辛普森積分法求解圓電流激發(fā)的磁場

楊建榮，程元飛，毛潤華，周 婷

(上饒師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，江西 上饒 334001)

辛普森積分法求解圓電流激發(fā)的磁場

楊建榮，程元飛，毛潤華，周 婷

(上饒師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，江西 上饒 334001)

利用辛普森積分法，借助數(shù)學(xué)軟件，獲得了圓電流磁場在整個(gè)三維空間分布的新解析解。根據(jù)解析解分析了圓電流的圓心和中心軸線上的磁場；找到了圓電流磁場三個(gè)分量之間的數(shù)量關(guān)系；直觀地描述了磁場的大小、方向以及空間分布規(guī)律；定量分析了圓電流軸向磁場的勻強(qiáng)區(qū)變化。

辛普森積分法；圓電流；磁場；空間分布

圓電流激發(fā)的磁場在電子、電工和通訊等眾多工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，它在空間的分布是電磁學(xué)中重要而典型的一個(gè)問題[1]。許多學(xué)者對圓電流激發(fā)的磁場的空間分布，進(jìn)行了求解，由于積分的復(fù)雜性，不管是矢勢方法[2]，還是采用畢奧-薩伐爾定律求解，所獲得的解析解只局限在平面內(nèi)或軸線上[1，3]，而三維空間的磁場則用橢圓積分表示[4-6]。最近，文獻(xiàn)[7]從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，通過一系列復(fù)雜的變量替換，找到了磁場在三維空間中分布的級數(shù)形式解。本文對求解過程中出現(xiàn)的積分問題，直接采用辛普森積分法，獲得圓電流磁場在整個(gè)三維空間分布的新解析解。

1 圓電流磁場空間分布的解析解

設(shè)圓電流線圈置于直角坐標(biāo)系xoy平面內(nèi)，通過的電流為I,半徑為R，如圖1所示，矢徑r01與x軸的夾角為θ，則

r01=Rcosθ i+Rsinθj,

①

r02=Rcos(θ+dθ)i+Rsin(θ+dθ)j

=R(cosθcosdθ-sinθsindθ)i

+R(sinθcosdθ+cosθsindθ)j

②

式中 i, j, k分別為x,y,z軸的單位矢量。因?yàn)閐θ很小，則有sindθ≈dθ,cosdθ≈1，所以

③

微電流元的

dl=r02-r01圖1 一級載流圓線圈激發(fā)磁場圖

=R(cosθ-sinθdθ-cosθ)i+R(sinθ+cosθdθ-sinθ)j

=-Rsinθ dθ i+Rcosθ dθ,

④

在空間任選一點(diǎn)P(x,y,z)，到原點(diǎn)的距離為rp=x i+y j+z k,則它到電流元的距離為

r=rp-r01=(x-Rcosθ) i+(y-Rsinθ) j+z k。

⑤

因此

⑥

將⑥式代入畢奧—薩伐爾定律，得電流元I dl在P點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

⑦

對(7)式兩邊積分，可得圓電流在空間P點(diǎn)激發(fā)的磁場分量表達(dá)式分別為：

,

⑧

,

⑨

。

⑩

辛普森(Simpson)積分法是定積分計(jì)算常用的方法[8,9]，對⑧-⑩式，利用辛普森積分法，可直接積分得到新的解析解。為了減少計(jì)算，可借助Maple、Mathematics或Matlab等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算，例如起動(dòng)Maple數(shù)學(xué)軟件，寫入如下指令：

>restart:with(student):

>Bx=simpson(mu[0]*I*R*z*cos(theta)/(4*pi*(x^2-2*x*R*cos(theta)+R^2+y^2-2*y*R*sin(theta)+z^2)^(3/2)),theta=0..2*pi,n);

可得新的解析解

同理可得

圓電流在空間任意點(diǎn)的磁場為

B=Bxi+Byj+Bzk，

2 分析討論

利用磁場的三個(gè)分量(11)-(13)式，可分析磁場在空間任意點(diǎn)、線、面的大小和方向。

2.1 圓電流圓心和中心軸線上的磁場

首先，為了驗(yàn)證(11)-(13)式的正確性，考慮圓電流圓心和中心軸線上的磁場。

將x=0,y=0,z=0,分別代入(11)-(13)式，得圓電流中心點(diǎn)的Bx=0，By=0,而

將x=0,y=0,代入(13)式，得圓電流中心軸線上z方向的磁場為

2.2 圓電流磁場三個(gè)分量之間的數(shù)量關(guān)系

式中B0等于式中第一個(gè)等號(hào)右邊的第一項(xiàng)。式表明了圓電流在空間某點(diǎn)的磁場三個(gè)分量的數(shù)量關(guān)系。對于給定的系統(tǒng)，由式可知，如果某點(diǎn)的x、y方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx和By數(shù)值大，則z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz值就小。當(dāng)z=0,Bx=By=0,不出現(xiàn)奇點(diǎn)。

2.3 圓電流磁場的空間分布

對于垂直于z軸平面的Bx與By合成的場強(qiáng)分布，如圖2、圖3所示。圖中符號(hào)的粗細(xì)和長短表示磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，箭頭表示磁場的方向，圖中的圓是圓電流線圈所在位置。由圖可知，靠近線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度大，反之??；Bx與By合成的場強(qiáng)方向，在z=0.1的平面背向圓心，成輻射狀；而在z=-0.1的平面指向圓心，成會(huì)聚狀。

