基于Copula函數(shù)的信用風(fēng)險(xiǎn)度量模型

摘 要：在信用風(fēng)險(xiǎn)度量方面，單純的利用模型計(jì)算每個(gè)企業(yè)的違約概率或損失已經(jīng)不能準(zhǔn)確得出組合信用風(fēng)險(xiǎn)的度量值。同時(shí)，隨著公司間相互關(guān)系日漸復(fù)雜、共同違約事件逐漸增加，需要把各個(gè)經(jīng)濟(jì)實(shí)體間的違約相依性納入信用風(fēng)險(xiǎn)管理體系。文章考慮將Copula函數(shù)與信用風(fēng)險(xiǎn)度量結(jié)合，改進(jìn)原有的度量模型，為更好地控制違約相依的風(fēng)險(xiǎn)提供理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)模型；Copula函數(shù)；相依違約

1 概述

組合信用風(fēng)險(xiǎn)的度量對(duì)于信用管理來(lái)說(shuō)是一個(gè)重要的問(wèn)題。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，企業(yè)間的相關(guān)聯(lián)系越來(lái)越強(qiáng)，將企業(yè)的相關(guān)性納入度量模型是現(xiàn)今需要解決的問(wèn)題企業(yè)之間。企業(yè)之間存在著各種各樣的關(guān)系，不同的經(jīng)濟(jì)關(guān)系可能會(huì)導(dǎo)致財(cái)務(wù)危機(jī)從一個(gè)企業(yè)向其他企業(yè)擴(kuò)散，造成違約傳染效應(yīng)。如果企業(yè)間的依賴(lài)性較小，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)影響也較小，反之，如果企業(yè)間有較強(qiáng)的依賴(lài)關(guān)系，那么這個(gè)企業(yè)的違約有可能對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的損失造成很大的影響，即一損即損。公司間存在的各種相關(guān)關(guān)系都可能會(huì)引起違約風(fēng)險(xiǎn)的傳染，如交叉持股、連環(huán)擔(dān)保及借貸關(guān)系等。一家公司違約的變化使得市場(chǎng)對(duì)這些關(guān)聯(lián)公司的違約風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行重新評(píng)估。為避免這樣的骨牌連鎖效應(yīng)的出現(xiàn)及保證金融市場(chǎng)的穩(wěn)定，需要考慮公司間的違約相關(guān)性。近幾年中，Copula在金融風(fēng)險(xiǎn)研究中已有了很大的發(fā)展及應(yīng)用。在研究組合違約行為的非對(duì)稱(chēng)、非線(xiàn)性的相關(guān)關(guān)系上，主要是以Copula 函數(shù)理論為基礎(chǔ)的相關(guān)性度量提供了更廣泛的技術(shù)。關(guān)于組合違約相關(guān)性的研究，主要以企業(yè)信用風(fēng)險(xiǎn)度量理論為基礎(chǔ)，從不同角度研究組合信用資產(chǎn)之間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，從而為全面認(rèn)識(shí)組合信用風(fēng)險(xiǎn)和管理風(fēng)險(xiǎn)提供理論基礎(chǔ)。

2 Copula函數(shù)介紹

2.1 Copula函數(shù)基本理論

定義（Nelsen 1998）n維函數(shù)C：In=[0，1]n→[0，1]=I滿(mǎn)足如下條件：

由定義可知，Copula函數(shù)是一個(gè)多變量的均勻分布，它把多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與其一維的邊際分布聯(lián)系起來(lái)，通常被稱(chēng)為連接函數(shù)。

2.2 Copula的選擇方法

在實(shí)際問(wèn)題研究中，不同的Copula函數(shù)可能會(huì)導(dǎo)致不同的分析結(jié)果。那什么樣的Copula函數(shù)會(huì)更好地解決問(wèn)題、更好地描述變量間的相關(guān)結(jié)果？這是我們所面臨的一個(gè)重要問(wèn)題。下面簡(jiǎn)單介紹一些常用的Copula函數(shù)選擇方法：

（1）解析方法：K-S檢驗(yàn)法、？字2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法及其變形

K-S檢驗(yàn)是對(duì)一維分布函數(shù)進(jìn)行的檢驗(yàn)，如果要想用K-S方法對(duì)二維分布或更高維分布函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，則首先將二維分布或更高維分布函數(shù)通過(guò)降低維數(shù)才能實(shí)現(xiàn)。降維之后，二維分布的部分信息就會(huì)遺漏，不利于二維分布的選擇。針對(duì)此缺點(diǎn)，為了避免因降維而造成信息的遺漏，充分利用信息，文章直接介紹對(duì)二維分布擬合的方法。

