一類不連續(xù)生態(tài)系統(tǒng)的半穩(wěn)定性分析

摘 要：通過對一類不連續(xù)的生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進行了分析，得出此類問題的研究方法以及使用的工具，并利用圖論的知識和Lyapunov穩(wěn)定性的方法，給出了此系統(tǒng)全局半穩(wěn)定性的一個結論。

關鍵詞：不連續(xù)生態(tài)系統(tǒng)；半穩(wěn)定性；Lyapunov函數(shù)

1 概述

生態(tài)學作為一個和我們生活息息相關的學科，例如害蟲防治、物種滅絕、氣候變暖等，再加上現(xiàn)在全球氣候問題的影響，受到了越來越多人的關注。種群生態(tài)學作為生態(tài)學的一個重要的分支，同時它的很多問題都要用到數(shù)學知識來解決，捕食者-食餌系統(tǒng)[1]，是種群生態(tài)學的一個重要的領域，描述的是物種間的相互關系，這種關系可能是彼此依賴的，也可能是相互競爭的。捕食者-食餌系統(tǒng)的研究能作為現(xiàn)代生態(tài)學的一個中心課題，很重要的原因是捕食現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中很普遍，并且對我們的生活很有意義，首先捕食能夠限制種群的數(shù)量，我們防治害蟲，去除雜草，甚至是抑制細菌滋生都能用到。捕食和競爭一樣，都是能夠影響群落結構的主要生態(tài)過程，捕食同時也是一個主要的生存機制，生物的很多適應性都能夠用捕食者-食餌間的協(xié)同進化來進行說明。

捕獲策略在捕食者-食餌系統(tǒng)中有著十分重要的作用。文獻[2][3]等從不同方面對捕食者-食餌系統(tǒng)的捕獲策略進行了研究，這些策略都是建立在連續(xù)函數(shù)的基礎之上。在實際生產(chǎn)生活中，我們往往采用不連續(xù)捕獲策略，例如漁業(yè)管理部門規(guī)定休漁期以保護魚類繁殖和幼魚生長，保證了漁業(yè)資源的可持續(xù)發(fā)展，具有明顯的生態(tài)效益和經(jīng)濟效益，由此看來，不連續(xù)捕獲策略更加符合實際情況，更有應用價值。文章主要討論了一類不連續(xù)的N種群的捕食者-食餌系統(tǒng)的半穩(wěn)定性問題，借助于圖論和Lyapunov函數(shù)等工具，給出了系統(tǒng)全局半穩(wěn)定性的結論。

2 基本知識與問題描述

推論3.1 如果系統(tǒng)的平衡點E*是唯一的一個正的平衡點，則該平衡點是全局漸進穩(wěn)定的。這正是文獻[8]中的定理6.1。

4 結束語

文章利用圖論中的基爾霍夫矩陣樹定理，把一類食餌在n個斑塊之間擴散的不連續(xù)的捕食者-食餌模型構造成耦合系統(tǒng)，通過已有的半穩(wěn)定性的判據(jù)和LaSalle不變原理及Lyapunov函數(shù)方法，得到了系統(tǒng)的半穩(wěn)定的結論，并在此基礎上對結論進行了推廣，得到了該系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的推論。

參考文獻

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[2]李棟梁.生態(tài)系統(tǒng)中兩種群的捕食者一食餌系統(tǒng)的研究[D].長春：東北師范大學，2007.

[3]李軍.一類具有相互干擾的捕食-食餌系統(tǒng)的定性分析[D].南京：南京理工大學，2010.

[4]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006：248-301.

[5]胡躍明.非線性控制系統(tǒng)理論與應用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2002：58-59.

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[7]D.E. Knuth， The Art of Computer Programming， vol. 1， 3rd ed.， Addison-Wesley， Reading，1997.

[8]M. Y. Li and Z. Shuai，Global-stability problem for coupled systems of differential equations on networks[J].Journal of Differential Equations，2010，vol.248，no.1，pp.1-20.

作者簡介：高永良（1973-），男，河南固始人，講師，博士，主要從事非線性系統(tǒng)方面的研究。