別為3.53，4.71，5.65，6.11，但階段3的優(yōu)化中所采用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與階段2不同，所得到的是整數(shù)化的結(jié)果.

2)不確定性各處均等的排隊(duì)論.

為了便于與不確定性各處非均等的問題對(duì)比研究，本算例采用各處不確定性均等的設(shè)置中，對(duì)表1中的數(shù)據(jù)只改變方差列，將其都設(shè)為0.1.

與算例1相似，首先可通過已知信息建立Stochastic Kriging模型，得到初始參數(shù)，這時(shí)初始IMSE=0.262 57.為對(duì)比算例1，同時(shí)保證階段2預(yù)估點(diǎn)的有效性，此處將增量樣本的個(gè)數(shù)設(shè)置為20.通過公式(13)和(14)可知，點(diǎn)數(shù)在X0={0.2， 0.4， 0.6， 0.8}處的分布n={4.90， 5.10， 5.10， 4.90}.將n代入(13)，可得IMSE=0.115 79.隨后，根據(jù)20個(gè)樣本增量個(gè)數(shù)開展階段3的分析，對(duì)公式(16)進(jìn)行優(yōu)化，所得結(jié)果如表3所示.

表3 算例2試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果

通過分析可知，與算例1類似，采樣都分布在偏離均勻分布的位置，且重復(fù)樣本分布也趨于在0.19和0.81位置上多取.與算例1不同的是，此問題的結(jié)果在0.19和0.81處擁有相同的分布.相對(duì)于原始模型的精度而言，兩者之間具有極大的可比性，顯示了預(yù)估步的實(shí)效性.

3)飛行器機(jī)翼氣動(dòng)擾動(dòng)的不確定性問題.

通常情況下對(duì)飛行器氣動(dòng)問題的考量都是在給定設(shè)計(jì)狀態(tài)下進(jìn)行的，屬于確定性問題.然而實(shí)際上，飛行器氣動(dòng)問題常常由于各種不確定因素的擾動(dòng)，確定性的考量結(jié)果偏離真實(shí)響應(yīng)，這極可能使飛行器性能急劇變差.因此，目前在飛行器氣動(dòng)問題的研究中，越來越多的研究工作開始考慮氣動(dòng)擾動(dòng)下的不確定性問題.

為了對(duì)所構(gòu)建方法開展應(yīng)用研究，選用DLR-F4的翼身組合體，采用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，劃分的網(wǎng)格量為1.2×106個(gè)，DLR-F4翼身組合體表面網(wǎng)格如圖1所示.采用RANS方程、S-A湍流模型進(jìn)行流場(chǎng)計(jì)算，單狀態(tài)計(jì)算時(shí)間為15 min.通過對(duì)Ma=0.75，Cl=0.50，Re=3×106的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比檢驗(yàn)，結(jié)果表明所采用流場(chǎng)計(jì)算方法結(jié)果較好地反映了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的變化趨勢(shì)，各典型剖面處的壓力分布對(duì)比如圖2所示，其中X/C為采用歸一化處理的相對(duì)弦長(zhǎng)，Cp為壓力系數(shù).

圖1 DLR-F4翼身組合體表面網(wǎng)格Fig.1 The surface grid of DLR-F4 wing-body configuration

圖2 DLR-F4翼身組合體計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.2 The comparison between computation and experiment of DLR-F4 wing-body configuration

此處對(duì)機(jī)翼在馬赫數(shù)擾動(dòng)情況下的不確定性問題進(jìn)行研究，馬赫數(shù)的擾動(dòng)服從正態(tài)分布N(0，0.1).與驗(yàn)證算例類似，馬赫數(shù)各位置處采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的，不確定性初始采樣個(gè)數(shù)為20個(gè)，采樣位置為{0.69 0.71 0.73 0.75 0.77}.據(jù)此可得模型的初始參數(shù)，同時(shí)可得模型初始IMSE=0.128 3×10-5.而后，通過設(shè)定步進(jìn)的目標(biāo)精度0.10×10-5，并結(jié)合公式(13)和(14)，得到樣本增量的總個(gè)數(shù)ΔN=16.在階段3中，將ΔN作為增量數(shù)進(jìn)行分析，根據(jù)對(duì)公式(16)的優(yōu)化，所得結(jié)果如表4所示.

表4 算例3試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果

4 結(jié) 語

本文基于Stochastic Kriging模型構(gòu)建了適用于不確定性研究的序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，建立了預(yù)選點(diǎn)步進(jìn)信息的選取策略和基于步進(jìn)信息的單輪選點(diǎn)準(zhǔn)則.通過算例分析驗(yàn)證了所建立試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的有效性和可行性.未來可對(duì)高維不確定性問題開展進(jìn)一步的工作.

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The uncertainty-based sequential design of experiment method based on Stochastic Kriging metamodel

WANG Bo1， GEA Haechang2， BAI Jun-qiang3， ZHANG Yu-dong1，
GONG Jian1， ZHANG Wei-min1

(1. Research and Development Center， China Academy of Aerospace Aerodynamics， Beijing 100074, China; 2. Department of Mechanical and Aerospace Engineering， Rutgers， The State University of New Jersey， Piscataway NJ 08854; 3. School of Aeronautics， Northwestern Polytechnical University of China， Xi’an 710072， China)

The research on uncertainty requires many duplications and undoubtedly it puts forward a giant challenge to numerical simulations which is time-consuming. The amount of computation in the study of uncertainty can be effectively reduced through design of experiment method， but the current researches on design of experiment method about uncertainty mainly concentrate on traditional methods. Aiming at the problem, in order to address the problem and attain an accurate uncertainty assessment through reasonably allocating computational resources， the sequential design of experiment method with three stages was constructed based on the Stochastic Kriging metamodel with finite sampling. At the beginning， the criterion to choose the predetermined number and distribution of samples to attain certain accuracy of stochastic metamodel was proposed through the simplification of IMSE at specific sampling states. In addition， the criterion to obtain the optimum based on the predetermined information was also derived to simultaneously take the state and distribution of samples into account. Moreover， traditional methods were used to do the comparison with the proposed method， and the feasibility and advantages of proposed method were verified by examples with uncertainty， in which stochastic metamodel with more accuracy was achieved by using the same amount of sampling as traditional methods．

design of experiment method; uncertainty; metamodel; integration of mean square error; sequential design

2015-07-09.

本刊網(wǎng)址·在線期刊：http://www.zjujournals.com/gcsjxb

國(guó)家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(11302213).

王波(1984—),男,河南內(nèi)黃人,博士,從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)建模、飛行器設(shè)計(jì)等研究，E-mail:alexanbo@163.com. http://orcid.org//0000-0002-9913-5348

10.3785/j.issn. 1006-754X.2016.06.002

TP 391.9

A

1006-754X(2016)06-0530-07