函數(shù)類(lèi)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)例析

涂愛(ài)玲

各地在中考第二輪復(fù)習(xí)時(shí)基本都是采用專(zhuān)題方式推進(jìn)，初中數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課往往是針對(duì)某一類(lèi)重點(diǎn)題型、重要知識(shí)板塊或者某一種比較突出的思想方法等組織展開(kāi)專(zhuān)題復(fù)習(xí)、專(zhuān)題研究. 2015年5月，桂林市教科所在我校組織開(kāi)展初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)備考會(huì)，探討在中考第二輪復(fù)習(xí)備考中如何培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，進(jìn)而提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.為了給大家提供一節(jié)有價(jià)值的研究課，我校初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)團(tuán)隊(duì)全力以赴集備，充分發(fā)揮師生的資源優(yōu)勢(shì)，開(kāi)發(fā)出這節(jié)“二次函數(shù)存在性問(wèn)題”專(zhuān)題復(fù)習(xí)課.

存在性問(wèn)題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的知識(shí)覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)，題意構(gòu)思巧妙，解題方法靈活，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求都比較高，而二次函數(shù)的存在性問(wèn)題屬于中考?jí)狠S題中的經(jīng)典題型，作為研究課非常有探討價(jià)值.結(jié)合現(xiàn)階段學(xué)生的實(shí)際情況，基于對(duì)該內(nèi)容題型特點(diǎn)的分析，并立足于學(xué)生的整體水平提升，我們將設(shè)計(jì)思路定位為寬入口、低起點(diǎn)、高落點(diǎn)，可拓展、能延伸，用五度教學(xué)模式進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì)，即“有效度的問(wèn)題呈現(xiàn)—有梯度的問(wèn)題變式—有深度的問(wèn)題拓展—有廣度的問(wèn)題開(kāi)放—有高度的問(wèn)題歸納”.這節(jié)課既關(guān)注到了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的緊湊性，又在每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中突出了各環(huán)節(jié)問(wèn)題設(shè)計(jì)的基本原則.

一、有效度的問(wèn)題呈現(xiàn)：從一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題切入，作為教學(xué)的起點(diǎn)

要使問(wèn)題呈現(xiàn)有效度，必須認(rèn)真考慮問(wèn)題的選取和整體設(shè)計(jì).我們決定由一條拋物線切入本專(zhuān)題復(fù)習(xí)，讓拋物線解析式統(tǒng)領(lǐng)全局，像一粒種子一樣自然地生長(zhǎng)發(fā)芽，貫穿這節(jié)課問(wèn)題設(shè)計(jì)的始終，且確保內(nèi)容緊湊、環(huán)環(huán)相扣；微觀上則貫穿“點(diǎn)→線→面”的設(shè)計(jì)思路，一路設(shè)問(wèn)，承前啟后，使所解決的問(wèn)題都能成為后續(xù)問(wèn)題的生長(zhǎng)點(diǎn).

在這個(gè)環(huán)節(jié)，我們的問(wèn)題設(shè)計(jì)經(jīng)歷了“解析式→求點(diǎn)坐標(biāo)→求線段長(zhǎng)→判斷形狀→計(jì)算面積”的思維過(guò)程，以此確保低起點(diǎn)、寬入口，步步為營(yíng)，層層推進(jìn)，一脈相承，讓學(xué)生每解決一個(gè)問(wèn)題總能為下一個(gè)問(wèn)題的解決做好鋪墊，由此實(shí)現(xiàn)知識(shí)和能力的同步自然生長(zhǎng).

問(wèn)題：如圖1，拋物線=-+2+3與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn).

（1）請(qǐng)你直接寫(xiě)出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）你能求出圖中哪些線段的長(zhǎng)度？

（3）你能判斷△的形狀嗎？

（4）請(qǐng)你求出△的面積.

以上問(wèn)題呈現(xiàn)，用四個(gè)小問(wèn)依次幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固如何根據(jù)解析式求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，復(fù)習(xí)鞏固如何根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求這兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)度，復(fù)習(xí)鞏固如何根據(jù)確定的三條線段長(zhǎng)度判定它們所構(gòu)成的三角形形狀，最后復(fù)習(xí)鞏固如何根據(jù)確定的三角形、運(yùn)用三角形面積公式或割補(bǔ)的方法計(jì)算該三角形的面積.四個(gè)小問(wèn)環(huán)環(huán)相扣，問(wèn)題解決經(jīng)歷了“歸納知識(shí)要點(diǎn)→歸納解題方法→形成解題策略”的思維過(guò)程，滲透了數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本方法和基本思想的教學(xué).

