具Rotenberg型遷移方程解的漸近性問題

王 勝 華

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

具Rotenberg型遷移方程解的漸近性問題

王 勝 華

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

在Lp(1≤p<∞)空間上，研究了種群細(xì)胞增生中一類具一般邊界條件下的Rotenberg型遷移方程，給出了這類遷移方程解的漸近行為等結(jié)果。

Rotenberg模型；一般邊界條件；遷移方程；正C0半群； 漸近行為

本文研究以下種群細(xì)胞增生中一類具一般邊界下的Rotenberg型遷移方程的初邊值問題：

①

其中ψ(u,v,t)表示關(guān)于細(xì)胞的成熟度u(0

②

其中α，p≥0表示每一能有絲分解子體細(xì)胞的平均數(shù)，p=1時保證了細(xì)胞通量的連續(xù)性，正核k=k(v,v')表示母體細(xì)胞v'和它的子體細(xì)菌v間成熟速率的相互關(guān)系，并滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件

③

其余符號意見見文獻(xiàn)[1]。

關(guān)于這類具增生的種群細(xì)胞中的遷移方程是由M.Rotenberg在文獻(xiàn)[1]中提出來的，故稱為Rotenberg型遷移方程，在文獻(xiàn)[1]中使用了Chapman方法，研究了該遷移方程的數(shù)值解。之后對該Rotenberg模型有許多研究工作(部分見文獻(xiàn)[2-8])。最近，文獻(xiàn)[9]在L1空間研究了這類Rotenberg模型，在α=0的邊界條件和比文獻(xiàn)[10,11]更一般的情況下，也同樣得到了該遷移方程解的漸近行為等結(jié)果，詳情可見文獻(xiàn)[12]的說明。但是對邊界條件②中αp≠0的情況未見研究結(jié)果。配方在Lp(1≤p<∞)空間上，研究了這類具增生的種群細(xì)胞中一類具一般邊界條件(含αp≠0的情況)下的Rotenberg型遷移方程，同樣給出了這類遷移方程解的漸近行為等結(jié)果。

設(shè)X是Banach空間，T是C0半群(U(t))t≥0的母元，該半群的型定義為：

ω(U(t))=inf{ω>0∶?Mω, ‖U(t)‖≤Mωeωt, ?t≥0}。

令L(X)表示X上的有界線性算子的全體，若K∈L(X),則A=T+K生成C0半群(V(t))t≥0，其Dyson-Pillips展開式為：

④

其中

級數(shù)④式在L(X)上一致收斂，其n階余項為：

⑤

因此，Cauchy問題

⑥

按Hille-Yosida定理有唯一解ψ(t)=V(t)ψ0。但是，這樣的解不是構(gòu)造性的，從而不能從中了解其Cauchy問題解的大時間漸近行為等情況。所以，如果要獲得Cauchy問題具構(gòu)造性的解，必須要了解算子A或半群(V(t))t≥0的譜分析等，從而可以獲得其解的大時間漸近行為等結(jié)果。文獻(xiàn)[9]的主要結(jié)果是：

引理1.1[9]設(shè)Q是一個復(fù)多項式，且有Q(0)=0和Q(1)≠0,若(λ-T)-1Q(Bλ)在Rω={λ∈C∶Reλ≥ω}上是緊的，則σ(A)∩{λ∈C∶Reλ≥ω} 是由至多可數(shù)個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成。

引理1.2[9]假設(shè)(1)若存在整數(shù)m和ω>ω(U(t))，使得?λ∶Reλ≥ω(U(t))，算子[(λ-T)-1K]m是緊的；

‖V(t)(I-P)‖≤Me(Reλn+1+ε)t，?t>0。

其中P=P1+P2+…+Pn是相應(yīng)于緊集{λ1,λ2,…,λn}的譜投影。

本文主要是根據(jù)引理1.2來研究種群細(xì)胞中具一般邊界條件下的Rotenberg型遷移方程的初邊值問題①解的大時間漸近行為等。

1 預(yù)備知識

設(shè)

分別為按范數(shù)

