一類退化奇點在中心流形上的中心焦點問題

王勤龍

(賀州學院 理學院，廣西 賀州,542899)

一類退化奇點在中心流形上的中心焦點問題

王勤龍

(賀州學院 理學院，廣西 賀州,542899)

研究了一類三維系統(tǒng)高次奇點在中心流形上的中心問題。通過奇點量的計算得出并證明了這類系統(tǒng)在中心流形上局部可積的充分必要條件。

中心流形；退化奇點；極限環(huán)分支

微分自治系統(tǒng)中心焦點的判定主要集中在平面系統(tǒng)[1,2]，而高維系統(tǒng)的中心焦點問題，特別是高維系統(tǒng)中退化奇點的可積性判定等方面的結(jié)論還十分少見。這里我們將討論一類高次奇點在中心流形上的極限環(huán)分支問題，具體系統(tǒng)如下

(1)

其中u,d1≠0為實數(shù)，z,w,T為復(fù)數(shù)，且其中akl,bkl滿足共軛關(guān)系，即

(2)

事實上,系統(tǒng)(1)對應(yīng)一類實變量微分自治系統(tǒng)(即實共軛系統(tǒng))，可知系統(tǒng)的原點是一類高次奇點，且有兩個零特征根和一個負特征根，因此我們可利用中心流形定理[3]。待定如下近似流形:

u=u(z,w)=u2(z,w)+h.o.t.

(3)

其中u2為z,w的齊二次多項式，h.o.t.表示高次項。然后把(3)代入系統(tǒng)(1)，我們可逐項確定上述(3)式中各項的系數(shù)。這里我們得到其前六次項如下:

(4)

其中u2=-d1zw,u4=2δd1z2w2,u3=u4=u5=0,

u6=-id1wz[(a02-b20)d1w3z+(a11d1-b11d1-8iδ2)w2z2+(a20-b02)d1z3w]，

然后把(4)代入系統(tǒng)(1)中的前兩個方程可得

本文先計算(5)的奇點量，然后確定系統(tǒng)(1)在中心流形上原點的前幾個焦點量，并由此討論系統(tǒng)在中心流形上奇點鄰域可積(即為中心)的條件。

1 系統(tǒng)的奇點量

其中μm是系統(tǒng)(5)原點的第m個奇點量，與系統(tǒng)(1)用Poincaré形式級數(shù)法求得的原點的第m個焦點量V2m+1有關(guān)系V2m+1～iμm,m=1,2,….

在定理1中，記號“～”表示代數(shù)等價，定義見[4].

運用定理1和計算機運算化簡得：

(6)

在上述的表達式中已置μ1=μ2=...=μk-1=0,k=2,3。

進一步地，由式(2)我們有

定理3 在系統(tǒng)(1)中心流形上，原點的前3個焦點量V2i+1(2π),i=1,2,3如下:

V3=2πd1B1,

V7=2πd1[(A0-A2)2+(B0+B2)2]。

(7)

2 極限環(huán)分支

現(xiàn)在我們可以討論系統(tǒng)(1)原點在中心流形上的中心焦點問題，這里所用概念及方法詳細可見文獻[5-7]

定理4 在系統(tǒng)(1)中心流形上原點前3個焦點量全部為零的充分必要條件是:

B1=0，A0=A2，B0=-B2，

(8)

也即

b11=a11，a20=b02，b20=a02

(9)

定理5 在中心流形上，系統(tǒng)(1)在其原點鄰域內(nèi)可積(原點為中心)的充分必要條件是(8)或(9)成立。

證:根據(jù)定理4必要性明顯成立，只需證充分性，當上述條件(8)或(9)成立時，系統(tǒng)(1)為:

(10)

很容易驗證系統(tǒng)(10)前兩個方程的首次積分為:zw=c0,由此進一步可求得u=c1eiT+c0d1或者u=c1e-t+c0d1，其中c0,c1為積分常數(shù)，可見系統(tǒng)(1)中心流形上在原點鄰域內(nèi)可積，也即原點為中心。

[1]葉彥謙.多項式微分系統(tǒng)定性理論[M].上海：上?？茖W技術(shù)出版社，1995.

[2]劉一戎，李繼彬.平面向量場的若干經(jīng)典問題[M].北京：科學出版社，2010.

[3]Carr J. Applications of Centre Manifold Theory[M].Appl Math Sci vol 35,New York:Springer,1981.

[4]劉一戎.一類高次奇點與無窮遠點的中心焦點理論[J]，中國科學，A,2001，(1)：37-48.

[5]Wang Q,Liu Y,Chen H.Hopf bifurcation for a class of three-dimensional nonlinear dynamic systems,Bulletin des Sciences Mathematiques[J].2010，(134)：786-798.

[6]Wang Q,Huang W,Feng F.Multiple limit cycles and centers on center manifolds for Lorenz system[J].Applied Mathematics and Computation 2014,(238):281-288.

[7]袁月定.一類具有常數(shù)存放率的Kolmogorov捕食系統(tǒng)的極限環(huán)[J].邵陽學院學報(自然科學版)，2014，11(1)：1-4

Center-focus problem of degenerate singularity on center manifold

WANG Qinlong

(School of Science,Hezhou University,Hezhou 542899,China)

In this paper,center-focus problem of the degenerate equilibrium of a three-dimensional system is investigated.By computing the singular point quantities,the center conditions of the origin on center manifold is given.

center manifold;degenerate singularity;limit cycle bifurcation

1672-7010(2016)04-0016-03

2016-09-20

國家自然科學基金資助項目(11461021)；廣西自然科學基金資助項目(2015GXNSFAA139011)；廣西高校符號計算與工程數(shù)據(jù)處理重點實驗室項目資助

王勤龍(1972-)，男，湖北荊州人，教授，博士，從事微分方程定性理論、計算機符號計算研究

O175.1

A