以生為本的課堂解題訓(xùn)練活動的設(shè)計

施培松

(安徽省潁上第一中學(xué)，236200)

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○數(shù)學(xué)教育○

以生為本的課堂解題訓(xùn)練活動的設(shè)計

施培松

(安徽省潁上第一中學(xué)，236200)

解題是深化知識、發(fā)展智力、提高能力的重要手段.規(guī)范的解題能夠讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提高思維水平.筆者閱讀過很多雜志上關(guān)于解題指導(dǎo)的文章,其中不乏一些解題技巧．然而也為這種追求技巧,忽視通性通法的趨勢感到擔(dān)憂．有的作者研究出了解決高考題的最簡潔的方法,比如說數(shù)形結(jié)合判斷零點個數(shù),就有以圖代證之嫌;有作者以為自己發(fā)現(xiàn)一個“定理”,并指出在解題中使用可以大大地降低運算量,用“定理”省略了很多該寫而不寫的過程,當(dāng)然運算量減小了;有作者發(fā)現(xiàn)了教材習(xí)題的結(jié)論并應(yīng)用于解題,等等．諸如此類,筆者則擔(dān)心這些方法、“定理”在高考閱卷中是否給分,能給多少分?

一、從學(xué)生的認(rèn)知困惑點出發(fā),尋找問題突破口

案例1數(shù)列{an}與{bn}的通項公式分別為an=4n-1,bn=3n+2,它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是{cn},求{cn}的通項公式.

生1:{an}與{bn}的公共項由an=bn求得,即4n-1=3n+2,只有一項．

對于上述學(xué)生1的求解方法,首先應(yīng)該肯定學(xué)生對數(shù)列的公共項的理解；但又對公共項缺少具體感知,導(dǎo)致找不到問題解決的突破口,心里明白但無從下手．因此,評講開始應(yīng)該啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生完成對公共項的特征的感知與探索．

生2:列舉出兩數(shù)列的前幾項:

{an}:3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59,…

{bn}:5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,…

發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)列的公共項是11,23,35,47,…,不難看出該數(shù)列是首項為11、公差為12的等差數(shù)列,則cn=11+12(n-1)=12n-1．

當(dāng)學(xué)生對兩個等差數(shù)列的公共項的周期性呈現(xiàn)有了一定的感知之后,可能還會產(chǎn)生一點誤解或者困惑.較典型的是從函數(shù)的角度看一次函數(shù)的交點本來應(yīng)該是一個,怎么會出現(xiàn)這么多的公共項?其實這也是很好的可以利用的教學(xué)資源.學(xué)生認(rèn)為關(guān)于n的一次方程an=bn只有一個解本身是對的,但是學(xué)生對公共項的對應(yīng)關(guān)系感知不夠,沒有注意到公共項在格子數(shù)列中的位置因公差的大小而不同,從而得出cn=am=bk這個關(guān)鍵的條件,推動思維的進(jìn)一步遷移．

二、從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗現(xiàn)狀出發(fā),展開解題思路的探究

學(xué),是在教之下的學(xué);教,是為學(xué)而教．教學(xué)過程是一種特殊的認(rèn)識過程,這種認(rèn)識是在教師有目的、有組織、有計劃的引導(dǎo)下,學(xué)生主動地接受間接經(jīng)驗和知識,主動探索生成新的認(rèn)知的師生共同活動的過程.

對于案例1,大部分學(xué)生可能會在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下,順利地感知到了公共項的特征,甚至能夠成功地獲得通項公式.通常情況下學(xué)生肯定會就此結(jié)束解題活動,教師就應(yīng)該站在學(xué)生拿滿分的角度,從學(xué)生們已經(jīng)能夠意識到“說明一個數(shù)列是等差數(shù)列需要根據(jù)定義嚴(yán)格推理論證”的基礎(chǔ)出發(fā),引導(dǎo)規(guī)范答題． 這樣，也就很自然地把探究活動引向“證明(此時的)公共項是等差數(shù)列” 的思路上來．

設(shè)an=bm=ck,則ck=4n-1=3m+2.

