厚尾均值漸變變點的最小二乘估計

任肖霖，趙文芝

(西安工程大學 理學院，西安 710048)

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厚尾均值漸變變點的最小二乘估計

任肖霖，趙文芝

(西安工程大學 理學院，西安 710048)

利用最小二乘估計方法，給出隨機誤差為ARCH過程的均值漸變變點估計量，并證明了該估計量的相合性及收斂速度．通過Monte Carlo模擬說明估計的有效性．

漸變模型；厚尾序列；最小二乘估計

在對實際的金融數(shù)據(jù)進行分析的過程中，學者們發(fā)現(xiàn)金融市場經(jīng)常會受到一些突發(fā)事件的影響，而使得金融數(shù)據(jù)在某個時刻k后，樣本的分布或分布參數(shù)緩慢地開始變化．在對金融數(shù)據(jù)進行建模時，必須對漸變變點時刻進行估計，否則影響建模的準確性，導致對投資風險的錯誤估計，造成不必要的損失．所以對均值漸變模型的變點分析也是統(tǒng)計學的研究熱點．Hu?ková[1]對隨機誤差項為獨立同分布序列的均值漸變模型進行研究，得到變點估計量的收斂速度及其極限分布；Hu?ková與Steinebach[2]使用CUSUM方法對漸變變點進行研究，得到檢驗統(tǒng)計量的極限分布；Alexander和Josef[3]研究隨機誤差項滿足弱不變原理的漸變隨機過程中變點的估計，并給出變點估計量的收斂速度；Madurkayova[4]對隨機誤差為獨立同分布序列的均值漸變模型運用RCUSUM函數(shù)的比率構造Ratio統(tǒng)計量，進行單變點檢驗；Wang[5]給出隨機誤差為長相依序列的均值漸變變點的最小二乘估計量，得到該估計量的收斂速度；Steinebach和Timmermann[6]研究了具有漂移項的隨機過程中漸變變點，并對其進行序貫檢驗；Timmermann[7]對漸變變點進行在線監(jiān)測，得到零假設和備擇假設下檢驗統(tǒng)計量的極限分布；Vogt和Dette[8]研究了非參數(shù)模型中漸變變點估計量的漸近分布；Timmermann[9]研究了隨機誤差項滿足弱不變原理的漸變隨機過程，得到序貫檢驗統(tǒng)計量的極限分布．

已有文獻對漸變變點的研究主要集中于隨機誤差項為獨立同分布序列的均值漸變模型，對厚 尾均值漸變模型的研究較少．本文運用最小二乘法估計隨機誤差為ARCH序列的均值漸變變點，并得到估計量的收斂速度．

1 最小二乘估計量

考慮如下厚尾均值漸變模型：

(1)

其中:k*為未知變點，a+=max(0,a),μ,δ≠0,γ∈[0,1]均為未知參數(shù)．

假設{ei,i,2,…,n}為四階矩有界的ARCH過程，即滿足:

(2)

記

考慮k*的最小二乘估計:

(3)

當γ=0時，若

(4)

由韓四兒[10]的命題2.1.3可得，當n→∞時，有

其中:W(v)是雙邊Brown運動．

2 估計量的相合性

令

于是式(3)等價于

(5)

將Vk(γ)分解為：

Vk(γ)=Ak,1+Ak,2+Ak,3+Ak,5,1≤k

(6)

其中:

且

證明：類似于文獻[5]的分析過程有：

(7)

由韓四兒[10]的命題2.1.9知：

又由Hu?ková[1]的引理2.5可知：

證明：令0<ε

類似于式(7)可得：

則

其中:

(8)

由引理1得：

(9)

(10)

(11)

由于Vk*(γ)=0,則由式(6)～(9)可得定理結論．

3 估計量的收斂速度

定理2 假定定理1的條件和式(4)成立，則當n→∞時，

其中:

(12)

由中值定理，有

(13)

另外，由Hu?ková[1]的引理2.2～2.4可得：若|k-k*|>MΔ,M>0 有

(14)

然后考慮γ∈[0,1/2)時估計量的收斂速度．

由式(7)，(12)～(14)可得：

-C1δ2n-2γ|k-k*|2γ+1≤Ak,5≤-C2δ2n-2γ

|k-k*|2γ+1,

(15)

其中|k-k*|>MΔ,M>0,C1,C2>0 ．

類似于式(13)，可得

(16)

由式(7)，(16)以及引理1得：

δ-2n2γ|k-k*|-2γ+1

(17)

(18)

類似地，由定理1得

(19)

由式(7)、(16)得

(20)

(21)

γ=1/2，γ∈(1/2,1]時證明過程與上述過程類似，在此省略．

4 數(shù)值模擬

運用Monte Carlo方法進行數(shù)值模擬，數(shù)據(jù)生成過程如下：

其中:n為樣本容量，k*為變點位置，μ=0,δ=2,γ=0∶0.25∶1，ei為ARCH(2)過程：

選取α0=1，α1=0.5，α2=0.2，εi～N(0,1),i=1,2,…,n.

用上述模型產(chǎn)生n=600個樣本，τ*=0.5變點位置k*=[nτ]*=300，得到γ=0.25時模擬數(shù)據(jù)圖如圖1所示.

圖1 模擬數(shù)據(jù)圖

圖1中，豎線處為變點位置，可以看出，前300個樣本在0附近波動，在變點時刻300后，樣本發(fā)生了漸變變化．

表1 τ*=0.25時變點估計值

表2 τ*=0.5時變點估計值

表3 τ*=0.75時變點估計值

[1]HUKOVáM.Gradualchangesversusabruptchanges[J].JournalofStatisticalPlanningandInference, 1999(76): 109-125.

[2]HUKOVáM,STEINEBACHJ.Limittheoremsforaclassoftestsofgradualchanges[J].JournalofStatisticalPlanningandInference, 2000(89): 57-77.

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[4]MADURKAYOVAB.Ratiotestsforgradualchanges[J].ProceedingsofContributedPapers, 2007: 175-180.

[5]WANGLH.Gradualchangesinlongmemoryprocesseswithapplications[J].Statistics, 2007, 41(3): 221-240.

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[7]TIMMERMANNH.Monitoringproceduresfordetectinggradualchanges[D].Gologne:UniversityofCologne, 2014.

[8]VOGTM,DETTEH.Detectinggradualchangesinlocallystationaryprocesses[J].TheAnnalsofStatistics, 2015, 43(2): 713-740.

[9]TIMMERMANNH.Sequentialdetectionofgradualchangesinthelocationofageneralstochasticprocess[J].StatisticsandProbabilityLetters, 2015, 99: 85-93.

[10] 韓四兒. 兩類厚尾相依序列的變點檢測分析[D]. 西安: 西北工業(yè)大學, 2006.

Least square estimation for gradual change in mean of heavy-tailed sequence

REN Xiao-lin, ZHAO Wen-zhi

(School of Science, Xi'an Polytechnic University, Xi'an 710048, China)

In this paper, the change-point estimation problem for gradual change in the mean of heavy-tailed sequence was considered. Least squares method was constructed and the consistency of the estimator was proved. The rate of convergence was also studied, Monte Carlo simulations demonstrated that the proposed method was effective.

gradual change model; heavy-tailed sequence; least squares estimation

2016-03-24.

國家自然科學基金青年基金資助項目(11201372)；陜西省教育廳科研計劃資助項目(2013JK0592)

任肖霖(1993-)，女，碩士，研究方向：統(tǒng)計模型分析與應用研究．

O212

A

1672-0946(2016)06-0692-05