數(shù)學(xué)建模及仿真在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

王 晶

(蚌埠學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系，安徽 蚌埠 233030)

數(shù)學(xué)建模及仿真在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

王 晶

(蚌埠學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系，安徽 蚌埠 233030)

討論了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入建模思想和仿真方法的必要性，通過案例分析闡述了如何在教學(xué)過程中融入建模思想和仿真方法。進(jìn)而提出了幾點(diǎn)注意事項(xiàng)，以便更好地培養(yǎng)學(xué)生的建模思維和應(yīng)用能力。

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；數(shù)值仿真；教學(xué)研究；建模案例

數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，是一個(gè)建立數(shù)學(xué)模型，求解模型，分析和驗(yàn)證結(jié)論的過程。所以，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師不僅要講授基本的數(shù)學(xué)概念和計(jì)算方法，還要把數(shù)學(xué)建模思想及數(shù)值仿真方法貫穿其中。通過數(shù)學(xué)建模使學(xué)生認(rèn)識到，數(shù)學(xué)能夠解決社會生活中的實(shí)際問題。通過數(shù)值仿真能夠使學(xué)生更加直觀的觀察參數(shù)的變化對問題解的影響。教學(xué)中，教師可以利用建模案例加深學(xué)生對概念的理解和方法的掌握，提升他們對高等數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和應(yīng)用能力[1]。

1 教學(xué)中融入建模思想及仿真方法的必要性

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)以教師為主，采取灌輸式的教學(xué)方法，教師側(cè)重對教材中例題和習(xí)題的講解，通過題海戰(zhàn)術(shù)培養(yǎng)學(xué)生做題的能力和水平。但往往忽視數(shù)學(xué)知識在解決實(shí)際問題中的作用，給學(xué)生一種數(shù)學(xué)知識只能用來做題的錯(cuò)覺，毫無學(xué)習(xí)動力。所以，教學(xué)過程顯得枯燥乏味，死板單一，教學(xué)效果較差。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，應(yīng)該轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，以問題為導(dǎo)向，讓學(xué)生在對問題的解決中加深對知識的理解，增強(qiáng)他們的應(yīng)用能力[2]。

目前的數(shù)學(xué)教學(xué)，不但要讓學(xué)生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維，而且更要注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決實(shí)際問題的應(yīng)用能力，學(xué)以致用。因此，教學(xué)過程中，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思想及仿真方法對實(shí)際問題進(jìn)行綜合分析、抽象、歸納、推理和計(jì)算，構(gòu)建最優(yōu)的數(shù)學(xué)模型并求解。若模型無解析解，則可采用Matlab軟件求數(shù)值解[3]。由此可見，數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的一個(gè)有效途徑，數(shù)值仿真則是展現(xiàn)模型解的一個(gè)具體化、形象化的有效工具。它們都是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的正確措施。

2 如何在教學(xué)中融入建模思想及仿真方法

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往輕視建模思想的融入和仿真方法的使用，只注重基礎(chǔ)理論的傳授和解題技巧及方法的訓(xùn)練。這樣的教學(xué)模式導(dǎo)致理論與實(shí)踐脫節(jié)，使學(xué)生錯(cuò)誤的認(rèn)為一支筆和一張紙就是高等數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)的目標(biāo)就是做題。對于為什么要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)？學(xué)這門課有何作用？怎樣才能學(xué)好這門課？等等。對這些問題，學(xué)生沒有清醒的認(rèn)識，始終處于迷茫之中。針對學(xué)生眼中“無用武之地”的高等數(shù)學(xué)，教師在日常的教學(xué)活動中必須把實(shí)用性潛移默化地傳授給學(xué)生，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)的目標(biāo)。因此，教師必須把建模思想及仿真方法融入教學(xué)中，以解決實(shí)際問題促進(jìn)知識的傳授和能力的培養(yǎng)。同時(shí)，更要讓學(xué)生明白高等數(shù)學(xué)也可以借助信息技術(shù)展現(xiàn)更加直觀的數(shù)值結(jié)果，而不僅僅是筆與紙的簡單交互。

根據(jù)自身高等數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合社會生活中的實(shí)際問題，給出兩個(gè)具體建模案例來說明建模思想及仿真方法在教學(xué)過程中的應(yīng)用。