∴an+1=4(n+1)-1=3m+2+4=3(m+2)?{bn},

an+2=4(n+2)-1=3m+2+8=3(m+3)+1?{bn};

an+3=4(n+3)-1=3m+2+12=3(m+4)+2∈{bn},

∴ck+1=an+3,∴ck+1-ck=an+3-an=12,

∴{cn}構(gòu)成公差為12的等差數(shù)列.

又∵c1=a3=11,

∴cn=11+12(n-1)=12n-1.

如何證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，學(xué)生是知道利用定義去證明的.但是一般習(xí)題都有已知條件,比如告訴通項公式或相鄰兩項的ck,ck+1遞推關(guān)系,而本題是沒有的,那么尋找ck,ck+1成為當(dāng)前首要任務(wù)．學(xué)生知道ck,ck+1肯定是兩個數(shù)列中的相鄰的兩個公共項,因此尋找ck,ck+1就變成了在數(shù)列{bn}或者在數(shù)列{an}中尋找相同的項的思維活動.不難發(fā)現(xiàn):若bn=2n+7就是ck,依次檢驗bn+1、bn+2、bn+3，到這一步,如何判斷bn+3屬于{an}成為整個活動的思維難點．

因為我們已經(jīng)假設(shè)了2n+7就是第k個公共項ck,那么我們同樣也看不出它是屬于{an}的,這是事實；但是ck=bn,而ck=am也是事實,學(xué)生都是知道的．可見把數(shù)列{bn}中的項化成數(shù)列{an}中的項,必然需要bn=am這個隱含條件的協(xié)助．

三、從學(xué)生理解能力的發(fā)展變化出發(fā),循序漸進(jìn)領(lǐng)悟問題本質(zhì)

當(dāng)前不少變式教學(xué),沒有遵循循序漸進(jìn)規(guī)律,有的變式是在教師剛剛教會一種方法,在學(xué)生還沒對解題方法的本質(zhì)有較高的認(rèn)識的時候,一連串的變式就把學(xué)生的思維帶到“天上”.總認(rèn)為“變式”就是拓展,就是知識交匯,步子邁得太大,脫離了學(xué)生的理解能力發(fā)展水平．

對于本節(jié)課的引例的解題思路探究,學(xué)生也許能夠會做類似問題,但可能并不熟練,因此需要循序漸進(jìn)地螺旋式提高解題能力．筆者認(rèn)為,在最初階段我們應(yīng)該安排一定量的變式與鞏固訓(xùn)練,在訓(xùn)練中鞏固和規(guī)范解題思路,才能進(jìn)一步理解某些關(guān)鍵步驟,親身體驗過程操作技巧.

案例2數(shù)列{an}與{bn}的通項公式分別為an=2n,bn=3n+2,它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是{cn},求{cn}的通項公式.

解析設(shè)an=bm=ck,則

ck=2n=3m+2.

an+2=4·2n=4(3m+2)

=3(4m+2)+2=b4m+2∈{bn},

∴ck+1=an+2,也就是當(dāng)ck=an時必有ck+1=an+2.

∴{cn}構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列.

∵c1=a3=8,∴cn=22n+1.

案例2將案例1中的一個等差數(shù)列變?yōu)榈缺葦?shù)列,由于等比數(shù)列{an}的項變化要比等差數(shù)列快,數(shù)列中的相鄰的公共項之間距離只間隔一項,即ck=am,ck+1=am+2,而等差數(shù)列中的相鄰的公共項之間的距離就相當(dāng)遠(yuǎn),假如bn=ck是第k個公共項,那么下一個公共項是b4m+2=ck+1,再次驗證了兩個等差數(shù)列公共項,應(yīng)該盡量在公差較大的數(shù)列中找ck與ck+1之間的關(guān)系．