構(gòu)成的Banach空間。令Yp=Lp(J,vdv)為跡空間，其范數(shù)為

引進(jìn)邊界空間和范數(shù)分別為

Xi=Lp(Γi,vdv),i=1,2; Γ1={(0,v)∶v∈[a,b]}; Γ2={(1,v)∶v∈[a,b]}。

引理2.1[3]若ψ∈W，則ψ1∈X1的充要條件為ψ2∈X2.其中

ψ1=ψ|Γ1=ψ(0,v), ψ2=ψ|Γ2=ψ(1,v)。

定義Streaming(即胞質(zhì)環(huán)流)算子T和碰撞算子K及遷移算子A如下：

A=T+K, D(A)=D(T)。

其中σ(.,.)∈L∞(Ω)，邊界算子H為：

H=H1+H2∶X2→X1。

其中

令σ0=essinf{σ(u,v)|(u,v)∈Ω}, 則對φ∈Xp,ψ∈D(T), ?Reλ>-σ0,方程

(λ-T)ψ=φ。

⑦

可解為：

⑧

取u=1,則⑧式為：

⑨

根據(jù)⑧式和⑨式引入如下算子：

則由Holder不等式知：?Reλ>-σ0,算子Pλ，Qλ,Dλ和Eλ是有界正的，詳情可見文獻(xiàn)[5],且

⑩

所以⑨式和⑧式分別為：

ψ2=PλHψ2+Dλφ。

ψ=QλHψ2+Eλφ。

令

則當(dāng)Reλ>λ0時，有

‖PλH‖<1。

從而算子(I-PλH)-1存在，所以

ψ2=(I-PλH)-1Dλφ。

ψ=QλH(I-PλH)-1Dλφ+Eλφ。

即：

假設(shè)(O1)：碰撞算子K是有界正的；邊界算子H=H1+H2, Hi≥0(i=1,2),H1是有界的；若1

(O2)：算子K在空間Xp上是正則的[5].根據(jù)文獻(xiàn)[13,Proposition 2.1(ii)]，可不妨設(shè)K為Xp上的秩1算子。

2 主要結(jié)果

定理3.1 假設(shè)(O1)-(O2)被滿足，則?λ∈C∶Reλ>λ0，算子(λ-T)-1K在空間Xp(1

令ε>0，對Reλ>λ0+ε,由⑩式和式知：

所以，算子‖(λ-T)-1K‖在{λ∈C∶Reλ>λ0+ε}上一致連續(xù)領(lǐng)帶于算子K。根據(jù)假設(shè)(O2)，可設(shè)K具有核形式：

k(u,v)=k1(u)k2(v); k1(·)∈Lp([a,b]), k2(·)∈Lq([a,b])。

=JλUλφ。

其中

設(shè)D1為空間Xp的一個有界集，取φ∈D1，則對所有可測集E?Ω，由Horder不等式知：

定理3.2 假設(shè)(O1)-(O2)被滿足，則(1)σ(A)∩{λ∈C∶Reλ>λ0}是由至多可數(shù)個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成；

(2)對ω>0，設(shè)σ(A)∩{λ∈C∶Reλ>λ0+ω}={λ1,λ2,…,λn，令

β1=sup{Reλ,λ∈σ(A),Reλ<λ0+ω}； β2=min{Reλj∶1≤j≤n}。

顯然β1<β2,取β*∈(β1，β2)，ψ0∈D(A)，則Cauchy問題(1.6)的解ψ(t)滿足：

其中

Pi和Di分別表示相應(yīng)于本征值λi(i=1,2,…,n)的譜投影和冪零算子。

證明 (1)由定理3.1知：[(λ-T)-1K]2是空間Xp上的緊算子。設(shè)Q(X)=aX2(a≠0)是一個復(fù)多項式，則?ω>λ0，算子(λ-T)-1Q(Bλ)在{λ∈C∶Reλ≥ω}上是緊的，根據(jù)引理1.1即知本定理(1)成立；

(2)由本定理(1)和文獻(xiàn)[9,Proposition 2.1]即知本定理(2)成立。從而本定理成立。

由文獻(xiàn)[3]知：Streaming算子T在空間Xp上產(chǎn)生一個正C0半群(U(t))t≥0，其Dyson-Pillips展開式為④式和n階余項為⑤式。

定理3.3 假設(shè)(O1)-(O2)被滿足，則?ε>0，存在M>0，使得

‖V(t)(I-P)‖≤Me(Reλn+1+ε)t,?t>0。

證明 設(shè)ω>λ0，則由文獻(xiàn)[13,Th2.2(ii)]，存在C(ω)，使得|Imλ|‖(λ-T)-1K‖在△ω={λ∈C∶Reλ≥ω,|Imλ|≥C(ω)}上是有界的，另一方面，根據(jù)假設(shè)(O1)(O2),則由文獻(xiàn)[10,Lemma 1.1]知：‖(λ-A)-1‖在{λ∈C∶Reλ≥λ0+ω,|Imλ|≥C(ω)}上是一致有界的，又因為

|Imλ|‖(λ-T)-1BλK(λ-A)-1‖

≤|Imλ|‖(λ-T)-1K‖2‖(λ-A)-1‖。

所以，|Imλ|‖(λ-T)-1BλK(λ-A)-1‖在△ω上是有界的。因此由引理1.2和定理3.2(1)即知本定理成立。

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Asymptotic Problem of Transport Equation Solution in Rotenberg Model with Generalized bounday condition

WANG Sheng-hua

(School of Mathematics & Computer Science, Shangrao Normal University,Shangrao Jiangxi 334001,China)

This paper is to research the Rotenberg model of cell populations with generalized boundary condition in Lp(1≤p<∞) space, it is to give that the asymptotic behaviour of the corresponding transport equation solution for this model, and so on.

rotenberg model; generalized bounday condition; transport equation; positive C0semigroup; asymptotic behaviour

O177.2

A

1004-2237(2015)06-0001-06

10.3969/j.issn.1004-2237.2015.06.001