圖2 z= 0.1平面, Bxi+Byj的分布

圖3 z= -0.1平面, Bxi+Byj的分布

空間任意點(diǎn)B=Bxi+Byj+Bzk，它的分布如圖4所示。從符號(hào)的大小和長短可知，靠近線圈位置的磁場大，而遠(yuǎn)離線圈位置則逐漸減??；從符號(hào)的箭頭可知，在圓電流線圈所在位置，圓內(nèi)磁場方向與z軸同向，圓外與z軸反向，方向的變化與教材給出的相同。

圖4 磁感應(yīng)強(qiáng)度B的空間分布

2.4 圓電流軸向磁場的勻強(qiáng)區(qū)變化

在電子、電工和通訊等工程領(lǐng)域中，常常需要使用圓電流軸向磁場的勻強(qiáng)磁場區(qū)。根據(jù)式，可得到圓電流軸向磁場的勻強(qiáng)區(qū)的大小隨z的變化，其結(jié)果如圖5所示。圖中取x=0,給出了Bz隨y的變化，由于圓電流的軸對稱性，Bz隨x的變化與此類似。由圖可知，離線圈平面近的z=0和z=0.02平面,在y=0附近的Bz隨y的變化大，勻強(qiáng)區(qū)小；當(dāng)z=0.05時(shí)，在y=0附近的Bz隨y的變化小，勻強(qiáng)區(qū)增大；當(dāng)z=0.1，為圓電流線圈半徑(R=0.2)的一半時(shí)，在y=0附近的Bz隨y的變化最小，勻強(qiáng)區(qū)最大；當(dāng)繼續(xù)增大，z=0.15時(shí)，在y=0附近的Bz隨y的變化增大，勻強(qiáng)區(qū)減小。圓電流軸向磁場的大小，是以線圈平面為對稱面的，在軸向離線圈平面等距離的兩處，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相反，所以當(dāng)兩同軸放置的等大線圈，相距為半徑時(shí)，產(chǎn)生的勻強(qiáng)區(qū)范圍最大。由此可定量解釋亥姆霍茲線圈獲得的勻強(qiáng)區(qū)范圍最大。

圖5 Bz的勻強(qiáng)區(qū)隨z的變化

3 結(jié)論

利用辛普森積分法，借助數(shù)學(xué)軟件，簡便輕松地獲得了圓電流磁場在整個(gè)三維空間分布的新解析解，如-式。根據(jù)解析解分析了圓電流圓心和中心軸線上的磁場，從一個(gè)方面證明了解的正確性；找到了圓電流磁場三個(gè)分量之間的數(shù)量關(guān)系，如式；根據(jù)解析解進(jìn)行了數(shù)值分析，形象地描述了磁場的大小和方向在空間的分布；定量分析了圓電流軸向磁場的勻強(qiáng)區(qū)變化，能有力地說明亥姆霍茲線圈所獲得勻強(qiáng)區(qū)范圍最大。對于多個(gè)圓電流的組合激發(fā)的磁場分布，將另文報(bào)告。

[1] 梁燦斌.電磁學(xué)(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2004:177—180.

[2] 曹昌琪.電動(dòng)力學(xué)[M].北京:人民教育出版社, 1979: 114-116.

[3] CALLOUN R C. An elementary derivation of the midplane magnetic field inside a pair of Helmholtz coil [J]. Am J physic,1996,64:1399-1400.

[4] 劉耀康.導(dǎo)出圓電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度的簡便方法[J].大學(xué)物理，2007, 26(7):32-33 .

[5] 張之翔.電磁學(xué)中幾個(gè)簡單問題里的橢圓積分[J].大學(xué)物理，2002, 21(4):22-24.

[6] 張星輝.圓電流磁感線的分布及感應(yīng)強(qiáng)度的函數(shù)表達(dá)式[J].大學(xué)物理，2006，25(1)：33-34.

[7] 孟雨.載流圓線圈周圍磁場分布[J]. 物理通報(bào)， 2013(11):25-28.

[8] CHAVEZ PATRICK P，JAEGER NICOLAS A F，RAHMATIAN F．Accurate voltage measurement by the quadrature method [J]．IEEE Transactions on Power Delivery，2003，18(1)：14-19．

[9] 張森文，曹開彬．計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的狀態(tài)方程直接積分法[J]．計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2000，17(1)：94-97.

Magnetic Field of Circular Current by Simpson Integral Method

YANG Jian-rong, CHENG Yuan-fei, MAO Run-hua, ZHOU Ting

(School of Physics and Electronic Information, Shangrao Normal University, Shangrao Jiangxi 334001, China)

Using Simpson integral method for the circular current, the new analytic solution of three-dimension magnetic field distribution is obtained by mathematical software. Then the magnetic field in the core and central axis is analyzed, the numerical relationship among three components is found, the magnitude, direction and spatial distribution is described, and the magnetic field change of uniform strong region along axial direction is discussed.

simpson integral method; circular current; magnetic field; spatial distribution

2016-05-27

江西省教改課題(JXJG-13-16-4)；江西省科技落地項(xiàng)目(KJLD13086)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11465015，11365017)

楊建榮(1966-)，女，江西上饒人，教授，博士，主要人事物理學(xué)的教學(xué)及研究。E-mail:sryangjr@163.com

O441

A

1004-2237(2016)06-0022-06

10.3969/j.issn.1004-2237.2016.06.005