四、在多背景變化中突破思維定勢

在初步認(rèn)識并形成了對數(shù)列的公共項的較穩(wěn)固的思維模式之后,就可以變換不同視角,放手讓思維活躍的學(xué)生展示不同想法,并通過與已有的解題思想進(jìn)行比較,體會各自的優(yōu)點和不足,在比較中讓更多的學(xué)生尤其此類學(xué)生,感悟通性通法的魅力．當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到此類問題的通法之后,筆者在下一課時又安排了新背景的變式試題．

案例3已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*).它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是{cn}．求數(shù)列{cn}的通項公式．

背景1數(shù)列是研究數(shù)字的,數(shù)集也是研究數(shù)的,除了有序性、可重復(fù)性以及表示形式不一樣外,并無別的差別．所以,我們最先想到數(shù)列問題是可以以集合作為背景的．

(1)已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*).將集合{x|x=an,n∈N*}∩{x|x=bn,n∈N*}中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列c1,c2,c3,…,cn,…,求數(shù)列{cn}的通項公式.

(2)若集合{x|x=3n+6,n∈N*}∩{x|x=2n+7,n∈N*}中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列c1,c2,c3,…,cn,…,求數(shù)列{cn}的通項公式.

(3)若集合A={x|x=3n+6,n∈N*},B={x|x=2n+7,n∈N*}.若等差數(shù)列{cn}任一項cn∈A∩B,c1是A∩B中的最小數(shù),且109

以上問題其實就是前面研究的數(shù)列公共項問題,過程從略．

背景2我們知道,兩個數(shù)列所在的集合的交集就是公共項的集合,那么有沒有可能研究兩個數(shù)列所在的集合的并集,這樣可以考查集合的互異性,間接考查數(shù)列的公共項．

(1)已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*).將集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列c1,c2,c3,…,cn,….

證明在數(shù)列{cn}中,但不在數(shù)列{bn}中的項只有a2,a4,…,a2n,…．

解析由題意,即證a2n?{bn},且a2n-1∈{bn}.

① 任意n∈N*,設(shè)a2n-1=3(2n-1)+6=6n+3=2(3n-2)+7=b3n-2,則a2n-1=b3n-2;

上述問題是借用了尋找公共項的方法,是屬于一種方式的變用,內(nèi)涵較為隱蔽．

(2)已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*).將集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列c1,c2,c3,…,cn,…,求數(shù)列{cn}的通項公式.

解析由前知得公共項dk=6k+3,dk+1=6k+9,相鄰兩個公共項之間,還有數(shù)列中{an}和{bn}的非公共項．由于a2k=6k+6,a2k-1=6k+3,b3k=6k+7,b3k-1=6k+5,b3k-2=6k+3,也就是說并集中的元素被分成四類,從小到大順序排列為:6k+3,6k+5,6k+6,6k+7．

所以當(dāng)k=1時,依次有

當(dāng)k=2時,依次有

……

上述解法是先確定數(shù)列{an}和{bn}的公共項dk與dk+1,再尋找dk與dk+1之間元素存在的規(guī)律.

(3)數(shù)列{an}與{bn}的通項公式分別為an=4n-1,bn=3n+2(n∈N*).將集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列c1,c2,c3,…,cn,…,求數(shù)列{cn}的通項公式.

解析由前面的推導(dǎo)方式得公共項dn=12n-1,dn+1=12n+11,相鄰兩個公共項之間,還有數(shù)列中{an}和{bn}的非公共項．

由于a3k=12k-1,a3k+1=12k+3,a3k+2=12k+11,b4k=12k+2,b4k+1=12k+5,b4k+2=12k+8,b4k+3=12k+11,也就是說并集中的元素被分成五類,從小到大順序排列為:12k-1,12k+2,12k+3,12k+5,12k+8．

所以,數(shù)列{cn}的通項公式

兩個等差數(shù)列的項集合的并集問題,首先要求出相鄰兩項的表達(dá)式,之后在兩者之間尋找兩個數(shù)列的項,最后根據(jù)項的分類情況進(jìn)行分段表述．其中把數(shù)列用集合簡單地包裝,把公共項看作集合的交集,問題性質(zhì)并沒有改變;其次,把“交集”改為“并集”,也是間接地考查數(shù)列的公共項．