二、有梯度的問(wèn)題變式：探究“最值”，經(jīng)歷“線段和→線段差→周長(zhǎng)→面積”的思維歷程

為探究“最值”問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“線段和→線段差→周長(zhǎng)→面積”的思維歷程，問(wèn)題設(shè)計(jì)由淺入深、層層推進(jìn)，注意為學(xué)生搭建思維階梯，讓學(xué)生可以拾級(jí)而上、不斷攀升，最終形成有序的邏輯思維鏈條.經(jīng)歷了上一個(gè)環(huán)節(jié)的“問(wèn)題”解決，確定了點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸等基本元素以后，這個(gè)環(huán)節(jié)的問(wèn)題變式設(shè)計(jì)便進(jìn)入了“探究線段和最小值→探究線段差最大值→探究周長(zhǎng)最小值→探究面積最大值”等一系列“最值”存在性問(wèn)題.選擇“問(wèn)題”已解決的點(diǎn)和線作為問(wèn)題變式的生長(zhǎng)點(diǎn)，由線段和聯(lián)想到線段差，又由線段和最小值聯(lián)想到周長(zhǎng)最小值，由周長(zhǎng)最小值聯(lián)想到面積最大值等，問(wèn)題之間相互關(guān)聯(lián)、層次分明，梯度推進(jìn)思路明顯.

過(guò)渡語(yǔ)：我們由一條拋物線解析式解決了一系列的確定性問(wèn)題，那么我們能不能從我們已知的點(diǎn)[A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）]，對(duì)稱(chēng)軸（直線x=1），拋物線（y=-x2+2x+3）中選擇幾個(gè)元素，設(shè)計(jì)出新的問(wèn)題，探究不能直接確定的結(jié)果呢？

變式1：如圖2，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使PA+PC的值最??？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)P.

變式2：如圖2，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使PA-PC的值最大？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)P.

變式3：如圖3，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)找出點(diǎn)P.

變式4：如圖4，在第一象限的拋物線上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PBC的面積最??？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)P.

以上變式設(shè)計(jì)，通過(guò)變式1和變式2引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)和三角形三邊關(guān)系探究線段和的最小值和線段差的最大值，運(yùn)用“將軍飲馬”這個(gè)基本模型解決問(wèn)題，滲透了數(shù)學(xué)建模的學(xué)科思想；通過(guò)變式3引導(dǎo)學(xué)生將三角形周長(zhǎng)最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和的最小值問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；通過(guò)變式4引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)討論面積的最值問(wèn)題，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.這個(gè)環(huán)節(jié)，我們通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生依次解決所呈現(xiàn)的變式問(wèn)題，來(lái)培養(yǎng)其建模、轉(zhuǎn)化和遷移能力.

三、有深度的問(wèn)題拓展：由探究最值問(wèn)題，拓展到探究圖形形狀

問(wèn)題拓展有深度，是指所提問(wèn)題要具有思考性和挑戰(zhàn)性，問(wèn)題設(shè)計(jì)要向縱深發(fā)展.在這個(gè)環(huán)節(jié)，我們的問(wèn)題設(shè)計(jì)開(kāi)始從最值的存在性問(wèn)題過(guò)渡到圖形形狀的存在性問(wèn)題，包括探究直角三角形（直角頂點(diǎn)確定）、探究直角三角形（直角頂點(diǎn)不確定）、探究等腰三角形的圖形形狀的存在性問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)思維的又一次躍進(jìn).問(wèn)題生成仍然選擇用“問(wèn)題”解決的點(diǎn)和線作為問(wèn)題拓展的生長(zhǎng)點(diǎn)，由直角頂點(diǎn)確定聯(lián)想到直角頂點(diǎn)不確定，由直角三角形聯(lián)想到等腰三角形，不斷突破學(xué)生思維的局限，提升學(xué)生的思維水平，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.

過(guò)渡語(yǔ)：我們?nèi)匀粡囊阎狞c(diǎn)和已知的線出發(fā)，但可以改變提問(wèn)的角度，由“最值”的存在性問(wèn)題拓展到“圖形形狀”的存在性問(wèn)題.