（？字2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法）設(shè)（U，V）為隨機(jī)變量且邊際分布均為[0，1]上的均勻分布，其聯(lián)合分布函數(shù)為Copula函數(shù)C（u，v，？茲），（uk，vk）（k=1，2，...，n）為樣本觀測(cè)值，將[0，1]2均勻分割成m×m個(gè)單元格G（i，j）（i，j=1，2，...，m），記落入單元格G（i，j）內(nèi)的實(shí)際頻數(shù)為Aij，落入單元格G（i，j）內(nèi)的理論頻數(shù)為Bij，則在零假設(shè)成立時(shí)H0：（U，V）～C（u，v，？茲），統(tǒng)計(jì)量

漸進(jìn)服從自由度為m2-1的？字2分布。對(duì)檢驗(yàn)水平？琢，當(dāng)M>？字2？琢（m2-1）時(shí)拒絕零假設(shè)。

（2）基于相關(guān)性度量對(duì)Copula函數(shù)選擇：基于秩相關(guān)系數(shù)，基于尾相關(guān)系數(shù)

秩相關(guān)系數(shù)Kendall ？子

？子的定義為：

其中，（X1，Y1）與（X2，Y2）獨(dú)立同分布，與（X，Y）同分布。

基于{（xi，yi）}1？燮i？燮n（（xi，yi）為樣本空間第i次觀測(cè)值）的？子的估計(jì)值為：

若（X1-X2）（Y1-Y2）>0則稱(chēng)（X1，Y1）和（X2，Y2）是協(xié)同的，即表明X的變化和Y的變化協(xié)同；反之，若（X1-X2）（Y1-Y2）<0則稱(chēng)（X1，Y1）和（X2，Y2）的變化是不協(xié)同的，即表明X的變化和Y的變化是不協(xié)同的。

秩相關(guān)系數(shù)Spearman ？籽

設(shè)（X1，Y1）（X2，Y2）（X3，Y3）是相互獨(dú)立并且與（X，Y）具有相同分布的二維隨機(jī)向量，定義X與Y的Spearman秩相關(guān)系數(shù)如下：

（3）選擇原則：

基于？字2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法得到的統(tǒng)計(jì)量M值越小越說(shuō)明Copula對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合程度就越高，主要兩條選擇原則：一是Copula函數(shù)要通過(guò)擬合檢驗(yàn)；二是在通過(guò)檢驗(yàn)的Copula函數(shù)中選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值最小的Copula函數(shù)。

3 結(jié)構(gòu)化模型中引入Copula函數(shù)

結(jié)構(gòu)化模型首次是由Merton提出的，它的信息集是建立在可連續(xù)觀察的公司價(jià)值和負(fù)債上，當(dāng)公司價(jià)值小于負(fù)債時(shí)，則違約發(fā)生。Merton模型中違約只發(fā)生在債券到期時(shí)，但是實(shí)際表明債券到期前的任何時(shí)期違約都有可能發(fā)生。為更符合現(xiàn)實(shí)情況，Black-Cox將首達(dá)時(shí)間模型引入到隨機(jī)違約事件中，考慮了違約時(shí)間的隨機(jī)性。

下面我們具體介紹在結(jié)構(gòu)模型中引入Copula函數(shù)的過(guò)程：

3.1單個(gè)企業(yè)的違約隨機(jī)模型的建立

（1）違約時(shí)間？子

在結(jié)構(gòu)化模型建模中，我們把違約發(fā)生的時(shí)間稱(chēng)為違約時(shí)間。違約時(shí)間是結(jié)構(gòu)化模型建模的基礎(chǔ)。根據(jù)違約定義，違約時(shí)間？子的分布是由遵循擴(kuò)散過(guò)程的公司價(jià)值V首次到達(dá)違約閾值 的時(shí)間決定的：

其中，t為初始時(shí)點(diǎn)，T為債務(wù)到期日。

（2）違約概率

在結(jié)構(gòu)化模型中，稱(chēng)在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下[t，T]上發(fā)生違約的概率為違約概率，表示為：

當(dāng)Bs為固定值時(shí)，記公司資產(chǎn)價(jià)值在[t，T]上的最低點(diǎn)為：

則公司在[t，T]內(nèi)發(fā)生違約的概率可以表示為：

因此根據(jù)期權(quán)定價(jià)公式可進(jìn)一步得出違約概率為：

3.2違約相關(guān)的分析

考察n個(gè)公司的信用組合，t時(shí)刻的違約概率為DPi（t）=P（Vi（t）

在市場(chǎng)中，我們假設(shè)關(guān)于公司違約特征的信息是完全的，公共信息用濾波gt來(lái)描述，我們可以寫(xiě)出在公共債券市場(chǎng)下的條件違約聯(lián)合概率：

設(shè)n個(gè)資產(chǎn)服從相關(guān)系數(shù)矩陣為R的聯(lián)合正態(tài)分布，則聯(lián)合違約概率的分布函數(shù)為：

即聯(lián)合違約概率是邊緣違約分布的函數(shù)。用Copula函數(shù)表示為：

參考文獻(xiàn)

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