高中數(shù)學不等式的教學策略

張 兵

(江蘇省豐縣民族中學，221700)

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高中數(shù)學不等式的教學策略

張 兵

(江蘇省豐縣民族中學，221700)

不等關系與相等關系都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量之間的相互關系,在高中數(shù)學教學中占有重要的地位,同時也是高中數(shù)學教學的難點之一.因此,對不等式教學的研究一直受到數(shù)學教師的關注．但在實際教學過程中,教師往往側重于不等式的證明與性質內(nèi)容的應用,而對在實際問題中引導學生抽象出不等關系的數(shù)學模型,建立不等關系的觀念的教學重視不夠.本文結合個人的教學實踐，談談自己的一些做法與體會．

蘇教版高中課標教材中幾乎每一部分內(nèi)容都涉及不等式的相關內(nèi)容.例如，求函數(shù)的定義域、值域問題,參數(shù)取值范圍問題，單調(diào)性問題;立體幾何中涉及線線、線面、面面所成的角問題；一元二次不等式及其解法，二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題，基本不等式及利用導數(shù)研究單調(diào)性、求值域，等等.從中可看出不等式的內(nèi)容在高中數(shù)學教學中的重要性.而學生對不等式的熟練掌握與應用不是一蹴而就的，需要老師在平時的教學過程中滲透不等關系的思想,潛移默化地培養(yǎng)學生利用不等式解決問題的習慣．為了在實際教學中更加有效地使學生理解并正確利用不等式的性質解決問題,個人的做法主要是根據(jù)學生的實際情況,設置恰當?shù)慕虒W策略,立足課本、選擇恰當?shù)慕虒W模式,依據(jù)新課改的精神,引導學生在合作學習中掌握不等式的相關概念、性質；并在此基礎上提高學生的利用這些概念、性質解決問題的能力,達到解決問題的目的．

在實際教學中,為了培養(yǎng)學生在解決問題過程中運用不等式的意識,更好地提高學生運用不等式解決問題的思想,培養(yǎng)學生創(chuàng)新的意識,教師應始終把學生的自主學習放到第一位,引導學生自主學習、自我評價、自我鞏固，逐步形成運用不等式解決問題的意識,不斷提高數(shù)學素養(yǎng)．

一、數(shù)學結合的思想

華羅庚先生說過:“宇宙之大粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學.”數(shù)學是一切科學的工具，科學愈發(fā)達，需要的數(shù)學工具就愈多，哪里有‘形’，哪里有‘數(shù)’，哪里也就少不了數(shù)學． 數(shù)形結合是我們解決問題的重要方法,對數(shù)形結合的靈活運用也反映了一個人的數(shù)學素養(yǎng)．因此,在不等式教學中,教師要始終處理好數(shù)與形的關系,引導學生在解決問題時始終具有兩種思想,即通過數(shù)學表達式解決問題時,一定清楚其相應的圖形;同時在利用圖形解決問題時一定清晰其所代表的數(shù)學表達式．數(shù)形結合的本質一方面是把抽象的問題形象化、具體化、把推理過程簡單化；另一方面用代數(shù)方法解決問題時避免幾何方法解決問題時帶來的局限性.兩者的完美結合是我們成功解決問題的關鍵所在,也使教師在教學中的必然行為．

解析解決這道試題的關鍵是根據(jù)函數(shù)的性質畫出函數(shù)當?shù)膱D象.

二、分類討論的思想

張景中院士在《什么是“教育數(shù)學”》一文中指出:面對不同的情況給出不同的化解方法,全面考慮問題,這就是分類討論思想．分類討論的思想就是為了解決問題,我們往往會根據(jù)問題的條件不同情況進行分類,再對每種情況分別討論,逐步解決問題,最后進行概括和歸納,解決整個問題．分類討論的目的是把問題難點進行分解,有利于學生解決問題．為了更好地幫助學生掌握分類討論的思想解決問題,實際教學實踐中,教師要引導學生分析問題的條件,通過條件引導學生探究解決問題的方法及思路,使學生在已有的知識的基礎上解決問題,使學生做到有“法”可依,有“規(guī)”可尋．例如，對含參數(shù)的不等式及含絕對值的不等式,往往需要根據(jù)題目中的給出的條件,解決問題時將其在不同條件下分別加以討論、解決,充分地體現(xiàn)了分類討論的思想．

例2設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.

(1)若f(0)≥1,求a的取值范圍;

(2)求f(x)的最小值;

解析本小題所給題目中既含有參數(shù)又含有絕對值,解決問題的主要思路是依據(jù)函數(shù)的性質、圖象及解一元二次不等式等基礎知識,靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法解決問題．

(1)由f(0)=-a|a|≥1，得

(2)當x≥a時,f(x)=3x2-2ax+a2,

當x≤a時,f(x)=x2+2ax-a2,

三、轉化、化歸的思想

涂榮豹、王光明、寧連華在《新編數(shù)學教學論》中認為：化歸思想是中學數(shù)學四個最基本且最重要的數(shù)學思想之一．在處理不等式的問題時我們經(jīng)常遇到無理不等式、分式不等式、高次不等式、對數(shù)不等式、指數(shù)不等式的問題.應該引導學生審視不等式的結構特點,根據(jù)同解原理,把它們轉化為已學過的一元一次不等式、一元二次不等式，并運用基本不等式的常用方法進行解題,這正是化歸思想所在．實踐表明,在高考中超過百分之八十的試題都與我們平時解決的問題相似或相仿.所以,在平時教學中,教師一定要抓牢學生的基礎知識,引導學生審視問題的結構特點,然后制定解決問題的轉化方法,培養(yǎng)其轉化、化歸的意識．在解題過程中,重要的思想就是引導學生依據(jù)條件分析是否與我們已學過的知識相關聯(lián),進一步尋求解決問題的方法與步驟．

例3已知函數(shù)f(x)=4x-2x,實數(shù)s,t滿足f(s)+f(t)=0,設a=2s+2t,b=2s+t.

(1)當函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1]時,求f(x)的值域;

(2)求函數(shù)關系式b=g(a),并求函數(shù)g(a)的定義域.

(2)由實數(shù)s,t滿足f(s)+f(t)=0,得

4s-2s+4t-2t=0,

即 (2s+2t)2-2×2s+t-(2s+2t)=0.

由a=2s+2t,b=2s+t,得

a2-2b-a=0,

故a≤2,當且僅當s=t時取得等號.

綜上，1

四、函數(shù)與方程的思想

《普通高中數(shù)學課程標準》指出，使學生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法,體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科中的重要性,初步學會運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活中的簡單問題．由此看來,函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學教學的重要思想之一．雖然函數(shù)與方程是兩個不同的概念,但是我們利用函數(shù)解決問題時往往考慮函數(shù)的圖象與坐標軸的交點情況,即函數(shù)的零點問題．實踐表明,在解決問題時,函數(shù)與方程的思想在解決不等式的相關問題中往往發(fā)揮了重要作用．因此,在解決不等式問題時,需要把不等式的問題轉化為函數(shù)問題,利用函數(shù)與方程的思想解決問題．

解析通過數(shù)學中減元的思想,把問題轉化為含有一個未知量的關系式,再利用求導的方法進行解決問題．

由于y>0,所以有x>1.