一個定值問題的推廣

張仁華

(江蘇省啟東市匯龍中學(xué)，226200)

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一個定值問題的推廣

張仁華

(江蘇省啟東市匯龍中學(xué)，226200)

(1)求圓O的方程.

(2)若直線l與圓O切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于點D、E,當(dāng)DE長最小時,求直線l的方程.

(3)設(shè)M、P是圓O上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N.若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

故圓O的方程為x2+y2=2.

(2)設(shè)直線l的方程為

即 bx+ay-ab=0.

由直線l與圓O相切,得

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立,此時直線l的方程為x+y-2=0.

(3)設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(x1,-y1),

x21+y21=2,x22+y22=2.

故mn=2為定值.

推廣1能否推廣到一般的圓呢?

推廣到圓的一般形式:設(shè)M、P是圓O:x2+y2=r2上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N.若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

解設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(x1,-y1),x21+y21=r2,x22+y22=r2.

故mn=r2為定值.

評析也可先用特殊法取P(r,0)，M(0,r),N(0,-r)，得m=n=r,所以mn=r2,然后證明．

圓與橢圓有著密切的關(guān)系,可以通過伸縮變換相互轉(zhuǎn)化．因而可以將把圓的問題類比推理到橢圓的情形．

推廣2問題能否推廣到橢圓呢?

故mn=a2(定值).

橢圓是圓錐曲線的一種類型,它在定義、方程結(jié)構(gòu)、幾何特征等方面與雙曲線有著許多共同的特性,所以運用類比的思想方法,可以大膽猜想雙曲線的類似性質(zhì).

推廣3問題能否推廣到雙曲線呢?

此推廣可仿照推廣2，解得mn=a2為定值.

推廣4問題能否推廣到拋物線呢?

類比到拋物線:設(shè)M、P是拋物線C:y2=2px(p>0)上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N,若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

解設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(x1,-y1),由推廣2，得

所以mn不是定值．

故m+n=0是定值，所以可得下列變式．

變式1設(shè)M、P是拋物線C:y2=2px(p>0)上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N.若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問m+n是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

推廣5問題可否推廣到有心二次曲線？

設(shè)M、P是有心二次曲線C:ax2+by2=1(ab≠0)上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N.若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

類似地,由類比推理和二次曲線的對稱性可得如下變式．

變式3設(shè)M、P是拋物線C:x2=2py(p>0)上任意兩點,點M關(guān)于y軸的對稱點為N,若直線MP、NP分別交y軸于點(0,m)和(0,n),則m+n是定值0.