案例1：金融系統(tǒng)的微分方程模型。

提出問題：現(xiàn)實(shí)金融系統(tǒng)中，利率、投資需求和價(jià)格指數(shù)之間存在一種相互制約、相互影響的關(guān)系。并且以上三者還受到儲蓄量和單位投資成本等因素的制約?？紤]它們之間量化關(guān)系的基礎(chǔ)上，在給定變量值的前提下，觀察該金融系統(tǒng)在運(yùn)行過程中的穩(wěn)定性問題，以及參數(shù)的變化是否會引起系統(tǒng)的動蕩？

針對這個(gè)實(shí)際問題，首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，使學(xué)生意識到一般的數(shù)值運(yùn)算很難解決此類問題。其次，再構(gòu)建模型，并利用數(shù)值仿真的方法才能較完美的解決此問題。

建立模型：設(shè)利率為x，投資需求為y，價(jià)格指數(shù)為z，儲蓄量為a，單位投資成本為b，商品需求彈性為c(a,b,c均為正常數(shù))。則建立的微分方程模型如下[4]：

(1)

高等數(shù)學(xué)中所講授的微分方程組的求解方法，一般針對特定的幾種類型，而現(xiàn)實(shí)中的微分方程模型往往比較復(fù)雜，不一定符合某一種特定的類型。所以，教材中的求解方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際需求，在微分方程組無解析解時(shí)，可以利用Matlab軟件求得數(shù)值解，并借助圖形展示求解結(jié)果。

下面，對模型(1)利用Matlab軟件進(jìn)行求解和仿真[5]。變量取值為：a=0.9，b=0.2，c=0.5；初值分別為x(0)=0.5，y(0)=0.2，z(0)=0.6。仿真結(jié)果如圖1-圖3所示。

通過圖1和圖2可以讓學(xué)生很直觀的得知，利率x，投資需求y和價(jià)格指數(shù)z，在系統(tǒng)運(yùn)行過程中一直處于周期波動狀態(tài)，即呈現(xiàn)周期解。通過圖3可以使學(xué)生更形象地觀察到，隨著儲蓄量a和單位投資成本b的增加，利率x上下波動較大，動蕩明顯。

圖1 利率x，投資需求y和價(jià)格指數(shù)z的時(shí)間序列圖

通過案例1的講解，可以使學(xué)生對建模和仿真有一個(gè)直觀的認(rèn)識和深刻的體會，能夠大大激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的好奇心和求知欲，增強(qiáng)對高等數(shù)學(xué)實(shí)用性的理解。

案例2：漁業(yè)生物經(jīng)濟(jì)模型。

提出問題：漁業(yè)市場中，漁業(yè)資源的總量、工人的捕撈努力量和魚價(jià)之間存在著密切的關(guān)系。當(dāng)魚價(jià)較高時(shí)，為了追求利潤，捕撈量增加必然導(dǎo)致魚資源量減少；而當(dāng)魚價(jià)較低時(shí)，無利可圖，捕撈量減少將導(dǎo)致魚資源量增加。這是一個(gè)復(fù)雜的博弈過程，隨著博弈的進(jìn)行，二者將最終趨于穩(wěn)定，達(dá)到彼此都可以接受的平衡狀態(tài)?？紤]漁業(yè)資源的總量、工人的捕撈努力量之間的關(guān)系，在給定變量值的基礎(chǔ)上，量化魚價(jià)對漁業(yè)資源量和捕撈努力量的影響。

(2)

為了說明魚價(jià)p對漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的影響，借助Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真。

圖4 p=1時(shí)漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的時(shí)間序列 圖5 p=1時(shí)漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的吸引子

學(xué)生從圖4可以形象的看出，隨著時(shí)間的延長，漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z由不穩(wěn)定的波動狀態(tài)都逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)，最后分別穩(wěn)定在約0.3和約0.7。圖5則更明確的說明二者經(jīng)過長期博弈后，最終穩(wěn)定在了S=0.3001,Z=0.7003。

(2)設(shè)p=0.5，其他變量值不變。則數(shù)值仿真如圖6和圖7所示。

圖6 p=0.5時(shí)漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的時(shí)間序列 圖7p=0.5時(shí)漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的吸引子