拓展1：如圖5，在拋物線上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PBD為直角三角形，且點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出滿足條件的點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

拓展2：如圖5，在拋物線上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PBD為直角三角形，且點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出滿足條件的點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

拓展3：如圖6，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PCG為等腰三角形？若存在，請(qǐng)找出滿足條件的點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

以上問(wèn)題拓展，通過(guò)拓展1啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想并運(yùn)用勾股定理探究直角三角形的頂點(diǎn)存在性問(wèn)題，滲透了方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想；通過(guò)拓展2啟發(fā)學(xué)生分情況，探究不確定的直角頂點(diǎn)的存在性問(wèn)題，滲透了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想；通過(guò)拓展3啟發(fā)學(xué)生借助拓展1和拓展2的解題經(jīng)驗(yàn)和方法，再結(jié)合等腰三角形的特點(diǎn)，建立方程求解，滲透了幾何問(wèn)題代數(shù)化的建模思想.在這個(gè)環(huán)節(jié)，我們旨在通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以上拓展問(wèn)題的解決，培養(yǎng)學(xué)生自主溝通問(wèn)題與知識(shí)、問(wèn)題與方法之間聯(lián)系的能力，使學(xué)生的思維層次不斷升級(jí).

四、有廣度的問(wèn)題開(kāi)放：由教師主導(dǎo)編制變式問(wèn)題，過(guò)渡到由學(xué)生自主編題

問(wèn)題開(kāi)放有廣度，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題激活個(gè)性思維，培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)，激發(fā)創(chuàng)造力，全面訓(xùn)練思維發(fā)散性.在這個(gè)環(huán)節(jié)，問(wèn)題設(shè)計(jì)由封閉到開(kāi)放，由老師主導(dǎo)編寫(xiě)變式問(wèn)題開(kāi)始遞進(jìn)到讓學(xué)生自主創(chuàng)編新的二次函數(shù)存在性問(wèn)題.

過(guò)渡語(yǔ)：緊扣主題，結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和你自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自由發(fā)揮，小組討論，創(chuàng)作出符合要求的新問(wèn)題.

師：請(qǐng)根據(jù)“問(wèn)題”中的拋物線和“問(wèn)題”中所求得的點(diǎn)和線作為條件，提出一個(gè)以二次函數(shù)為背景的存在性問(wèn)題.

該環(huán)節(jié)為學(xué)生提供了一個(gè)獨(dú)立思考與合作創(chuàng)新的平臺(tái)，讓不同層次的學(xué)生在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中獨(dú)立處理、加工本課中所獲得的各種信息，聯(lián)系已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)造出新的屬于自己和團(tuán)隊(duì)的問(wèn)題.這樣的“問(wèn)題開(kāi)放”既尊重學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)，又強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)的合作交流，在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)新精神的同時(shí)，滲透了對(duì)學(xué)生自主思考、合作探究的學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng).

五、有高度的問(wèn)題歸納：采用文字歸納法和思維導(dǎo)圖歸納法，有條不紊地進(jìn)行問(wèn)題歸納

為使問(wèn)題歸納有高度，我們可以采用精煉的文字歸納和思維導(dǎo)圖歸納的方式方法，引導(dǎo)學(xué)生從解題策略、解題方法和解題思想的高度進(jìn)行問(wèn)題的歸納與總結(jié)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從深層次挖掘問(wèn)題與問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，溝通數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的關(guān)聯(lián).

過(guò)渡語(yǔ)：縱觀整節(jié)課，請(qǐng)同學(xué)們自主梳理、整合、歸納本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

歸納任務(wù)：請(qǐng)回顧這堂課，你收獲了哪些知識(shí)，掌握了哪些方法，形成了哪些策略，了解了哪些思想，或者有了哪些新的感悟？

“問(wèn)題歸納”讓學(xué)生將一節(jié)課的知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，使縱橫交錯(cuò)、融會(huì)貫通，有助于培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，讓學(xué)生形成可遷移、能生長(zhǎng)的知識(shí)和能力。學(xué)生通過(guò)反思解題方法發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，進(jìn)而將解題方法上升為通解通法，做到舉一反三、觸類(lèi)旁通.

（責(zé)編 白聰敏）