學(xué)生通過圖6很容易看出，隨著時(shí)間的增加，漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z也都由不穩(wěn)定的波動狀態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)，最后分別穩(wěn)定在約0.6和約0.4。與圖4相比可以看出，在魚價(jià)較高時(shí)(p=1)，剛開始捕撈努力量增加明顯，導(dǎo)致漁業(yè)資源量加速減少；在魚價(jià)較低時(shí)(p=0.5)，則恰恰相反。圖7則更準(zhǔn)確的說明二者經(jīng)過博弈，最終穩(wěn)定在了S=0.5996,Z=0.4003，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)是平衡的，漁業(yè)生態(tài)是良好的。

學(xué)生從圖8則可以看出，隨著魚價(jià)p的增加，捕撈努力量Z逐漸增大，而漁業(yè)資源量S則逐漸減少，這符合基本的生活常識。圖形顯示，可以讓學(xué)生更直觀、更具體的感受到結(jié)論的真實(shí)性。

圖8 魚價(jià)p對漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的影響

通過以上兩個(gè)建模案例的講解，不但讓學(xué)生體會到了建模的思想和數(shù)值仿真的方法，而且在解決實(shí)際問題的過程中，加深了學(xué)生對微分方程的理解和應(yīng)用，明確了高等數(shù)學(xué)是實(shí)用性很強(qiáng)的課程，增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)信心。

3 在教學(xué)過程中融入建模思想和仿真方法應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中，適當(dāng)引入建模案例可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的巨大作用，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動力。同時(shí)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、分析問題與解決問題的能力[7]。

(1)授課過程中，教師在講解基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，再適當(dāng)引入生活中的建模案例比較恰當(dāng)。在講解案例時(shí)，最初不要過于重視細(xì)節(jié)，讓學(xué)生從整體上體會建模的過程和數(shù)值仿真的效果。這可以有效地向?qū)W生傳輸建模的思想和數(shù)值仿真的方法，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。

(2)講解案例要有明確的目的性和針對性。應(yīng)選取高等數(shù)學(xué)中典型的教學(xué)內(nèi)容，有針對性的選擇或設(shè)計(jì)案例，通過案例的講解使學(xué)生加深對專業(yè)知識的理解，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識去解決實(shí)際問題。

(3)處理好授課內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模之間的關(guān)系。建模思想的融入和數(shù)值方法的使用，是建立在學(xué)生掌握扎實(shí)基礎(chǔ)知識之上的，因此，教師應(yīng)該在教授基礎(chǔ)知識和基本技能的前提下，借助建模案例加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識實(shí)用性的理解。切記在教學(xué)過程中，把建模思想和仿真方法作為重點(diǎn)內(nèi)容來講，而無視正常的教學(xué)內(nèi)容。

4 結(jié)束語

本文通過案例討論了在教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想和仿真方法的必要性和可操作性，優(yōu)化了教學(xué)方法和手段。教學(xué)實(shí)踐證明，這種轉(zhuǎn)變不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且能夠提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性和主動性，取得了良好的教學(xué)效果。

[1] 孫露．高等數(shù)學(xué)思維型課堂教學(xué)模式的建構(gòu)與實(shí)踐[J]．內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版)，2015，28(12)：138-141．

[2] 官春梅．滲透數(shù)學(xué)建模思想于高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的探究[J]．喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，36(6)：67-69．

[3] 呂穎，蔣觀敏．?dāng)?shù)學(xué)建模課程的教學(xué)改革探討[J]．西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，40(12)：173-175．

[4] 宋銀芳．一類混沌金融系統(tǒng)的反饋控制[J]．重慶郵電學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，18(12)：796-799．

[5] 孔祥強(qiáng)．基于Matlab軟件的高等數(shù)學(xué)教學(xué)可視化研究[J]．長春大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，25 (10)：51-54．

[6] 劉召芳，常宗瑜．簡單漁業(yè)生物經(jīng)濟(jì)動力學(xué)模型的穩(wěn)定性分析[J]．漁業(yè)經(jīng)濟(jì)研究，2006(3)：2-5．

[7] 閔蘭，陳曉敏．高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考[J]．西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，37(2)：139-141．

[責(zé)任編輯：崔海瑛]

王晶(1981-)，女，湖北廣水人，講師，從事微分方程及高等數(shù)學(xué)教學(xué)方面研究。

安徽省省級教學(xué)研究項(xiàng)目(2015jyxm386)

G642.0

A

2095-0063(2016)06-0138-04

2016-05-22

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.06.030